沪教版（上海）高二数学上册 7.5 数学归纳法的应用_ 课件

(共11张PPT)
简述数学归纳法的基本步骤.
基于数学家对正整数的深入研究,对于证明与正整数有关的数学命题可以使用一种简便的科学方法---
《数学归纳法》.
(ⅰ)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时,命题成立;
(如:n0=1或n0=2)
(ⅱ)假设当n=k(K∈N
,k≥n0)时命题成立,证明当n=
k+1时命题也成立.
(ⅲ)由(ⅰ)(ⅱ)可断定:
对于从n0开始的所有n∈N
,
命题都成立.
对于证明与正整数有关的无限个数学命题,《数学
归纳法》是一种简单有效的科学证明方法.
《数学归纳法》的适用范围:
利用《数学归纳法》证明命题的注意事项:
结合实例说明用数学归纳法证明命题的两大步骤的不可或缺性:
(1)只有步骤(ⅰ)而没有步骤(ⅱ),证明就会缺失其
推理的依据.—(费尔马大定理)
(2)只有步骤(ⅱ)而没有步骤(ⅰ),证明就会缺失其
推理的基础.—(A·P求和公式)
----(导致证明产生谬误)
例1、用数学归纳法证明
证明：1）当n=1时,左=1×4=4，右=
∴n=1时，等式成立
2）假设n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=
=右
∴n=k+1时，等式成立
由1）2）知当n?N时，原等式都成立
一、证明恒等式
用数学归纳法证明
例2：
证明：
（1）当n=1时,左=12-22=-3，右=-1×3=-3
∴n=1时，等式成立
（2）假设n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=
=右
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知当
时，原等式都成立
例3、已知数列
中，
利用数学归纳法证明：
证明：
（1）当
时，
当
时，
由已知可得：
当
时，
而：
即
时，命题成立。
和
（2）假设当
时，命题成立，即有
和
∴当
时，命题成立
由（1）（2）知当
时，原等式都成立
［分析］(1)容易验证当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝
(2)设n＝k(k≥1，k∈N)时，34k+2＋52k+1能被14整除．
当n＝k＋1时，相应的表达式怎样写？
34(k+1)+2＋52(k+1)+1
从34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34
·34k+2＋52
·52k+1入手.
34(k+1)2＋52(k+1)+1
怎样利用34k+2＋52k+1
证明
可以被14整除？
二、整除问题
854
＝14×61，
能被14整除．
例4、
用数学归纳法证明：
34n+2＋52n+1
能被14整除．
(2)设n＝k(k≥1，k∈N)时，34k+2＋52k+1能被
14整除．
那么当n＝k＋1时,
证明：(1)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝854＝
14×61，
∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．
∵
(34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，
∴
34(k+1)+2＋52(k+1)+1能被14整除．
根据(1)和(1)可知,
34n+2＋52n+1能被14整除．
∴34·(34k+2＋52k+1)-56·52k+1能被14整除．
即n=k＋1时，命题成立.
用数学归纳法证明
练习：
被
除余数为
证明：(1)当n＝1时，32×1+2-8×1-9＝64
∴当n＝1时，32n+2-8n-9能被64整除．
(2)设n＝k(k≥1，k∈N)时，32k+2-8k-9能被64整除
那么当n＝k＋1时,
能被
整除
原命题等价于
∵
能被64整除
∴
也能被64整除
根据(1)和(2)可知,
32n+2-8n-9能被64整除．
即n=k＋1时，命题成立.
三、不等式
证明：
（1）当n=2时,左=
，右=
左
右
，∴n=1时，不等式成立
（2）假设n=k时，不等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=
=右
∴n=k+1时，不等式成立
由（1）（2）知当n?N时，原不等式都成立