正弦定理导学案

1．1．1正弦定理
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（提示：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
在中，已知，，cm，解三角形。
练习：
1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）　:
Ａ　　３　　　Ｂ ２ Ｃ D
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4-3 D 8-8
例 2试推导在三角形中 ===2R其中R是外接圆半径
例3.在
例4.
例5.已知⊿ABC,求证：⊿ABC的面积
三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在中，三个内角之比，那么等于____
4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
5.在中，已知，求的度数
6.已知在中，AB=6，A=30，B= ,解此三角形。
7已知在中，三个内角所对的边分别为a,b,c,已知2B=A+C,a+ b=2c.,求的值。
小结：
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；
（2）==等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：
1）；
2）；
3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。
一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．
外接圆法）如图所示，∠＝∠
a=bsinA有一解 a>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解