2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册2.4解直角三角形同步能力提升训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册2.4解直角三角形同步能力提升训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 570.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-24 07:12:28 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，且tan，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A．
B．
C．3
D．
二、填空题
10．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝45°，∠ADB＝60°，CD＝2，则AB＝
．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝1，那么tan∠BCD＝
．
12．如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是
．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝
．
14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是
．
15．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为
．
16．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝
．
17．一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）＝cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）＝cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°＝cos（30°+60°）＝cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°＝×﹣×＝0类似地，可以求得cos15°的值是
（结果保留根号）．
三、解答题
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
20．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sinC＝，BC＝12，求△ABC的面积．
22．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA＝．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
23．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠ECB的值．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．
26．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠．根据下列条件解直角三角形．
（1）b＝10，∠A＝60°．
（2）a＝2．b＝2．
27．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A．∠B．∠C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形：
（1）∠A＝60°，c＝12
（2）a＝8，c＝8．
28．在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件，解直角三角形
（1）a＝35，c＝35；
（2）∠A＝60°，b＝4；
（3）∠B＝60°，a+b＝6．
29．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，解这个直角三角形．
30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）b＝2，c＝4；
（2）∠A＝30°，b＝8；
（3）c＝8，∠A＝60°．
31．根据下列条件解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，c＝5；
（2）在Rt△ABC中．∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°．
32．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）若a＝36，∠B＝30°．求：∠A的度数和边b、c的长；
（2）若a＝6，b＝6．求：∠A、∠B的度数和边c的长．
33．已知△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积及BC的长．
34．如图，已知锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
（1）求证：S△ABC＝absinC；
（2）若a＝30cm，b＝36cm，∠C＝30°，求△ABC的面积．
参考答案
1．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
2．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：C．
4．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
5．解：∵cos∠A＝＝，
∴设AC＝4a，则AB＝5a，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝＝＝3a，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴sin∠DCB＝sin∠A＝＝＝；
故选：C．
6．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△ACB中，tanA＝＝，
∴tan∠BCD＝，
故选：A．
7．解：在AC上取点D，连接DB，使DB＝DA，
则∠DBA＝∠A，
∴∠BDC＝2∠A＝2α，
设DB＝DA＝x，BC＝y，
在Rt△ABC中，tan＝，
∴AC＝3y，
∴CD＝3y﹣x，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即y2+（3y﹣x）2＝x2，
解得，x＝y，
则CD＝y，
∴tan2α＝＝＝，
故选：D．
8．解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故选：B．
9．解：∵∠C＝90°，∠B＝∠DAC＝30°，
∴BC＝AC，AC＝CD，
∴BC＝3CD，
∵BC＝BD+CD＝2+CD，
∴3CD＝2+CD，
解得：CD＝1，
∴AC＝，
故选：A．
10．解：∵∠B＝90°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
∵∠ADB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴AB＝BD，
∵CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝2，
∴BD﹣BD＝2，
解得：BD＝+1，
∴AB＝CB＝CD+BD＝2++1＝3+；
故答案为：3+．
11．解：∠A＝45°，AD＝1，
∴sin45°＝＝，
∴DE＝．
∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，
∴AE＝DE＝CE＝，∠ADC＝90°．
∴BD＝AC﹣AD＝﹣1，
∴tan∠BCD＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝5，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．
13．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝4，
∴BD＝＝＝2；
故答案为：2．
14．解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
15．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
16．解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°，
同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，
∴AD＝＝＝a，
∴sin（α+β）＝＝＝．
故答案为：．
17．解：cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°?cos30°+sin45°?sin30°
＝×+×＝，
故答案为：．
18．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
19．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+，
答：AB的长是3+．
20．解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
21．（1）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，
∴BD＝AC；
（2）解：设AC＝BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，
∵sinC＝，
∴cosC＝，tanC＝，
∴＝，＝，
即＝，
解得：x＝，
∴CD＝12﹣x＝，
∴AD＝CD＝×＝8，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．
22．解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB＝＝＝8，
∴x＝2，
由勾股定理可得，AD＝＝4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB＝＝＝4，
∴sin∠DBC＝＝＝．
23．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝12，
∵E是AD的中点，
∴ED＝AD＝6，
∴tan∠DCE＝＝；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴＝＝，＝＝1，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x
∴＝．
24．解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝3，
由题意得，AD＝2，CD＝1，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝2；
（2）作EF⊥BC于F，
则EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，EF＝2，BF＝2，
∴CF＝1，
∴tan∠ECB＝＝2．
25．解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠DEC＝90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°．
∴在Rt△ADE中，DE＝AD＝3，AE＝，∠ADE＝60°．
∵∠ADC＝105°，
∴∠EDC＝45°．
∴在Rt△CDE中，CE＝DE＝3．
∴AC＝AE+CE＝．
∴在Rt△ABC中，tan∠B＝，
∴AB＝AC÷＝3+．
26．解：（1）∵∠A＝60°．
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵b＝10，
∴c＝2b＝20，
∴a＝＝10；
（2）∵a＝2，b＝2，
∴c＝＝4，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
27．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴b＝c＝6，
∵tanA＝，
∴a＝6?tan60°＝6；（2）sinA＝＝，
∴∠A＝45°，∠B＝90°﹣∠A＝45°，
b＝a＝8．
28．解：（1）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a＝35，c＝35，
∴b＝，sinA＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
即∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；
（2）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，b＝4，tanA＝，
∴，∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴a＝4，
∴c＝，
即∠B＝30°，a＝4，c＝8；
（3）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B＝60°，a+b＝6，tanB＝，
∴∠A＝30°，，
解得，a＝3﹣3，b＝9﹣3，
∴c＝2a＝6，
即∠A＝30°，a＝3﹣3，b＝9﹣3，c＝6．
29．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，
∴∠A＝30°．
∴c＝2a．
∴a＝4，c＝8．
∴b＝．
即：a＝4，b＝，c＝8，∠A＝30°．
30．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4，
∴a＝＝＝2．
∴tanA＝，tanB＝．
∴∠A＝30°，∠B＝60°．
即a＝2，∠A＝30°，∠B＝60°．
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝8，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝60°．
∵tanA＝，sinB＝．
∴a＝8，c＝16．
即∠B＝30°，a＝8，c＝16．
（3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝30°．
∵sinA＝，sinB＝，c＝8，
∴a＝4，b＝4．
即∠B＝30°，a＝4，b＝4．
31．（1）∵在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，c＝5，
∴b＝．
∴a＝b．
∴∠A＝∠B＝45°．
即：b＝5，∠A＝45°，∠B＝45°．
（2）∵在Rt△ABC中．∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣60°＝30°．
∴c＝2b．
∴b＝2．
∴a＝＝．
即a＝6，b＝2，∠B＝30°．
32．解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，
∴∠A＝90﹣∠B＝60°，＝cosB，即c＝＝＝24，
∴b＝c＝×24＝12（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴c＝2a＝12．
33．解：过C作AB边上高CD，
∵∠BAC＝150°，∴∠CAD＝30°，
∵AC＝2，∴CD＝AC＝1，AD＝AC?cos30°＝，
∴BD＝AD+AB＝3，
∴△ABC的面积＝AB?CD＝2，
∵BC2＝CD2+BD2＝28，
∴BC＝2．
34．解：（1）作BD⊥AC，
∵RT△BCD中，BD＝BC?sinC＝asinC，
∴S△ABC＝AC?BD＝absinC；
（2）根据（1）中结论，
S△ABC＝absinC＝×30×36×＝270（cm2）．
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知：cos∠A＝，则sin∠DCB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则tan∠BCD的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，且tan，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A．
B．
C．3
D．
二、填空题
10．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝45°，∠ADB＝60°，CD＝2，则AB＝
．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD＝1，那么tan∠BCD＝
．
12．如图，四边形OABC中，OA在x轴的正半轴上，∠C＝∠OAB＝90°，AB＝3，BC＝5，cos∠AOC＝，则点C的坐标是
．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝
．
14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是
．
15．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为
．
16．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝
．
17．一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）＝cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）＝cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°＝cos（30°+60°）＝cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°＝×﹣×＝0类似地，可以求得cos15°的值是
（结果保留根号）．
三、解答题
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
20．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sinC＝，BC＝12，求△ABC的面积．
22．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA＝．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DBC的值．
23．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠ECB的值．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．
26．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠．根据下列条件解直角三角形．
（1）b＝10，∠A＝60°．
（2）a＝2．b＝2．
27．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A．∠B．∠C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形：
（1）∠A＝60°，c＝12
（2）a＝8，c＝8．
28．在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件，解直角三角形
（1）a＝35，c＝35；
（2）∠A＝60°，b＝4；
（3）∠B＝60°，a+b＝6．
29．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，解这个直角三角形．
30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）b＝2，c＝4；
（2）∠A＝30°，b＝8；
（3）c＝8，∠A＝60°．
31．根据下列条件解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，c＝5；
（2）在Rt△ABC中．∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°．
32．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）若a＝36，∠B＝30°．求：∠A的度数和边b、c的长；
（2）若a＝6，b＝6．求：∠A、∠B的度数和边c的长．
33．已知△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积及BC的长．
34．如图，已知锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
（1）求证：S△ABC＝absinC；
（2）若a＝30cm，b＝36cm，∠C＝30°，求△ABC的面积．
参考答案
1．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
2．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：C．
4．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
5．解：∵cos∠A＝＝，
∴设AC＝4a，则AB＝5a，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝＝＝3a，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴sin∠DCB＝sin∠A＝＝＝；
故选：C．
6．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△ACB中，tanA＝＝，
∴tan∠BCD＝，
故选：A．
7．解：在AC上取点D，连接DB，使DB＝DA，
则∠DBA＝∠A，
∴∠BDC＝2∠A＝2α，
设DB＝DA＝x，BC＝y，
在Rt△ABC中，tan＝，
∴AC＝3y，
∴CD＝3y﹣x，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即y2+（3y﹣x）2＝x2，
解得，x＝y，
则CD＝y，
∴tan2α＝＝＝，
故选：D．
8．解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故选：B．
9．解：∵∠C＝90°，∠B＝∠DAC＝30°，
∴BC＝AC，AC＝CD，
∴BC＝3CD，
∵BC＝BD+CD＝2+CD，
∴3CD＝2+CD，
解得：CD＝1，
∴AC＝，
故选：A．
10．解：∵∠B＝90°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
∵∠ADB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴AB＝BD，
∵CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝2，
∴BD﹣BD＝2，
解得：BD＝+1，
∴AB＝CB＝CD+BD＝2++1＝3+；
故答案为：3+．
11．解：∠A＝45°，AD＝1，
∴sin45°＝＝，
∴DE＝．
∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，
∴AE＝DE＝CE＝，∠ADC＝90°．
∴BD＝AC﹣AD＝﹣1，
∴tan∠BCD＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：过C作CD⊥OA于D，过B作BE⊥CD于E，如图所示：
则∠ADE＝∠ODC＝∠DEB＝∠CEB＝90°＝∠OAB，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE，DE＝AB＝3，
∴BE＝＝＝5，
∵∠BCE+∠OCD＝∠AOC+∠OCD＝90°，
∴∠BCE＝∠AOC，
∴cos∠BCE＝＝cos∠AOC＝，
∴CE＝BC＝×5＝3，
∴CD＝CE+DE＝3+3＝6，
∵∠AOC＝∠BCE，∠ODC＝∠BEC＝90°，
∴△OCD∽△CBE，
∴＝，
即＝，
解得：OD＝，
∴点C的坐标为（，6），
故答案为：（，6）．
13．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝4，
∴BD＝＝＝2；
故答案为：2．
14．解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
15．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
16．解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°，
同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，
∴AD＝＝＝a，
∴sin（α+β）＝＝＝．
故答案为：．
17．解：cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°?cos30°+sin45°?sin30°
＝×+×＝，
故答案为：．
18．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
19．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+，
答：AB的长是3+．
20．解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
21．（1）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，
∴BD＝AC；
（2）解：设AC＝BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，
∵sinC＝，
∴cosC＝，tanC＝，
∴＝，＝，
即＝，
解得：x＝，
∴CD＝12﹣x＝，
∴AD＝CD＝×＝8，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．
22．解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH，
设AH＝x，则DH＝x
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝3x，
∴AB＝4x，
由勾股定理可知：AB＝＝＝8，
∴x＝2，
由勾股定理可得，AD＝＝4；
（2）∵AD＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝4，
由勾股定理得，DB＝＝＝4，
∴sin∠DBC＝＝＝．
23．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝12，
∵E是AD的中点，
∴ED＝AD＝6，
∴tan∠DCE＝＝；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴＝＝，＝＝1，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x
∴＝．
24．解：（1）由勾股定理得，AB＝＝＝3，
由题意得，AD＝2，CD＝1，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝2；
（2）作EF⊥BC于F，
则EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，EF＝2，BF＝2，
∴CF＝1，
∴tan∠ECB＝＝2．
25．解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED＝∠DEC＝90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°．
∴在Rt△ADE中，DE＝AD＝3，AE＝，∠ADE＝60°．
∵∠ADC＝105°，
∴∠EDC＝45°．
∴在Rt△CDE中，CE＝DE＝3．
∴AC＝AE+CE＝．
∴在Rt△ABC中，tan∠B＝，
∴AB＝AC÷＝3+．
26．解：（1）∵∠A＝60°．
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵b＝10，
∴c＝2b＝20，
∴a＝＝10；
（2）∵a＝2，b＝2，
∴c＝＝4，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
27．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴b＝c＝6，
∵tanA＝，
∴a＝6?tan60°＝6；（2）sinA＝＝，
∴∠A＝45°，∠B＝90°﹣∠A＝45°，
b＝a＝8．
28．解：（1）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a＝35，c＝35，
∴b＝，sinA＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
即∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；
（2）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，b＝4，tanA＝，
∴，∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴a＝4，
∴c＝，
即∠B＝30°，a＝4，c＝8；
（3）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B＝60°，a+b＝6，tanB＝，
∴∠A＝30°，，
解得，a＝3﹣3，b＝9﹣3，
∴c＝2a＝6，
即∠A＝30°，a＝3﹣3，b＝9﹣3，c＝6．
29．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，
∴∠A＝30°．
∴c＝2a．
∴a＝4，c＝8．
∴b＝．
即：a＝4，b＝，c＝8，∠A＝30°．
30．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4，
∴a＝＝＝2．
∴tanA＝，tanB＝．
∴∠A＝30°，∠B＝60°．
即a＝2，∠A＝30°，∠B＝60°．
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝8，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝60°．
∵tanA＝，sinB＝．
∴a＝8，c＝16．
即∠B＝30°，a＝8，c＝16．
（3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝30°．
∵sinA＝，sinB＝，c＝8，
∴a＝4，b＝4．
即∠B＝30°，a＝4，b＝4．
31．（1）∵在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，c＝5，
∴b＝．
∴a＝b．
∴∠A＝∠B＝45°．
即：b＝5，∠A＝45°，∠B＝45°．
（2）∵在Rt△ABC中．∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C﹣∠A＝90°﹣60°＝30°．
∴c＝2b．
∴b＝2．
∴a＝＝．
即a＝6，b＝2，∠B＝30°．
32．解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，
∴∠A＝90﹣∠B＝60°，＝cosB，即c＝＝＝24，
∴b＝c＝×24＝12（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴c＝2a＝12．
33．解：过C作AB边上高CD，
∵∠BAC＝150°，∴∠CAD＝30°，
∵AC＝2，∴CD＝AC＝1，AD＝AC?cos30°＝，
∴BD＝AD+AB＝3，
∴△ABC的面积＝AB?CD＝2，
∵BC2＝CD2+BD2＝28，
∴BC＝2．
34．解：（1）作BD⊥AC，
∵RT△BCD中，BD＝BC?sinC＝asinC，
∴S△ABC＝AC?BD＝absinC；
（2）根据（1）中结论，
S△ABC＝absinC＝×30×36×＝270（cm2）．