(共41张PPT)
2.8 函数与方程
第二章
01
02
必备知识
预案自诊
关键能力
学案突破
内容索引
必备知识
预案自诊
【知识梳理】
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.?
(2)与函数零点有关的等价关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 有交点?函数y=f(x)有 .?
f(x)=0
x轴
零点
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
连续不断的
f(a)·f(b)<0
f(x0)=0
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
函 数
y=ax2+bx+c(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图 象
?
?
?
与x轴的交点
?
?
无交点
零点个数
?
?
?
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
2
1
0
3.二分法
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且 ,通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.?
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
常用结论
1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)·f(b)<0?函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
(5)函数y=2sin
x-1的零点有无数多个.( )
×
√
×
√
√
2.(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
答案
B
解析
易知f(x)=2x+3x在R上单调递增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,
f(0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案
C
解析
易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,
f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,2)
D.(0,2]
答案
B
解析
由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得0
5.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln
x+x-4的零点,则g(x0)= .?
答案
2
解析∵函数f(x)=ln
x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图象是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln
3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
关键能力
学案突破
考点1
判断函数零点所在的区间
【例1】
(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln
x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( )
A.(0,1)
B.(e-1,1)
C.(0,e-1)
D.(1,e)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
答案
(1)C (2)D
解析
(1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.
(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-
的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
答案
(1)B (2)B
解析
(1)∵f(1)=ln
2-2<0,f(2)=ln
3-1>ln
e-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.
(2)由图象知
<1,得10,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
考点2
判断函数零点的个数
【例2】
(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+
在区间[-9,10]上零点的个数为( )
A.10
B.12
C.18
D.20
答案
(1)B (2)A
解题心得判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2
020]上的零点个数为( )
A.5
050
B.4
041
C.4
040
D.2
020
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为 .?
答案
(1)B (2)7
解析
(1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2
020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图象关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2
019,2
020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图象是由f(x)的图象关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2
020]上的零点个数为
1+2
020×2=4
041.
(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图象,如图所示,
可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间
[-2,4]上的零点个数为7.
考点3
函数零点的应用
(多考向探究)
考向1 已知函数零点所在区间求参数
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图象利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .?
解析
(1)由f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)
(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
考向2 已知函数零点个数求参数问题
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .?
解析
(1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图象如图所示,
由图象可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,
要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数
若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2)
B.[0,1)
C.(-∞,2]
D.(-∞,1]
(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,?x∈R都有
f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .?
解析
(1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)单调递增.由h'(x)<0得-1当x>0时,h(x)=f(x)-x=-ln
x-x单调递减,作出函数h(x)的图象如图所示,
要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.
由g(x)=f(x)-loga(x+1)=0得f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图象在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.
作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9]上的图象如下,
要点归纳小结
1.函数零点的常用判定方法:
(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
要点归纳小结
1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑.
本
课
结
束课时规范练12 函数与方程
基础巩固组
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是( )
2.(2020湖南十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln
x-的零点,则g(x0)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.函数f(x)=ln(2x)-1的零点位于区间( )
A.(2,3)
B.(3,4)
C.(0,1)
D.(1,2)
4.(2020湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰好有两个不同的实根,则实数a的取值范围为( )
A.,1
B.
C.∪(1,+∞)
D.R
5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
6.(2020山东历城二中模拟四,9改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0)上单调递减,且f(-3)·f(6)<0,那么下列结论中正确的是( )
A.f(x)可能有三个零点
B.f(3)·f(-4)≥0
C.f(-4)>f(6)
D.f(0)7.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实根,则a的取值范围是( )
A.(-1,+∞)
B.(-1,1)
C.(0,1]
D.(-∞,1)
8.(2020山东济宁三模,12)已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln
x的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论错误的是( )
A.x1+x2=2
B.>2e
C.x1ln
x2+x2ln
x1<0
D.x1x2>
9.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .?
综合提升组
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.
C.
D.
11.(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,5)
12.已知函数f(x)=若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为
( )
A.(-∞,0]
B.[0,1)
C.(-∞,1)
D.[0,+∞)
13.(2020安徽安庆二模,理12)函数f(x)=|ln
x|-ax恰有两个零点x1,x2,且x1A.0,
B.
C.
D.,1
14.(2020天津和平区一模,15)已知函数f(x)== ;若方程f(x)=x+a在区间[-2,4]有三个不等实根,则实数的取值范围为 .?
创新应用组
15.(2020河南实验中学4月模拟,12)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解,则实数a的最大值为( )
A.2
B.3
C.5
D.8
16.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.-
B.
C.
D.1
参考答案
课时规范练12 函数与方程
1.C A中图象表示的函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B中函数的图象不连续;D中函数在x轴下方没有图象.故选C.
2.B 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=ln
2-1<0,f(3)=ln
3->0,所以x0∈(2,3),所以g(x0)=[x0]=2.
3.D ∵f(x)=ln(2x)-1是增函数,且是连续函数,f(1)=ln
2-1<0,f(2)=ln
4-1>0,∴根据函数零点的存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上.
4.C 作出函数f(x)的图象如图,
因为关于x的方程f(x)=2a恰好有两个不同的实数根,所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,
所以2a>2或<2a≤1,解得a>1或5.C 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,
则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,
所以2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,
则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-
6.A 因为f(x)是定义域为R的偶函数,又f(-3)·f(6)<0,所以f(3)·f(6)<0.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点,且f(3)<0,f(6)>0.
所以函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有两个零点.但是f(0)的值没有确定,所以函数f(x)可能有三个零点,所以A项正确;又f(-4)=f(4),4∈(3,6),所以f(-4)的符号不确定,所以B项不正确;C项显然不正确;由于f(0)的值没有确定,所以f(0)与f(-6)的大小关系不确定,所以D项不正确.故选A.
7.C 画出函数f(x)的图象如图所示,若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实根,
则函数f(x)的图象与直线y=-a有两个不同交点,
由图可知-1≤-a<0,所以08.D 因为函数y=ex与y=ln
x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2与直线y=x垂直,且交点为(1,1),则点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,所以x1+x2=2,故选项A正确;2=2=2=2e,由题意x1≠x2,所以,所以>2e,故选项B正确;因为点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,不妨设x1<1x2+x2ln
x1x2+x2ln
x1=x2(ln
x2+ln
x1)=x2ln(x1x2)1=0,故选项C正确;因为x1+x2>2,则x1x2<2=1,所以x1x2>错误,故选项D错误.故选D.
9.(3,+∞) 在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2即m2-3m>0.又m>0,解得m>3,即m的取值范围为(3,+∞).
10.C 令g(x)=0,得f(x)=k(x+1).
由题意知f(x)的周期为T=2,
作出y=f(x)在[-1,3]上的图象,如图所示.
设直线y=k1(x+1)经过点(3,1),则k1=
因为直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,所以011.C 因为f(x)在(0,+∞)上为单调函数,且f([f(x)-log2x])=3,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,所以f(t)=log2t+t=3,得t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5.因为g(3)<0,g(4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).故选C.
12.C 当x>0时,f(x)=f(x-1),
所以f(x)是以1为周期的函数.又当013.D 当a<0时,f(x)>0恒成立,不符合题意,当a=0时,f(x)=|ln
x|只有一个零点为1,也不符合题意,当a>0时,作函数g(x)=|ln
x|与h(x)=ax图象,
易知g(x)与h(x)图象在区间(0,1)上必有一个交点,则在区间(1,+∞)上有且仅有一个公共点,当x∈(1,+∞)时,f(x)=ln
x-ax,f'(x)=,f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,所以f(x)max=f=ln-1,则只需ln-1=0,故a=,当x∈(0,1)时,f(x)=-ln
x-x,易知f=1->0,f(1)=-<0,可知x1∈,1,故选D.
14.81 -∞,-∪{1} ∵f(x)=
∴f(3)=2f(1)=4f(-1)=4×(1-|-1+1|)=4.
∴logf(3)256=lo28==4,=34=81.
若x∈[0,2],则-2≤x-2≤0,
∴f(x)=2f(x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|,0≤x≤2.
若x∈(2,4],则0∴f(x)=2f(x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|,2∴f(1)=2,f(2)=0,f(3)=4.
设y=f(x)和y=x+a,则方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不等实根,等价为函数y=f(x)和y=x+a在区间[-2,4]内有3个不同的零点.
作出函数f(x)和y=x+a的图象,如图所示,
当直线经过点A(2,0)时,两个图象有2个交点,此时直线为y=x-2,当直线经过点O(0,0)时,两个图象有4个交点,此时直线为y=x,当直线经过点B(3,4)和C(1,2)时,两个图象有3个交点,此时直线为y=x+1,∴要使方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不等实根,则a=1或-215.D 作函数f(x)图象,如图所示,由[f(x)]2+af(x)<0,得f(x)[f(x)+a]<0,当a>0时,-a又f(3)=-9+6=-3,所以-a<-3<0,-a≥f(4)=-8,则3当a=0时,[f(x)]2<0,则a=0不满足题意;当a<0时,01时,016.C (方法1)∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,
∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=
(方法2)函数的零点满足x2-2x=-a(ex-1+e-x+1)=-aex-1+,设g(x)=ex-1+,令t=ex-1>0,则y=t+在(0,1)单调递减,在[1,+∞)单调递增,即g(x)=ex-1+在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,ymin=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,h(x)min=-1,若-a>0,函数h(x)与-ag(x)有两个交点,不合题意.当-a<0时,-ag(x)的最大值为-2a,当-2a=h(x)min=-1,两个函数有一个交点,解得a=
6