2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册2.4解直角三角形同步能力提高训练 （word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则sinB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，则cosC的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC＝，则△BCD与△ABD的面积比是（　　）
A．1：3
B．2：7
C．2：9
D．2：11
5．等腰三角形面积是，腰长是，则它的顶角的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．60°或
120°
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则sinB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则tan∠B的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在等腰△ABC中，AB＝8，BC＝10，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点
D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（　　）
A．12
B．10
C．6
D．5
二、填空题
14．如图，已知△ABC，AB＝AC＝2，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则cosA的值是　
　．（结果保留根号）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝，点D在BC边上，BD＝6，CD＝AB，则AD的长为　
　．
16．已知△ABC中，AB＝AC＝6，，则边BC的长度为　
　．
17．△ABD中，AB＝BD，点C在直线BD上，BD＝3CD，cos∠CAD＝，AD＝6，则AC＝　
　．
18．等腰三角形中，腰长为cm，底边长8cm，则它的顶角的正切值是　
　．
19．某等腰三角形的腰长为6，面积为9，则它的顶角的度数为　
　．
20．在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cosC＝，那么tanA＝　
　．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，．求sinA的值．
22．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cosA＝．求底边BC的长．
23．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的正切值．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2；
（1）求AC和AC边上的高；
（2）在AC上取一点M，使得BM＝BC，过M作MH⊥AB，求的值．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，sin
A＝，求△ABC的面积．
26．已知等腰三角形的一条腰长为20，底边长为30，求底角的正切值．
27．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
参考答案
1．解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°．
∵M为AB中点，AB＝4，
∴MB＝＝2，
又MN⊥BC，则在Rt△MNB中，
MN＝＝，BN＝cos30°?MB＝＝3，
故S△MNB＝＝＝．
故选：A．
2．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝；
故选：A．
3．解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵sinA＝＝，
∴设BD＝4k，AB＝5k，
∴AD＝＝3k，
∵AB＝AC＝5k，
∴CD＝2k，
∴BC＝＝2k，
∴cosC＝＝＝，
故选：D．
4．解：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝BC，
∵在Rt△AEC中，cosC＝＝，
∴AC＝3EC，
∴AC＝BC，
在Rt△BCD中，cosC＝＝，
∴BC＝3CD，
∴AC＝CD，
∴＝，
∴＝＝＝，
故选：B．
5．解：在△ABC中AB＝AC＝，作CD⊥AB于D，
∵等腰三角形面积是．
∴××CD＝，解得CD＝10，
当△ABC为锐角三角形时，如图①，sinA＝＝＝，
∴锐角∠A＝60°
当△ABC为钝角三角形时，如图②，sin∠DAC＝＝＝，
∴锐角∠DAC＝60°
∴∠BAC＝120°，
综上所述，等腰三角形的顶角的度数是60°或120°．
故选：D．
6．解：如图，过点A作AH⊥BC．
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝5，
∴AH＝＝＝12，
∴sinB＝＝，
故选：D．
7．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
8．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝＝＝3，
∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．
故选：C．
9．解：过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝3，
∴sinB＝＝，
故选：C．
10．解：作AH⊥BC于H．
在△ABC中，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝3，
∴tanB＝＝，
故选：D．
11．解：当AB＝AC时，过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝5．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，BD＝5，
∴cosB＝＝；
当CA＝CB时，过点C作CE⊥AB于点E，如图2所示．
∵CA＝CB，CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，BE＝AB＝4．
在Rt△BCE中，∠CEB＝90°，BC＝10，BE＝4，
∴cosB＝＝．
综上所示：cosB＝或．
故选：C．
12．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA?cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
13．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵cosB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
14．解：∵△ABC，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°．
∴∠A＝∠DBC＝36°，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，
设AD＝x，则BD＝BC＝x．AB＝AC＝2，
则＝，
解得：x＝﹣1+或x＝﹣1﹣（舍去）．
故x＝﹣1+．
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD＝BD，
∴E为AB中点，即AE＝AB＝1．
在Rt△AED中，cosA＝＝＝．
故答案是：．
15．解：作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
则BE＝CE．
设DE＝x，
则BE＝6+x，CD＝6+2x，
设DE＝x，∵cos∠ABC＝，AB＝CD＝6+2x，
∴．
解得
x＝2
∴AB＝6+4＝10，BE＝6+2＝8
∴AE＝．
∴在Rt△ADE中，
AD＝．
16．解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝6，
∴BD＝CD＝BC，
∵，
∴，
∴BD＝2，
∴BC＝4．
故答案为：4．
17．解：分两种情况：
①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，
Rt△ADE中，cos∠CAD＝＝，即＝，
∴AE＝，
∵BD＝3CD，DE∥BF，
∴＝＝，
设CE＝x，则CG＝2x，GE＝3x，
∵AB＝BD，BF⊥AD，
∴AF＝FD，
∴AG＝GE＝3x，
∴AE＝6x，AC＝5x，
∴AC＝AE＝×＝6；
②如图所示，当C在BD的延长线上时，过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
∵AB＝BD，BF⊥AD，
∴AF＝FD＝AD＝3，
∵CE∥BF，BD＝3CD，
∴＝＝，
∴＝，即DE＝1，
∴AE＝6+1＝7，
∵Rt△ACE中，cos∠CAD＝，
∴＝，即＝，
∴AC＝．
综上所述，AC的长为6或．
故答案为：6或．
18．解：过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB＝AC＝4，BC＝8，
∴BD＝4，
∴由勾股定理可求得：AD＝8，
∴CE?AB＝BC?AD，
∴CE＝，
∴由勾股定理可知：AE＝，
∴tan∠EAC＝＝，
故答案为：
19．解：如图，已知AB＝AC＝6，S△ABC＝9．作△ABC的高CD．
∵S△ABC＝AB?CD＝×6CD＝9，
解得：CD＝3．
如图1．
∵sin∠CAD＝＝＝
∴∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝150°，
如图2．
∵sin∠A＝＝＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°或150°．
故答案为30°或150°．
20．解：过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，
∵cosC＝，
∴，，
设CD＝x，BC＝4x，
由于AB＝AC，
∴CE＝2x，
∴AC＝8x，
∴AD＝AC﹣CD＝7x，
∴由勾股定理可知：BD＝x，
∴AB＝AC＝8x，
∴tan∠BAC＝＝，
故答案为：．
21．解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，
设CD＝4x，BC＝5x，
则BD＝3x，
∴AD＝10﹣3x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD2，
即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，
整理得：25x2﹣60x＝0，
解得：x＝2.4或x＝0（舍去），
∴CD＝4x＝9.6，
在Rt△CDA中，
sinA＝＝＝．
22．解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，cosA＝，
∵cosA＝，AB＝5，
∴AD＝AB?cosA＝5×＝3，
∴BD＝＝4，
∵AC＝AB＝5，
∴DC＝2，
∴BC＝＝2．
23．解：过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
24．解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵AB＝AC，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴tanB＝＝2，
∴AD＝4，
∴AB＝＝10，
∵S△ABC＝AC?BE，
∴BE＝＝8；
（2）如图2，
∵BM＝BC，
∴CE＝ME，
∴tan∠C＝＝2，
∴CE＝4，
∴CM＝2CE＝8，
∴AM＝AC﹣CM＝10﹣8＝2，
∵S△BCM＝×8×8＝32，
S△ABC＝＝40，
∴S△ABM＝S△ABC﹣S△BCM＝40﹣32＝8，
∴AB?HM＝8，
∴HM＝，
∴AH＝，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣，
∴．
25．解：作BD⊥AC于D，如图所示：
则sin
A＝＝，
∴BD＝AB＝4，
∴AD＝＝＝3，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
∴AC＝2AD＝6，
∴△ABC的面积＝AC×BD＝×6×4＝12．
26．解：如图，AD⊥BC，
∵底边BC为30，
∴BD＝BC＝×30＝15，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝5，
∴底角的正切值tanB＝＝＝＝tanC．
答：底角的正切值．
27．解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴，
即，
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝