沪教版（上海）高二数学上册 9.4 三阶行列式_ 教案

三阶行列式
【教学目标】
1．掌握余子式、代数余子式的概念；
2．经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法；
3．体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想。
【教学重难点】
三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定。
【教学过程】
一、情景引入
（1）将下列行列式按对角线展开：
_______________；
_______________；
_______________；
_______________。
（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？
说明：
（1）请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式与相应的二阶行列式间的关系。
（2）将三阶行列式表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有等等。
二、学习新课
1．知识解析。
在刚才的实验中，将三阶行列式表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：
；
；
等等。
请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？
事实上，以为例：
先将展开式变形为：
，然后分别提取公因式，可以得到：
；
再利用已有的展开式：
①；
②；
③。
从而很容易就得到结果了。
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式，添上相应的符号（正号省略），如：
；
；
。
、、分别叫做元素，，的代数余子式。于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：
。
像这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开。类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开。从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式。不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定。
说明：
（1）以上主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
（2）教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结。
（3）通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置（即第行，第列）有关，其代数余子式的正负号是“”。
一般地，三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）的各个元素与其代数余子式的乘积之和。其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式（尤其是其符号）。
2．例题解析。
例题1：
按要求计算行列式：。
（1）按第一行展开；
（2）按第一列展开。
例题2：计算：
。
四、课堂小结
（1）余子式、代数余子式的概念；
（2）三阶行列式按一行（或一列）展开方法。
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