(共23张PPT)
27.2.3相似三角形应用（2）
人教版
九年级下册
复习知识
相似三角形
1.相似三角形的判定方法：
2.相似三角形的性质：
3.相似三角形的应用：
、、、周长比、面积比与相似比
利用相似三角形测量高度、宽度
定义法、平行法、3个判定定理
新知导入
？
？
？
如何利用相似三角形来测量有遮挡的物体的高度呢？
如图，这是两棵并排的大树，如何测量右边大树的高度呢？
可以运用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理或“利用镜子的反射测量高度”的原理来测量右边大树的高度吗？
不行，因为两棵大树并排，两棵大树的影子会存在重合.
活动探究
已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.
她沿着正对这两棵树的一条水平直路l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
观察点A时的仰角
观察点C时的仰角
设观察者眼晴的位置（视点）为F，
观察者的水平视线为FG，
∠CFK是观察点C的仰角
∠AFH是观察点A的仰角
区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.
活动探究
分析：由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域
(盲区)
之内.
如果观察者继续再往前走，那么就看不到
C
点了.
活动探究
解：如图，假设观察者从左向右走到点
E
时，她的眼睛的位置点
E
与两棵树的顶端点
A，C
恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l,
∴
AB∥CD，△AEH∽△CEK.
∴，
即
解得
EH＝8（m）.
由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．
新知讲解
测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
利用相似相似三角形测高
【例1】如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看
“怎么看不到接收塔了？”心里很纳闷．
经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
例题讲解
解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF=HB=CG=1.6m，EH=FB，HG=BC=30m，
∴AH=20m，DG=30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴，
即
∴EH=60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
H
G
例题讲解
例题讲解
【例2】如图，某一时刻，旗杆
AB
的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆
AB
在地面上的影长
BC
为
9.6
m，在墙面上的影长
CD
为
2
m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长
1
m
的标杆的影长为
1.2
m．请帮助小明求出旗杆的高度．
A
B
C
D
解：过点
D
作
DE∥BC，交
AB
于点
E，
∴
DE
=
CB
=
9.6
m，BE
=
CD
=
2
m，
∵
在同一时刻物高与影长成正比例，
∴
EA
:
ED=1
:
1.2，∴
AE
=
8
m，
∴
AB
=
AE
+
EB
=
8
+
2
=
10
(m)，
答：学校旗杆的高度为
10
m.
E
课堂练习
【例3】如图，为了测量水塘边
A、B
两点之间的距离，在可以看到
A、B
的点
E
处，取
AE、BE
延长线上的
C、D
两点，使得
CD∥AB.
若测得
CD＝5
m，AD＝15m，ED=3
m，求
A、B
两点间的距离.
A
B
E
D
C
解：∵CD∥AB
∴△AEB∽△DEC,
∴
将CD＝5
m，AD＝15
m，ED=3
m代入，得
，解得AB=20.
答：
A、B
两点间的距离为20m.
在应用相似的相关知识解决实际问题时，要利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.
新知讲解
1.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板
DEF
来测量操场旗杆
AB
的高度，他们通过调整测量位置，使斜边
DF
与地面保持平行，并使边
DE
与旗杆顶点
A
在同一直线上，已知
DE
=
0.5
米，EF
=
0.25
米，目测点
D
到地面的距离
DG
=
1.5
米，到旗杆的水平距离
DC
=
20
米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∴
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴
解得：AC
=
10，
AB
=
AC
+
BC
=
10
+
1.5
=
11.5
（m）.
答：旗杆的高度为
11.5
m.
课堂练习
课堂练习
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN=38m，求AB的长．
解：∵MN∥AB，AM=3MC，
∴△CMN∽△CAB，
∴
即
∴AB=38×4=152（m）．
答：AB的长为152m．
课堂练习
3.如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：
在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线.
已知旗杆AB=3米，FD=4米，DE=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
课堂练习
解：由题意可得，∠ACE=∠EDF=90°，AEC=∠FED，
∴△ACE∽△EDF，
∴，即
∴
由题意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，即
∴6.5BC=4（CD+6.5），∴6.5BC=4×
+26，
∴BC=14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
课堂练习
4.青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米．
课堂练习
解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP=MQ=AC，DN=CF=2米，MK=CH，P=DC=1.6米，AQ=HK=MC=0.8米．
∵∠EDN=∠BDP，∠END=∠BPD=90°，∠GMK=∠BMQ，∠GKM=BQM=90°，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴
∴，
∴AB=8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
已知DC=1.6米，MC=0.8米，EF=GH=2.4米，CF=2米，FH=1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
P
Q
K
课堂总结
27.2.3
相似三角形的应用（2）
利用相似三角形解决实际问题：
利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.
板书设计
27.2.3
相似三角形的应用（2）
利用相似三角形解决实际问题：
利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.
作业布置
教材43页综合运用第8、9、10题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
27.2.3相似三角形的应用（2）
教学设计
课题
27.2.3相似三角形的应用（2）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
进一步巩固相似三角形的知识。
掌握和综合运用两个三角形相似解决实际问题。
培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而进一步积累数学活动经验。
重点
综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题。
难点
在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
相似三角形相似
1.相似三角形的判定方法：定义法、平行法、3个判定定理；
2.相似三角形的性质：
"高线"、"中线"、"角平分线"、周长比、面积比与相似比；
3.相似三角形的应用：利用相似三角形测量高度、宽度
.
【新知导入】如图，这是两棵并排的大树，如何测量右边大树的高度呢？可以运用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理或“利用镜子的反射测量高度”的原理来测量右边大树的高度吗？
不行，因为两棵大树并排，两棵大树的影子会存在重合.
教师：如何利用相似三角形来测量有遮挡的物体的高度呢？
学生回答问题，与老师一起系统的回顾知识。
教师出示问题，师生一起回顾相似三角形的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
【活动探究】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视线为FG，∠CFK是观察点C的仰角，∠AFH是观察点A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就看不到C点了.
解：如图，假设观察者从左向右走到点
E
时，她的眼睛的位置点
E
与两棵树的顶端点
A，C
恰在一条
直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l,
∴
AB∥CD，△AEH∽△CEK.
∴，
即
解得
EH＝8（m）.
由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
教师总结讲解：利用相似相似三角形测高
测量不能到达顶部且有遮挡物的物体的高度，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
【例题讲解】
【例1】如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看
“怎么看不到接收塔了？”心里很纳闷．
经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF=HB=CG=1.6m，EH=FB，HG=BC=30m，
∴AH=20m，DG=30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴，即，∴EH=60．
答：某同学与教学楼之间的距离为60米．
【例2】如图，某一时刻，旗杆
AB
的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆
AB
在地面上的影长
BC
为
9.6
m，在墙面上的影长
CD
为
2
m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长
1
m
的标杆的影长为
1.2
m．请帮助小明求出旗杆的高度．
解：过点
D
作
DE∥BC，交
AB
于点
E，
∴
DE
=
CB
=
9.6
m，BE
=
CD
=
2
m，
∵
在同一时刻物高与影长成正比例，
∴
EA
:
ED=1
:
1.2，∴
AE
=
8
m，
∴
AB
=
AE
+
EB
=
8
+
2
=
10
(m)，
答：学校旗杆的高度为
10
m.
【例3】如图，为了测量水塘边
A、B
两点之间的距离，在可以看到
A、B
的点
E
处，取
AE、BE
延长线上的
C、D
两点，使得
CD∥AB.
若测得
CD＝5
m，AD＝15m，ED=3
m，求
A、B
两点间的距离.
解：∵CD∥AB∴△AEB∽△DEC,
∴
将CD＝5
m，AD＝15
m，ED=3
m代入，得
，解得AB=20.
答：
A、B
两点间的距离为20m.
教师归纳讲解：在应用相似的相关知识解决实际问题时，要利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.
教师出示问题，师生共同探究利用相似三角形来测高的方法。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，学会把生活中的实际问题转化为数学问题。在探究中让学生明白画数学示意图可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
讲解知识，让学生学习新知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握利用相似三角形来解决生活问题的方法。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
课题练习
课题练习
1.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板
DEF
来测量操场旗杆
AB
的高度，他们通过调整测量位置，使斜边
DF
与地面保持平行，并使边
DE
与旗杆顶点
A
在同一直线上，已知
DE
=
0.5
米，EF
=
0.25
米，目测点
D
到地面的距离
DG
=
1.5
米，到旗杆的水平距离
DC
=
20
米，求旗杆的高度.
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∴
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴
解得：AC
=
10，
AB
=
AC
+
BC
=
10
+
1.5
=
11.5
（m）.
答：旗杆的高度为
11.5
m.
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN=38m，求AB的长．
解：∵MN∥AB，AM=3MC，
∴△CMN∽△CAB，
∴，即
∴AB=38×4=152（m）．
答：AB的长为152m．
3.如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：
在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线.已知旗杆AB=3米，FD=4米，DE=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC．
解：由题意可得，∠ACE=∠EDF=90°，AEC=∠FED，
∴△ACE∽△EDF，
∴，即
∴
由题意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD，
∴△BCG∽△FDG，
∴，即
∴6.5BC=4（CD+6.5），
∴6.5BC=4×
+26，
∴BC=14（米），
∴这座建筑物的高BC为14米．
4.青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米．已知EF=GH=2.4米，CF=2米，FH=1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP=MQ=AC，DN=CF=2米，MK=CH，P=DC=1.6米，AQ=HK=MC=0.8米．
∵∠EDN=∠BDP，∠END=∠BPD=90°，
∠GMK=∠BMQ，∠GKM=BQM=90°，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴
∴，
∴AB=8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
利用相似三角形解决生活的实际问题:
利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形.
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.3
相似三角形的应用（1）
利用相似三角形解决实际问题:
利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形.
作业布置
教材43页综合运用第8、9、10题。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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