2021-2022学年北师大版 数学八年级上册第一章 勾股定理 课后培优（word版 含答案）

勾股定理
一、单选题
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（
）
A．a=1，b=2，c=3
B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，c=5
2．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
3．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（
）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2
D．a：b：c=3：4：6
4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　）
A．
B．
C．4
D．5
6．在中，，，高，则三角形的周长是（
）
A．42
B．32
C．42或32
D．37或33
7．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为
（
）
A．80
B．30
C．90
D．120
8．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（
）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
9．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　　　）
A．25海里
B．30海里
C．35海里
D．40海里
10．如图所示，，为垂足，设，，则，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
11．如图，为修铁路需凿隧道，测得，，，若每天凿隧道，则把隧道凿通需要（
）
A．10天
B．天
C．天
D．天
12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为和，则小正方形的面积为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
13．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（
）
A．75
B．100
C．120
D．125
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为(　　)．
A．11
B．10
C．9
D．8
15．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
17．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．
18．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
19．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
20．一个透明的圆柱形的玻璃杯，测得其底面半径为3cm，高为8cm，今有一根长度为12cm的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为________.
21．如图，长方形中，，，分别为，的中点，沿将折叠，若点恰好落在上，则________.
22．一个等腰三角形的周长是20cm，底边上的高是5cm，则这个三角形各边的长分别为________，面积为________.
三、解答题
23．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，你能求出的长吗？
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有　
小时．
25．如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．
26．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
27．如图，，，，，，求该图形的面积．
28．如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.
（1）如图①，，，是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，连接三格和两格的对角线，求的度数（要求：画出示意图，并写出证明过程）.
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．D
5．C
6．C
7．B
8．C
9．D
10．C
11．A
12．A
13．B
14．B
15．C
16．
17．13或．
18．19
19．20
20．2cm
21．2
22．6.25cm，6.25cm，7.5cm
18.
23．3
解：
在三角形ABC中，由勾股定理可知：
．
由折叠的性质可知：
，，．
∴，．
设，则．
在中，由勾股定理得：
，即．
解得：．
∴．
24．（1）海港C受台风影响，
（2）7．
解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC?BC＝CD?AB
∴CD＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km）
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
25．84
解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为84．
证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，
27．24
解：连接，
在中，，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：．
28．（1），
（2），
【分析】
解：（1），
理由：如图①，连接，
由勾股定理可得，，，
所以，
所以是直角三角形且，
所以，
（2）.
理由：如图②，连接AB
、BC，
由勾股定理得，
，
，
所以，
所以是直角三角形且.
又因为，所以是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
在△ABE和△FCD中，
，
∴△ABE≌△FCD（SAS），
∴∠BAD＝∠β，
∴∠α+∠β＝∠CAD+∠BAD=45°.