2021年新教材高中数学2.1.1倾斜角与斜率（Word含答案解析）

倾斜角与斜率
基础练(15分钟　30分)
1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)
A．60°或120°
B．30°
C．60°
D．30°或150°
2．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围
是(　　)
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值
为________.
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，则这四条直线的倾斜角从小到大依次为__________．(用“<”连接)
5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
进阶练(25分钟　50分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．0°≤α<90°
B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°
D．0°<α<180°
2．已知直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则该直线的倾斜角为(　　)
A．150°
B．135°
C．75°
D．45°
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2
B．0
C．
D．2
4．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值和最小值分别是(　　)
A．最大值是8，最小值是
B．最大值是8，无最小值
C．无最大值，最小值是
D．既无最大值，也无最小值
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列说法中正确的是(　　)
A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan
α
6．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标不能为(　　)
A．(3，0)
B．(－3，0)
C．(0，－3)
D．(0，3)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________.
8．过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________；若R(2，3)，则QR的倾斜角是______．
四、解答题
9．(10分)证明：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点在同一条直线上．
拓展　
　(多选题)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan
α的值为(　　)
A.
B．
C．1
D．
参考答案：
基础练(15分钟　30分)
1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)
A．60°或120°
B．30°
C．60°
D．30°或150°
【解析】选A.由题意知|tan
α|＝，
即tan
α＝或tan
α＝－，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
2．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围
是(　　)
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】选C.因为直线l的倾斜角为锐角，
所以斜率k＝>0，所以－13．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值
为________.
【解析】因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kBC，即＝，解得a＝2或.
答案：2或
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，则这四条直线的倾斜角从小到大依次为__________．(用“<”连接)
【解析】l2的斜率为＝1，所以l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
答案：22.5°<45°<67.5°<90°
5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
【解析】由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
所以kAC＝，kBC＝.
所以＝3·.
整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，所以m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4.
进阶练(25分钟　50分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．0°≤α<90°
B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°
D．0°<α<180°
【解析】选C.直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
2．已知直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则该直线的倾斜角为(　　)
A．150°
B．135°
C．75°
D．45°
【解析】选B.因为直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，
所以其斜率kAB＝＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan
θ＝－1，所以θ＝135°.
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2
B．0
C．
D．2
【解析】选B.由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，
根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.
4．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值和最小值分别是(　　)
A．最大值是8，最小值是
B．最大值是8，无最小值
C．无最大值，最小值是
D．既无最大值，也无最小值
【解析】选A.如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.
由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)，易知kPA≤k≤kPB.
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.故的最大值是8，最小值是.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列说法中正确的是(　　)
A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan
α
【解析】选ABC.由直线的倾斜角与斜率的概念，知说法A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确．
6．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标不能为(　　)
A．(3，0)
B．(－3，0)
C．(0，－3)
D．(0，3)
【解析】选BD.设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝＝1，
得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________.
【解析】因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，即＝，
所以2(a＋b)＝ab，所以＝，
所以＋＝.
答案：
8．过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________；若R(2，3)，则QR的倾斜角是______．
【解析】由题意得＝1，所以m＝1；
所以kQR＝＝－1，所以QR的倾斜角是135°.
答案：1　135°
四、解答题
9．(10分)证明：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点在同一条直线上．
【证明】因为A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)，
所以kAB＝＝2，kBC＝＝2，
所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，
所以A，B，C这三点在同一条直线上．
拓展　
　(多选题)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan
α的值为(　　)
A.
B．
C．1
D．
【解析】选AD.因为AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中；
当是图1时，如图：
A关于DC
的对称点为E，C关于AB的对称点为F；
根据直线的对称性可得：tan
α＝＝＝；
当是图2时，如图：
A关于BC
的对称点为G，C关于AD的对称点为E.
根据直线的对称性可得：tan
α＝＝＝；故选AD.
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