2.2 基本不等式易错易混专项训练题——2021-2022学年高一数学上学期人教A（2019）第二章 一元二次函数、方程和不等式（Word含答案解析）

2.2
基本不等式易错易混专项训练题人教A（2019）第二章
一元二次函数、方程和不等式
一．选择题（共8小题）
1．若，则的最大值为　　
A．
B．
C．
D．
2．已知，，若，则的最小值为　　
A．4
B．
C．2
D．
3．已知，，，则的最小值为　　
A．9
B．5
C．
D．
4．已知实数，满足，则的最小值是　　
A．
B．
C．
D．
5．若正数，满足，则的最小值为　　
A．9
B．8
C．5
D．4
6．已知，为正实数，且，则的最小值是　　
A．4
B．8
C．16
D．32
7．已知，为正实数，且，则的最小值为　　
A．4
B．7
C．9
D．11
8．若正数，满足，则的最小值为　　
A．2
B．4
C．6
D．8
二．多选题（共4小题）
9．已知正数，满足，则　　
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
10．已知正数、满足，那么下列不等式中，恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．
11．已知，，且，则的值可能为　　
A．3
B．4
C．5
D．6
12．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则　　
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
13．若，，且，当且仅当　　，　　时，取得最小值．
14．函数的最小值是
　　．
15．若且，则的最小值为
　　．
16．已知，均为正实数，则的最小值为
　　，此时　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知，都是正数，且．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
18．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
19．（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）求函数的最小值．
20．（1）已知，求的范围．
（2）已知，求的最大值．
21．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，（正实数集），且，求的最小值．
22．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
答案与提示：
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若，则的最大值为　　
A．
B．
C．
D．
解：因为，则，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值．
故选：．
2．已知，，若，则的最小值为　　
A．4
B．
C．2
D．
解：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4．
故选：．
3．已知，，，则的最小值为　　
A．9
B．5
C．
D．
解：，
所以．
故选：．
4．已知实数，满足，则的最小值是　　
A．
B．
C．
D．
解：，
，当且仅当时，等号成立，
，即的最小值是．
故选：．
5．若正数，满足，则的最小值为　　
A．9
B．8
C．5
D．4
解：由，得，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：．
6．已知，为正实数，且，则的最小值是　　
A．4
B．8
C．16
D．32
解：，
，
当且仅当且，即，时取等号，
的最小值为8．
故选：．
7．已知，为正实数，且，则的最小值为　　
A．4
B．7
C．9
D．11
解：，且，
，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为9．
故选：．
8．若正数，满足，则的最小值为　　
A．2
B．4
C．6
D．8
解：，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知正数，满足，则　　
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，当且仅当，时取等号，则正确；
对于，，当且仅当时取等号，错误；
对于，，当且仅当时取等号，则正确；
对于，，故最小值为，则正确；
故选：．
10．已知正数、满足，那么下列不等式中，恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．
解：（当且仅当时，等号成立），正确，
，且函数在，上单调递增，，正确，
当时，，故错误，
当时，，故错误，
故选：．
11．已知，，且，则的值可能为　　
A．3
B．4
C．5
D．6
解：因为，所以，
则．
又因为，，
所以，当且仅当，时取等号．
故，，，都有可能，
故选故选：．
12．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则　　
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
则全程的平均速度，正确，
又由，由基本不等式可得，则，
同时，，
则，正确，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．若，，且，当且仅当　　，　　时，取得最小值．
解：，，且，
，
当且仅当时取得最小值，
由，，
得，，
故答案为：4；2．
14．函数的最小值是
　　．
解：，
，
当且仅当时，即时等号成立，
函数的最小值是．
故答案为：．
15．若且，则的最小值为
　　．
解：根据题意，若，则，
则，
又由，则，则，当且仅当时等号成立，
故，即的最小时为0；
故答案为：0．
16．已知，均为正实数，则的最小值为
　　，此时　　．
解：根据题意，，当且仅当时等号成立，
又由，当且仅当时等号成立，
若，解可得，
故，当且仅当时等号成立，
此时；
故答案为：16，．
四．解答题（共6小题）
17．已知，都是正数，且．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
解：（1）由，，，得，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为9．
（2），又，，所以，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为3．
18．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，，
所以，
所以．
因为恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为．
19．（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）求函数的最小值．
解：（1），
当且仅当时，取得最小值9．
（2）
，
当且仅当时，取得最小值9．
20．（1）已知，求的范围．
（2）已知，求的最大值．
解：（1）根据题意，，
当时，有，当且仅当时等号成立，
当时，有，当且仅当时等号成立，
故的取值范围为，，；
（2）根据题意，，则且
，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，
21．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，（正实数集），且，求的最小值．
解：（1），，
故，
，
，
故当时，；
（2），，，
当且仅当，即时，等号成立，
当，时，．
22．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（1）由题意知，当时，，，即，；
每件产品的销售价格为（万元），
利润函数
．
（2）因为利润函数，
所以，当时，，
，当且仅当，即（万元）时，（万元）．
所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．