2021年新教材高中数学3.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用 （Word含答案解析）

椭圆方程及性质的应用
基础练
(15分钟　30分)
1．已知直线l过点(3，－1)和椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A．1
B．1或2
C．2
D．0
2．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－B．a<－或a>
C．－2D．－13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝(　　)
A．
B．
C．
D．
4．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
5．已知椭圆C的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
进阶练
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)
A．2
B．2
C．8
D．2
2．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　)
A．
B．
C．
D．4
3．(2020·秦皇岛高二检测)已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
4．(2020·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足AF2＝2F2B，|F1B|＝||，则该椭圆的离心率是(　　)
A．
B．
C．
D．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·海南高二检测)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
6．(2020·济南高二检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆＋＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若＝6，则斜率k可以取的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．黄金分割比ω＝≈0.618被誉为“人间最巧的比例”．离心率e＝的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P(异于椭圆的左右顶点)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________．
8．(2020·宁波高二检测)若点P(3，1)在椭圆E：＋＝1上，A，B两点也在椭圆上，且直线AP与直线BP关于直线y＝1对称，则直线AB的斜率为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
10．(2020·渭南高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．
拓展
1．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．已知曲线Γ：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．
(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2是定值．
(2)设点C满足＝λ(λ＞0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．
参考答案：
基础练
(15分钟　30分)
1．已知直线l过点(3，－1)和椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A．1
B．1或2
C．2
D．0
【解析】选C.因为直线过点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
2．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－B．a<－或a>
C．－2D．－1【解析】选A.由题意知＋<1，解得－3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c由于直线AB的方程为ay＋bx－ab＝0，
所以＝c，
因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍)，所以e＝.
4．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·＝
eq
\f(y－y,x－x)
＝
eq
\f(－\f(b2,a2)x＋b2＋\f(b2,a2)x－b2,x－x)
＝－.
5．已知椭圆C的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
【解析】由已知条件得椭圆焦点在x轴上，
其中c＝2，a＝3，从而b＝1，其标准方程为＋y2＝1，
联立方程，消去y得10x2＋36x＋27＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
中点坐标为(x0，y0)，x0＝＝－，
所以y0＝x0＋2＝，
所以线段AB的中点坐标为.
进阶练
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)
A．2
B．2
C．8
D．2
【解析】选B.根据已知条件c＝，
则点M在椭圆＋＝1(m>0)上，所以＋＝1，可得m＝2.
2．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　)
A．
B．
C．
D．4
【解析】选A.由椭圆＋y2＝1，得a2＝4，b2＝1，
所以c＝＝，
不妨设P在x轴上方，则F1(－，0)，
设P(－，m)(m＞0)，
则＋m2＝1，即m＝.
所以|PF1|＝，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
得|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
3．(2020·秦皇岛高二检测)已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.设A，B是椭圆C上关于直线l对称的两点，AB的中点为M，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，kAB＝－1.
又因为A，B在椭圆C上，
所以x＋
eq
\f(y,2)
＝1，x＋
eq
\f(y,2)
＝1，两式相减可得·＝－2，即y0＝2x0.
又点M在直线l上，故y0＝x0＋m，解得x0＝m，y0＝2m.
因为点M在椭圆C内部，
所以m2＋2m2<1，解得m∈.
4．(2020·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足AF2＝2F2B，|F1B|＝||，则该椭圆的离心率是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.设|BF2|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝2a，
所以|AF1|＝|BF1|＋|BF2|－|AF2|＝2m，
因为|AF1|＝|AF2|，所以A为椭圆的上顶点，
设A，又F2，
则直线AF2：y＝－x＋b，将直线AF2的方程代入椭圆方程＋＝1中得x2＝x，解得x＝0或，
因为AF2＝2F2B，所以c＝2，化简得a2＝3c2，
所以e2＝＝?e＝.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·海南高二检测)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
【解析】选ACD.设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，
所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
因为|AF|＋|BF|为定值6，
所以|AB|的范围是(0，6)，
所以△ABF的周长的范围是(6，12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，
又因为F(，0)，
所以·＝＋＝0，
所以△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)
所以S△ABF＝×2×1＝，D正确．
6．(2020·济南高二检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆＋＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若＝6，则斜率k可以取的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选BD.由题可知，该椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx，
设D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1联立方程得(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝，由＝6，知x0－x1＝6(x2－x0)，x0＝(6x2＋x1)＝x2＝，
由点D在直线AB上，则x0＋2kx0＝2得x0＝，
所以＝，化简，得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．黄金分割比ω＝≈0.618被誉为“人间最巧的比例”．离心率e＝的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P(异于椭圆的左右顶点)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________．
【解析】设P(m，n)，代入椭圆方程，则＋＝1，离心率e＝，可得＝，
整理得：n2＝－(m2－a2)，
又k1＝，k2＝，
所以k1k2＝＝－＝－＝.
答案：
8．(2020·宁波高二检测)若点P(3，1)在椭圆E：＋＝1上，A，B两点也在椭圆上，且直线AP与直线BP关于直线y＝1对称，则直线AB的斜率为________．
【解析】由题意直线AP，BP的斜率均存在，且kAP＝－kBP，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AP：y－1＝k(x－3)，
则，消去y可得(3k2＋1)x2－(18k2－6k)x＋27k2－18k－9＝0，
则x1＋3＝，
即x1＝，
同理直线BP：y－1＝－k(x－3)，x2＝，
所以x1＋x2＝，x1－x2＝，
又y1－y2＝k(x1－3)＋1－[－k(x2－3)＋1]＝k(x1＋x2)－6k＝·k－6k＝，
所以直线AB的斜率kAB＝＝1.
答案：1
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程，得ax＋by＝1，①ax＋by＝1.②
②－①，得a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.
而＝kAB＝－1，＝kOC＝，则b＝a.
又因为|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
所以|x2－x1|＝2.
又由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4·＝4，
将b＝a代入，得a＝，b＝，
所以所求的椭圆方程为＋y2＝1.
10．(2020·渭南高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．
【解析】(1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为a，短轴端点到直线l1的距离为b，所以a＝，b＝，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)，联立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，
则Δ＝64t2－16×5(t2－1)＞0，解得－＜t＜且t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因为|＋|＝||，所以OA⊥OB，
即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，
解得t＝±，满足－＜t＜且t≠0，
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝x－.
拓展
1．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.
当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．
如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大．a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，
所以则e＝＝.则离心率的取值范围是.
2．已知曲线Γ：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．
(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2是定值．
(2)设点C满足＝λ(λ＞0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．
【解析】由椭圆方程可得A(－4，0)，B(4，0)，
设P(x0，y0).
(1)k1＝，k2＝，
所以k1·k2＝
eq
\f(y,x－16)
＝
eq
\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,16))),x－16)
＝－＝－为定值．
(2)因为＝λ，所以A，B，C三点共线，故设C(m，0)(－4＜m＜4)，
则|PC|＝
eq
\r(（x0－m）2＋y)
＝
eq
\r(x－2mx0＋m2＋12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,16))))
＝.
若m≥0，则|PC|max＝＝7，解得m＝3.此时＝(7，0)，＝(1，0)，＝
7，由＝λ，得λ＝7；
同理，若m＜0，可得m＝－3，此时求得λ＝.故λ的值为7或.
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