宁夏吴忠高级中学校2022届高三上学期第一次月考数学（文）试题（Word版含答案）

吴忠中学2021－2022学年高三年级第一次月考
数学（文科）试卷
2021.09
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合，，则（
）．
A.
B.
C.
D.
2.命题的否定是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln
x
D．y＝|x|
4．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5.已知
条件甲：
条件乙：
则甲是乙的(　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知
则（　　）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
7.
执行如图所示的程序框图，输出的S=（
）
A.
9
B.
16
C.
25
D.
36
8.函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1,3)
B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3)
D．(－1,0)∪(0,3]
9.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
10.当0)
11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
021)＝(　　)
A．2
021
B．0
C．－1
D．1
12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知P（x，y）满足，则最小值是　
．
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为　
　．
15.已知函数f(x)＝
且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
16．已知函数对任意的，都有，且当时，，则使得成立的的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求b的值．
18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
19．如图，BE，CD为圆柱的母线，△ABC是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点．
（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；
（2）设BC＝BE，圆柱的体积为8，求四棱锥A﹣BCDE的体积．
20.已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
21．设函数f（x）＝lnx+2x2﹣5x．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）若关于x的方程f（x）＝2x2+（m﹣6）x在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（1）
写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）
过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．
23.
已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若有最小值，且关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
吴忠中学2021－2022学年高三年级第一次月考
数学（文科）试卷
命题人：
2021.09
一?选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上.)
1.
已知集合，，则（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用对数函数定义域的求法和一元二次不等式的解法，化简集合A，B，再利用交集的运算求解．
【详解】∵，
，
∴，
故选：A　
2.命题“?x∈R，ex≥x＋1”的否定是(　D　)
A．?x∈R，exB．?x0∈R，ex0≥x0＋1
C．?x?R，exD．?x0∈R，ex0解析：命题“?x∈R，ex≥x＋1”的否定是?x0∈R，ex03.下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．
y＝e－x
B．
y＝x3
C．y＝ln
x
D．y＝|x|
答案：B
4．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：z==，
在复平面内，复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
5.已知a，b∈R，条件甲：a>b>0；条件乙：<.则甲是乙的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a>b>0时，不等式a>b两边同时除以ab，得>；当>时，若b＝1，a＝－1，则有b>a.所以条件甲是条件乙的充分不必要条件．
6．已知，，，则（　　）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
【考点】4M：对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：
=﹣log32＜0，
=log23＞1，
=∈（0，1），
∴b＞c＞a．
故选：B
7.
执行如图所示的程序框图，输出的S=（
）
A.
9
B.
16
C.
25
D.
36
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图的语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得结果.
【详解】模拟运行程序，有：
，，不满足，所以继续执行；
，，不满足，所以继续执行；
，，不满足，所以继续执行；
，，不满足，所以继续执行；
，，满足，所以程序结束，输出.
此时.
故选：B.
8.函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1,3)
B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3)
D．(－1,0)∪(0,3]
答案：由题意知即解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故选D.
9.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　　
B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
C　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
所以实数a的取值范围是(－2,2]．]
点评：本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．
10.当0)
A.
B.
C．(1，)
D．(，2)
解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时
4x>0，logax<0，不满足条件，当0，所以a的取值范围为.故选B.
11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
021)＝(　　)
A．2
021
B．0
C．－1
D．1
D　[由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数．
所以f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
021)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1，故选D.]
12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（　　）
A．﹣2≤t≤2
B．
C．
D．t≥2或t≤﹣2或t=0
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．
【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，
∴1≤t2﹣2at+1，
当t=0时显然成立
当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]
令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1]
当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2
当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2
综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．已知P（x，y）满足，则z=x﹣y最小值是　﹣1　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意，首先画出平面区域，根据目标函数的几何意义，求z的最值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，
根据目标函数z=x﹣y，即y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过A时z最小，
由得到A（0，1），
所以z=x﹣y的最小值是0﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1；
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为____．
【解析】　由丙可知，乙至少去过一个城市；由甲可知，甲去过A，C且比乙多，且乙没有去过C城市，故乙只去过A城市．
15.已知函数f(x)＝
且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．故填(1，＋∞)．
16．已知函数对任意的，都有，且当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若a＝1，，求b的值．
解：（1）∵，∴由正弦定理得，
∵A是三角形内角，sinA≠0，
∴，B是三角形内角，
∴．
（2）由余弦定理，得，
∴b＝1．
18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
【解析】　(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，
故所求的概率为P＝.
19．如图，BE，CD为圆柱的母线，△ABC是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点．
（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；
（2）设BC＝BE，圆柱的体积为8，求四棱锥A﹣BCDE的体积．
【解答】（1）证明：∵BE，CD为圆柱的母线，△ABC是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点．
∴根据题意可得，AM⊥BC．
又∵BE为圆柱的母线，∴BE⊥平面ABC．∴BE⊥AM．
∵BE∩BC＝B，BE?平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴AM⊥平面BCDE．
又∵AM?平面AEM，∴平面AEM⊥平面BCDE．
（2）解：由题可设BC＝BE＝t，∵△ABC是底面圆的内接正三角形，
∴，底面圆的半径．
∴．解得，
由（1）可知，AM⊥平面BCDE．
∴四棱锥A﹣BCDE的体积为：
．
20.已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
解：(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1，
所以a＝，b＝1，c＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，
所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)．
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．
令x＝3，得M(3，2－y1)．
所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.
又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE.
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝·(x－2)．
令x＝3，得点M
，
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
直线BM的斜率kBM＝.
因为kBM－1＝
＝
＝
＝0，
所以kBM＝1＝kDE，
所以BM∥DE.
综上可知，直线BM与直线DE平行．
21．设函数f（x）＝lnx+2x2﹣5x．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）若关于x的方程f（x）＝2x2+（m﹣6）x在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围．
解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝，
令f′（x）＝0，解得：x＝1或x＝，
当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，
当＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减，……
所以函数f（x）的极小值为f（1）＝﹣3……
（2）由f（x）＝2x2+（m﹣6）x，得lnx＝（m﹣1）x，
又x＞0，故＝m﹣1，
要使方程在区间[1，e2]上有唯一解，
只需m＝1+有唯一解……
令g（x）＝1+（x＞0），则g′（x）＝，
由g′（x）≥0，得1≤x≤e；由g′（x）≤0，得e≤x≤e2，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．……
∵g（1）＝1，g（e2）＝1+，g（e）＝1+，
∴m＝1+或1≤m＜1+，
即m的取值范围：m＝1+或1≤m＜1+……
22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ）
写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）
过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）
由消去参数t，可得直线l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，由得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）
过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为，将其代入x2+y2﹣6x=0，结合韦达定理，可得．
【解答】解：（Ⅰ）
由消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣6=0．
又由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，
由得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x=0．
（Ⅱ）
过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为
将其代入x2+y2﹣6x=0得，
则，知t1＞0，t2＞0，
所以．
23.
已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若有最小值，且关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）分段讨论去绝对值可解出不等式；
（Ⅱ）先化简去绝对值得出，可得时有最小值为，求出的最值即可列式求出.
【详解】（Ⅰ）当时，，
当时，恒成立，；
当时，，解得，；
当时，不成立，此时无解，
综上，的解集为；
（Ⅱ）可得，
若，即时，无最小值，不符合题意，
若，即时，有最小值为，
令，在处取得最大值为，
由题可得与有两交点，，解得，
综上，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的求解，解题的关键是分段讨论去绝对值求解.
高三数学（文科）
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