宁夏中卫市中宁第一高级中学校2022届高三上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

2021-2022学年中宁一中第一学期高三第一次月考试卷
数学试卷（理）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列四个命题中真命题的序号是（
）
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题：“，”，命题“：，”，则为真命题；
③命题“，”的否定是“，”；
④“若，则”的逆否命题是真命题；
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
4．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
7．已知集合，集合.若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（
）
A．尺
B．尺
C．尺
D．尺
9．函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知，是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．9
11．若在上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．已知数列为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前项和，若，且，则＝
.
15．已知为正实数，若，则的最大值为
.
16．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是___________.
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的面积是，，求b．
18．已知函数在处有极值.
（1）求实数、的值；
（2）判断函数的单调区间，并求极值.
19．已知正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式
（2）若，求数列的前项和．
20．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，均有，求实数m的最小值．
21．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
23．已知是正实数.
（1）证明：
（2）若，证明：试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
中宁一中2021-2022学年第一学期高三第一次月考试卷
理科数学试卷(答案)
一、单选题
BCBDA
DACBD
CB
二、填空题
13.
14．31
15．3lg2
16．
三、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的面积是，，求b．
【详解】（1）由，得，
得，
得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以．
（2）若的面积是，
则，解得，
所以．
由余弦定理，可得，
所以．
18．已知函数在处有极值.
（1）求实数、的值；
（2）判断函数的单调区间，并求极值.
【详解】（1）由，知.
又∵在处有极值，则，即，
∴，.
（2）由（1）可知，定义域为，
∴.
令，则（舍去）或；当变化时，，的变化情况如表：
1
-
0
+
↘
极小值
↗
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.
19．已知正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式
（2）若，求数列的前项和．
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，可得，解得或（舍去）．
因为，所以，解得．
所以．
（2），
所以．
20．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，均有，求实数m的最小值．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，则，
当时，，在上
单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的减区间为（0，1），增区间为；
（2）因为对任意的，恒成立，即恒成立．
令，则，
令，则在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，则．
所以，又恒成立，
所以，故m的最小值为l．
21．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.
【详解】（1）由，得直线l的普通方程为，
由，得曲线C的直角坐标方程为，
（2）解：将代入中，化简得，
所以，
所以
22．已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【详解】（1）原不等式等价于，不等式可化为，
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
综上所述，不等式的解集为；
（2）由不等式可得，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，即，解得或.
∴实数的取值范围为.
23．已知是正实数.
（1）证明：；
（2）若，证明：.
【详解】（1）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.