2021年新教材高中数学3.1.1椭圆及其标准方程 （Word含答案解析）

椭圆及其标准方程
基础练
(15分钟　30分)
1．(2020·宁波高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．2
B．5
C．6
D．7
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝(　　)
A．－1
B．1
C．
D．－
4．(2020·济南高二检测)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
5．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，求椭圆的标准方程．
进阶练(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2020·绥德高二检测)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为(　　)
A．9
B．12
C．10
D．8
2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
3．设椭圆＋y2＝1的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|＝(　　)
A．
B．
C．
D．
4．(2020·常德高二检测)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的说法是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
6．(2020·沈阳高二检测)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为(　　)
A．
B．
C．
D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝______.
8．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2020·遂宁高二检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点.
(2)经过A，B两点．
10．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
拓展
1．已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求
(1)椭圆的方程．
(2)sin
∠PF1F2的值．
2．(2020·靖远高二检测)已知△ABC的周长为4＋8且点A，B的坐标分别是，，动点C的轨迹为曲线Q.
(1)求曲线Q的方程；
(2)直线l过点P，交曲线Q于M，N两点，且P为MN的中点，求直线l的方程．
参考答案：
基础练
(15分钟　30分)
1．(2020·宁波高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．2
B．5
C．6
D．7
【解析】选D.设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a，由椭圆方程知a＝5，
所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
【补偿训练】
(2020·吴起高二检测)已知点P是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的一个焦点，PF的中点为Q，O为坐标原点，若|OQ|＝1，则|PF|＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】选D.设左焦点为F，右焦点为E，
因为PF的中点为Q，EF的中点为O，所以|PE|＝2|OQ|＝2，又|PE|＋|PF|＝2a＝8，所以|PF|＝6.
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】选A.设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由题意得解得
所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝(　　)
A．－1
B．1
C．
D．－
【解析】选B.由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1.
因为焦点为(0，2)，所以a2＝，b2＝1，
所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1.
4．(2020·济南高二检测)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
【解析】由题可知，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得0所以实数m的取值范围为.
答案：
5．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，求椭圆的标准方程．
【解析】由题意可得所以
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
进阶练(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2020·绥德高二检测)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为(　　)
A．9
B．12
C．10
D．8
【解析】选A.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10，又PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4×＝64，从而得|PF1|·|PF2|＝18，所以△F1PF2的面积为9.
2．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选C.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
令x＝c，则y＝±，由|AB|＝3，得＝3，①，
又a2－b2＝c2＝1，②
联立①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
3．设椭圆＋y2＝1的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.由椭圆方程易求点P的一个坐标为，左焦点为F(－，0)，
所以|PF|＝＝.
4．(2020·常德高二检测)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.因为椭圆方程为＋＝1，|PF1|＝6，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝16，
所以|PF2|＝10，而|F1F2|＝2＝10，
故cos
∠PF1F2＝
＝＝.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的说法是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【解析】选AC.当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．
6．(2020·沈阳高二检测)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选BD.记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0).
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝______.
【解析】由题意知，A，C为椭圆的两焦点，
则|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.
所以＝＝＝.
答案：
8．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
【解析】椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋　6－
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2020·遂宁高二检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点.
(2)经过A，B两点．
【解析】(1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)，
因为椭圆过点，
所以2a＝＋＝4，
所以a＝2，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n).
把A，B两点代入，
得，解得m＝8，n＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
10．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
【解析】设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，
因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y.
因为P在圆x2＋y2＝25上，
所以x2＋＝25，整理得＋＝1，
即点M的轨迹C的方程是＋＝1.
拓展
1．已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求
(1)椭圆的方程．
(2)sin
∠PF1F2的值．
【解析】(1)因为＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图所示，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，
所以|PF1|＝＝＝8，
所以sin
∠PF1F2＝＝＝.
2．(2020·靖远高二检测)已知△ABC的周长为4＋8且点A，B的坐标分别是，，动点C的轨迹为曲线Q.
(1)求曲线Q的方程；
(2)直线l过点P，交曲线Q于M，N两点，且P为MN的中点，求直线l的方程．
【解析】(1)因为△ABC的周长为4＋8，
点A，B，所以|AB|＝4，|BC|＋|AC|＝8.
因为8>4，所以点C到两个定点的距离之和等于定值，
所以点C的轨迹是椭圆，设它的方程为＋＝1.
所以a＝4，c＝2，b2＝4，
所以椭圆的方程是＋＝1.
(2)设M，N，因为两点在椭圆上，
所以
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,16)＋\f(y,4)＝1,\f(x,16)＋\f(y,4)＝1))
，两式相减可得＋＝0，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入可得＝－，
所以直线l的方程是y－1＝－，
即x＋4y－5＝0.
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