沪教版（上海）高二数学上册 第9章 矩阵和行列式初步 复习 课件

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第9章
矩阵和行列式初步
复习课件
本章知识结构图
矩阵
概念
定
义
相等矩阵和同型矩阵
零矩阵
行(列)矩阵
方
阵
三角方阵
对角方阵
数量矩阵
单位方阵
(反)对称阵
特殊矩阵
分块矩阵
逆矩阵
相关定理及性质
定
义
矩阵运算
矩阵的和
矩阵的数乘
矩阵相乘
方阵行列式
方阵的幂
１　矩阵的定义
由
个数
排成的
行
列的数表
称为一个
行
列矩阵或
矩阵。
记为
或
称为矩阵的第i行j列的元素。
元素为实数的称为实矩阵，
元素为复数的称为复矩阵。
2
几种特殊矩阵
元素全为零的
矩阵，记为：O或
零矩阵：
行矩阵：
只有一行的矩阵。
列矩阵：
只有一列的矩阵。
方阵：
行数列数皆相等的矩阵。
上三角方阵：
非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵：
非零元素只可能在主对角线及其下方。
对角方阵：
数量矩阵：
单位方阵：
主对角线上全为1的对角方阵。
3
矩阵的运算
同型矩阵：
行数和列数均相等的矩阵。
如果两个矩阵
是同型矩
阵，且各对应元素也相同，即
则称矩阵
相等，记作
两个
矩阵
的和
矩阵的和：
矩阵相等：
定义为
矩阵的数乘：
定义为
矩阵的线性运算的运算规律：
矩阵相乘：
与
乘积规定为
一个
矩阵
其中
矩阵乘法的运算规律
（其中
为数）；
n阶方阵的幂：
若A是
阶矩阵，定义
为A的
次幂，
为正整数，
。规定
即
易证
转置矩阵：
把
的行与列依次互换得到另
矩阵
矩阵，称为
一个
的转置矩阵，记作
转置矩阵的运算性质
对称阵：
设
为
阶方阵，如果满足
，即。
则
称为对称阵。
反对称阵：
伴随方阵：
设
是行列式
中元素
的代数
余子式，称方阵
为方阵
的伴随方阵。
4
方阵的行列式
由
阶方阵
的各元素按原位置排列构成的
行列式，叫做方阵
的行列式，记作
或
运算性质
5
逆矩阵
对于
阶矩阵
，如果存在
阶矩阵
，使得
则称
为可逆矩阵，
是
的逆方阵。
定义
若方阵
可逆，则其逆矩阵必唯一。
可逆
相关定理及性质
；
(
)；
，
，
；
。
，则
若
可逆，且
，其中
为
的伴随方阵。
6
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似。
典型例题
一、矩阵的运算
二、有关逆矩阵的运算及证明
三、矩阵方程及其求解方法
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率。
例1
注：对一般的
阶方阵
，我们常常用归纳的方
法求
。
例2
解：
例3
若
阶实对称阵
满足
，证明
证：
为对称阵，故有
，因此有
比较
两端的
元素
由于
为实数，故
即
二、有关逆矩阵的运算及证明
1
利用定义求逆阵
利用定义求
阶方阵
逆阵，即找或猜或凑一个
阶方阵
，使
或
，从而
。
例4
例4
2
利用伴随矩阵
求逆阵
例5
注：对2阶数字方阵求逆一般，都用
来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用
求其逆阵，因为若用
去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下章所介绍的初等变换法。
3
利用分块矩阵求逆阵
例6
从而
4
利用定义证明某一矩阵
为矩阵
的逆阵
例7
注：1。
矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：
①证明矩阵
可逆；②求逆阵；③证明矩阵
是矩
2。
证明矩阵
A
可逆，可利用
A
的行列式不为零或找一个矩阵
B，使
AB=E
或
BA=E
等方法；对数字矩阵，若求其逆阵，一般用
A
(如2阶矩阵)或初等变换(3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块矩阵来做。对抽象的矩阵
A，若求其逆，一般是用定义或
A
来做；证明矩阵
B
是矩阵
A
的逆阵，只需验证
AB=E
或
BA=E
即可。
阵
的逆阵。
三
矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
例8
以及
及
，再求
及
就麻烦多了。
因此，在求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程。
例9
注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求
第二章　自测题
一、填空题(8分/题)
1)
为3阶方阵，已知
则
3)
已知
则
二、
证明题
(26分)
自测题答案
1)
3，
1/3，
9，
，
-1/3；
2)
4；
3)
0；
一
三
谢
谢