2018-2019学年安徽省蚌埠市龙子湖区九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2018-2019学年安徽省蚌埠市龙子湖区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各式中表示二次函数的是（　　）
A．y＝x2+
B．y＝2﹣x2
C．y＝
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．（4分）已知，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2
D．y3＞y2＞y1
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，11）
C．（﹣2，7）
D．（2，﹣3）
5．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣3
D．3
6．（4分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y＝2x2+x+2
B．y＝x2+3x+2
C．y＝x2﹣2x+3
D．y＝x2﹣3x+2
7．（4分）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣3
D．3
9．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张
B．第5张
C．第6张
D．第7张
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）已知函数是关于x的二次函数，则m的值为　
　．
12．（4分）如图，它是反比例函数y＝图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是　
　．
13．（4分）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝　
　．
14．（4分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0　②a+b+c＞0　③2a﹣b＝0④c﹣a＝3，其中正确的有　
　．（填序号）
三、解答题
15．（8分）已知，求的值．
16．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，4），且当x＝2时，y有最小值﹣2，求该二次函数的表达式．
17．（8分）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5；求y与x的函数解析式．
18．（12分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
19．（10分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
20．（10分）如图，已知，试说明∠1＝∠2．
21．（10分）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．
22．（12分）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？
23．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
2018-2019学年安徽省蚌埠市龙子湖区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各式中表示二次函数的是（　　）
A．y＝x2+
B．y＝2﹣x2
C．y＝
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．
【解答】解：A、y＝x2+，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
2．（4分）已知，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由，得
a＝b，
＝＝﹣，
故选：D．
3．（4分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2
D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴C（﹣2，y3）关于直线x＝1的对称点是（4，y3），
∵1＜2＜4，
∴y1＜y2＜y3，
故选：D．
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，11）
C．（﹣2，7）
D．（2，﹣3）
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11．
所以此函数的顶点坐标为（2，11）．
故选：B．
5．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣3
D．3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（﹣1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
﹣2＝，即2＝k﹣1，
解得，k＝3．
故选：D．
6．（4分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y＝2x2+x+2
B．y＝x2+3x+2
C．y＝x2﹣2x+3
D．y＝x2﹣3x+2
【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．
【解答】解：设这个二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；
所以该函数的解析式是y＝x2﹣3x+2．
故选：D．
7．（4分）如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例定理可知BO：OC＝AO：OD，AD：DF＝BC：CE，由此可得出结论．
【解答】解：根据AB∥CD∥EF得到：＝．
故选：D．
8．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k的值为（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣3
D．3
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k＝﹣6．
故选：A．
9．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先观察抛物线y＝ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可得反比例函数y＝过第几象限，继而求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴﹣b＞0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；
∵由函数图象可知，当x＝1时，抛物线y＝a+b+c＜0，
∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限．
故选：D．
10．（4分）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张
B．第5张
C．第6张
D．第7张
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝4.5，
所以另一段长为22.5﹣4.5＝18，
因为18÷3＝6，所以是第6张．
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）已知函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣1　．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（4分）如图，它是反比例函数y＝图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是　m＞5　．
【分析】根据图象可知反比例函数中m﹣5＞0，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
反比例函数y＝图象在第一象限，
∴m﹣5＞0，得m＞5，
故答案为：m＞5．
13．（4分）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝　8：5　．
【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵DF∥BE，
∴△AME∽△ADF，
∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2
∵DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，
∴BD：DC＝EF：FC＝2：3
∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）
∴AE：EC＝8：5．
14．（4分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0　②a+b+c＞0　③2a﹣b＝0④c﹣a＝3，其中正确的有　③④　．（填序号）
【分析】根据图象与x轴的交点个数即可判断①，把x＝1代入函数解析式即可判断②；根据顶点坐标即可判断③，求出解析式，即可判断④．
【解答】解：∵图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；
∵﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，故③正确；
∵y＝﹣（x+1）2+3＝﹣x2﹣x+，
∴c﹣a＝﹣（﹣）＝3，故④正确；
故答案为：③④．
三、解答题
15．（8分）已知，求的值．
【分析】设＝k（≠0），得出x＝3k，y＝4k，z＝11k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：设＝k（≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝11k，
＝＝．
16．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，4），且当x＝2时，y有最小值﹣2，求该二次函数的表达式．
【分析】根据题意设出该二次函数的顶点式，再把（0，4）代入解析式即可得出答案．
【解答】解：∵当x＝2时，y有最小值﹣2，
∴该二次函数的顶点为（2，﹣2），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2，
把点（0，4）代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，
得4＝4a﹣2，
解得a＝，
∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2．
17．（8分）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5；求y与x的函数解析式．
【分析】根据题意设出函数解析式，将x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5分别代入解析式，列出方程组，求出未知系数，即可得所求解析式．
【解答】解：由题意可设．（1分）
∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，
所以（2分），
解得，（2分），
∴．（1分）
18．（12分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
【分析】（1）根据待定系数法即可解决．
（2）利用方程组可以求出点D坐标．
（3）观察图象法即可知道答案．
【解答】（1）解：∵直线y1＝x+m与反比例函数y2＝（x＜0）的图象经过点C（﹣1，2），
∴2＝﹣1+m，2＝﹣k，
∴m＝3，k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y1＝x+3，反比例函数解析式为y2＝﹣．
（2）由解得，
∴点D坐标（﹣2，1）．
（3）由图象可知：﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．
19．（10分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
【分析】（1）设出边长为xmm，由正方形的性质得出，PQ∥BC，PN∥AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，、，代入数据求解即可．
（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根据平行线的性质可以得出：、，
由题意知PN＝x，AD＝80，BC＝120，PQ＝x，
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝48．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm．
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根据平行线的性质可以得出：、，
①PN为长，PQ为宽：
由题意知PN＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，AP＝xmm，
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝30，2x＝60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PN为宽，PQ为长：
由题意知PN＝xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，AP＝2xmm，
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长为60mm，宽是30mm或者长为mm，宽为mm．
20．（10分）如图，已知，试说明∠1＝∠2．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴△ABC∽△AB′C′，
∴∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAC﹣∠BAC′＝∠B′AC′﹣∠BAC′，
即∠1＝∠2．
21．（10分）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．
【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即Δ＞0即可；
（2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
【解答】证明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0①
∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0（3分）
∴方程①有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点（4分）；
（2）令：x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+4（5分）
解得m＝﹣1+或﹣1﹣（9分）．
（说明：少一个解扣2分）
22．（12分）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？
【分析】（1）先由图象上的三点坐标求出抛物线的关系式，再由图象上的两点坐标求出一次函数的关系式；
（2）此题综合考查了二次函数、一次函数解析式的求法及相关知识的应用．
【解答】解：（1）设0≤x≤10时的抛物线为y＝ax2+bx+c
由图象知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点
∴
解得
∴y＝﹣x2+x+20，（0≤x≤10）．
（2）由图象知，当20≤x≤40时，y＝﹣x+76
当0≤x≤10时，令y＝36，得36＝﹣x2+x+20
解得x1＝4，x2＝20（舍去）
当20≤x≤40时，另y＝36，得36＝﹣x+76
解得x＝＝28
∵﹣4＝＞24
∴老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题．
23．（12分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）延长CD交x轴于F，根据△DCE与△AOC相似得出∠CAO＝∠ECD，即CF＝AF，设F点的坐标为（a，0），根据勾股定理得出a的值，求出直线CF的解析式，与抛物线联立即可得出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），
∴将点A、B的坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3；
（2）如图1，过点B作BM⊥AC于M，
∵OC＝3，AO＝1，OB＝，
∴AC＝＝，BC＝＝，AB＝OA+OB＝，
∵S△ABC＝AC?BM＝AB?OC，
∴AC?BM＝AB?OC，
即BM＝×3，
∴BM＝，
在Rt△CMB中，
sin∠ACB＝＝，
∴∠ACB的度数为45°，
如图，延长CD交x轴于F，
∵∠ACB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD＞45°，
又∵△DCE与△AOC相似，
∵∠AOC＝∠DEC＝90°，
∴∠CAO＝∠ECD，
∴CF＝AF，
设F点的坐标为（a，0），
在Rt△COF中，OF2+OC2＝CF2，
即a2+32＝（a+1）2，
解得a＝4，
设直线CF的解析式为y＝kx+3，
将F（4，0）代入解析式，得4k+3＝0，
解得k＝﹣，
∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，
∵D点是直线CF与抛物线的交点，
∴y＝﹣x+3＝﹣2x2+x+3，
解得或，
∴D点的坐标为（，）．