沪教版（上海）高二数学上册 7.4 数学归纳法_ 课件

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数学归纳法
归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。
1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:
先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k
(k?N
，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2．数学归纳法的基本思想：
即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N
)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，
那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到
这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（
）成立，原则上要对每一个正整数n实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：
（1）当n=1时，（
）式左端等于1，右端也等于1，因此（
）式对n=1成立；
（2）假设当n=k时，（
）式成立，即假设
在此前提下，可推出
而
由此可见在假设（
）式对n=k成立的前提下，推出（
）式对n=k+1成立。
于是可以断定（
）式对一切正整数n成立.
由步骤（1），可知（
）式对n=1成立；由（
）式对n=1成立及步骤（2），可知对n=1+1=2，（
）式成立；再由（
）式对n=2成立及步骤（2），可知对n=2+1=3，（
）式成立；继续上述步骤，可知（
）式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…，n=(k－1)+1=k，…都成立。
于是（
）式对一切正整数n成立。
数学归纳法：
一个与自然数相关的命题，如果
那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。
（1）当n取第一个值n0时命题成立；
（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，
例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1,等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d，
那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd，
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2.
那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]
=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
例3．用数学归纳法证明：
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。