课时规范练8 幂函数与二次函数
基础巩固组
1.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
2.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是( )
A.[0,4]
B.
C.
D.
3.二次函数f(x)的图象如图所示,则f(x-1)>0的解集为( )
A.(-2,1)
B.(0,3)
C.(-1,2]
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
4.(2020广东盐田二模,6)关于x的方程ax2+(1-a)x-1=0,下列结论正确的是( )
A.当a=0时,方程无实数根
B.当a=-1时,方程只有一个实数根
C.当a=1时,方程有两个不相等的实数根
D.当a≠0时,方程有两个相等的实数根
5.(2020福建三明模拟,理7)已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )
A.[0,1]
B.(0,1)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
6.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln
π),c=f,则a,b,c的大小关系为( )
A.c
B.aC.bD.b7.(2020江苏南通三模)幂函数f(x)=x-2的单调递增区间为 .?
8.已知函数f(x)为幂函数,且f(4)=,则当f(a)=4f(a+3)时,实数a等于 .?
9.(2020河北唐山模拟,理14)已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为-,49,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是 .?
10.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
综合提升组
11.(2020广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-2)
B.[2,+∞)
C.[-2,2]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
12.(2020山西大同模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )
A.f(m+1)≥0
B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0
D.f(m+1)<0
13.已知命题p:?x∈R,x2+2x+m≤0,命题q:幂函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数m的取值范围是 .?
创新应用组
14.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.[-1,4)
C.[-1,+∞)
D.[-1,6]
15.(2020湖南衡阳高三一模,文9)已知命题p:函数f(x)=的定义域为R,命题q:存在实数x满足ax≤ln
x,若p∨q为真,则实数a的取值范围是( )
A.-2,
B.,2
C.[2,+∞)
D.(-∞,2]
16.已知函数f(x)=x2+x+m,若|f(x)|在区间[0,1]上单调,则实数m的取值范围为 .?
参考答案
课时规范练8 幂函数与二次函数
1.D 设幂函数为y=xα,将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,所以y=故选D.
2.D 由题意知,二次函数图象的对称轴的方程为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m
3.B 根据f(x)的图象可得f(x)>0的解集为{x|-10的解集为(0,3).故选B.
4.C 当a=0时,方程为x-1=0,即x=1,故选项A错误;当a=-1时,方程变为-x2+2x-1=0,因为Δ=4-4=0,所以方程有两个相等的实数根,故选项B错误;当a=1时,方程变为x2-1=0,得x=±1,故选项C正确;当a≠0时,Δ=(1-a)2+4a=(1+a)2≥0,所以方程有两个实数根,故选项D错误,所以选C.
5.D 当m=0,令f(x)=0得,-3x+1=0,得x=,符合题意;当m>0时,由f(0)=1可知,若满足题意,则需得06.A 根据题意,m-1=1,∴m=2,∴2n=8,
∴n=3,∴f(x)=x3.
∴f(x)=x3是定义在R上的增函数,
又-<0<=1π,∴c7.(-∞,0) 由f(x)=x-2=,得f(x)为偶函数,易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,由偶函数的对称性,得f(x)在(-∞,0)上单调递增.
8 设f(x)=xα,则4α=,解得α=-因此f(x)=,从而=4(,即=4,
即=4,即=16,解得a=
9.f(x)=-4x2-12x+40 设f(x)=ax+2+49(a≠0),方程ax+2+49=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-3,x1x2=,则|x1-x2|==2=7,得a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.
10.解
∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,
∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又∵f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
11.B 易知f(x)=-x3+m在R上是减函数.依题设,函数g(x)=x2-kx+m在[-1,1]上单调递减,所以抛物线的对称轴1,所以k≥2.
12.C (方法1)∵f(0)=f(-1)=a>0,由f(m)<0,得-1∵f(x)=+a-,∴当x>-时,函数f(x)单调递增,∴f(m+1)>f(0)>0>f(m).
(方法2)因为f(x)图象的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0,得-10,所以f(m+1)>f(0)>0.
13.(-∞,1]∪(2,3) 对命题p,因为?x∈R,x2+2x+m≤0,
所以4-4m≥0,解得m≤1;
对命题q,因为幂函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,
所以+1<0,解得2因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q一真一假.
若p真q假,可得m≤1;
若p假q真,可得214.C 不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,等价于a-2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,
∵y=-2t2+t=-2,∴t=1时,ymax=-1,∴a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞).故选C.
15.D 若命题p为真,则x2-ax+1≥0在R上恒成立,故可得a2-4≤0,解得-2≤a≤2.
若命题q为真,则a≤max(x>0).令y=,故可得y'=,令y'=0,解得x=e,
故易得y=在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.故max=,则a
所以若p∨q为真,则a∈(-∞,2],故选D.
16.(-∞,-2]∪[0,+∞) 由题得二次函数的对称轴为x=-
因为函数|f(x)|在区间[0,1]上单调,所以当函数单调递增时,Δ=1-4m≤0或解得m≥0.当函数单调递减时,解得m≤-2.综上,m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,+∞).
1(共79张PPT)
2.4 幂函数与二次函数
第二章
01
02
必备知识
预案自诊
关键能力
学案突破
03
案例探究3
二次函数的零点分布问题
内容索引
必备知识
预案自诊
【知识梳理】
1.幂函数
(1)幂函数的定义:形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是 ,α是 .?
(2)五种幂函数的图象
y=xα
自变量
常数
(3)五种幂函数的性质
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
?
?
?
?
?
值域
?
?
?
?
?
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
?
?
?
?
?
定点
(1,1),(0,0)
(1,1)
R
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R,且x≠0}
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R,且y≠0}
增
x∈[0,+∞)时,增,
x∈(-∞,0)时,减
增
增
x∈(0,+∞)时,减,
x∈(-∞,0)时,减
2.二次函数
(1)二次函数的三种形式
一般式: ;?
顶点式: ,其中 为顶点坐标;?
零点式: ,其中 为二次函数的零点.?
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
(h,k)
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
x1,x2
(2)二次函数的图象和性质
常用结论
1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:
(1)恒过点(1,1);
(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.
2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n](m与m或n的大小.
3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=m,当a>0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)>f(x2);
当a<0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)常用结论
4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:
(1)方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)<0或
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
×
×
×
√
×
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.aC.bD.a答案
D
解析
根据幂函数的性质,可知选D.
3.(2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a,a+2]均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.(-∞,0]
D.[0,+∞)
答案
B
解析
因为y=x3在R上是增函数,由(3x+a)3≤8x3,得3x+a≤2x,即x≤-a,
所以对任意x∈[a,a+2],x≤-a恒成立.所以a+2≤-a,因此a≤-1.
4.(2020河南新乡三模,理3)若抛物线x2=ay的准线与函数y=-x2-2x+1的图象相切,则a=____________.?
答案
-8
关键能力
学案突破
考点1
幂函数的概念
答案
(1)C (2)B
解题心得1.幂函数y=xα的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.
2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.
答案
(1)B (2)C
考点2
幂函数的图象
【例2】
(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
(2)已知幂函数
(n∈Z)的图象关于y
轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则n的值为( )
A.-3
B.1
C.2
D.1或2
答案
(1)C (2)B
解题心得探讨幂函数图象的分布规律,应先观察图象是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是( )
(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点(a,
)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
答案
(1)B (2)A
考点3
幂函数的性质及应用
解题心得1.幂函数的主要性质
(1)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
(2)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
答案
(1)(3,5) (2)A
考点4
求二次函数的解析式
【例4】
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
(方法2)(利用顶点式)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(方法3)(利用两根式)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
解得a=-4或a=0(舍去).
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.
解
设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为8,
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且?x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解
因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.
所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
考点5
二次函数的图象与性质
(多考向探究)
考向1 二次函数的单调性及应用
【例5】
(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是 .?
(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0)
B.(-∞,-3]
C.[-2,0]
D.[-3,0]
答案(1)[4,+∞) (2)D
解析
(1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,
f(x)在区间(-∞,4)上单调递增,所以a≥4.故a的取值范围为[4,+∞).
(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.
解得-3≤a<0.
综上,a的取值范围为[-3,0].
解题心得二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.
对点训练5(1)已知函数
在R上为增函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.与x有关,不确定
答案
(1)D (2)A
(2)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴b=2.又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
考向2 二次函数的最值问题
【例6】
(1)已知函数f(x)=(x+2
013)(x+2
015)(x+2
017)(x+2
019),x∈R,则函数f(x)的最小值是 .?
(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为 .?
解析
(1)令x+2
016=t,则f(t-2
016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.
(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,
①当a=0时,f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
②当a>0时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=
;
③当a<0时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a的值为
.
解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.
答案
(1)D (2)1
解析
(1)设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,
依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.
(2)因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.
考向3 与二次函数有关的恒成立问题
【例7】
设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
答案
D
解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
对点训练7已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若?x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .?
考向4 二次函数中的双变量问题
【例8】
已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .?
解析对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?在[-1,2]上g(x)的值域?f(x)的值域,
g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a,2+2a],
因为f(x)=x2-2x在[-1,2]的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在[-1,2]的值域为[-1,3].
解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.
对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为( )
A.6
B.4
C.3
D.2
答案
A
考点6
二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)
考向1 一元二次方程与一元二次不等式
【例9】
关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案
B
解析
依题意,得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1,故选B.
考向2 二次函数与一元二次方程
【例10】
已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为( )
A.{0,-3}
B.[-3,0]
C.(-∞,-3]∪[0,+∞)
D.{0,3}
答案
A
解析
因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.
考向3 二次函数与一元二次不等式
【例11】
已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为 .?
解析
当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,当0≤x≤3时,f(x)=-x2+3x,
f(x)≤2即-x2+3x≤2,解得x≤1或x≥2,∴0≤x≤1或2≤x≤3.
解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对点训练9(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1C.{x|-2D.{x|x<-2,或x>1}
(2)若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为( )
(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围为( )
答案
(1)A (2)A (3)B
要点归纳小结
1.幂函数y=xα(α∈R)的图象的特征:
当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;
当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.
2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.
3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即
要点归纳小结
案例探究3
二次函数的零点分布问题
【例1】
关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.
(1)有两个正根;
(2)有两个负根;
(3)有一正一负根.
思考对于(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
【例2】
关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;
(3)一个根小于2,一个根大于4;
(4)两个根都在(0,2)内.
思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,
(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1.
故m的取值范围为(-∞,1).
(2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则
【例3】
将例2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.
(1)一个根在(m,n),另一根在(p,q);
(2)两个根都在(m,n).
解设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图象如图,则
归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)
本
课
结
束