沪教版（上海）高二数学上册 雪花曲线的初步研究 教案

雪花曲线的初步研究
一、教学目标：
1.
巩固数列的递推公式、通项公式与数列极限的相关知识；
2.
经历观察、分析、归纳的过程，提高学生应用数列知识解决实际问题的能力，使学生初步了解分形这门新型学科；
3.
培养学生根据材料分析问题，提出问题，解决问题的数学研究能力，促进学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养的养成.
二、教学重点：
雪花曲线的性质探究.
三、教学难点：
雪花曲线的面积探究.
四、教学过程：
（一）创设情境
屏幕上显示漫天飞舞的雪花，并且对某一雪花进行放大，引导学生观察雪花结构，激发学生的认知冲突，一片小小的雪花并不像我们想象的那么简单，而是有着复杂的结构，引入课题，今天我们来绘制属于自己的一朵“雪花”.
（二）探究新知
1.雪花曲线的制作
第一步：给出一个正三角形（记为P1），然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉（记为P2）
.
第二步：在P2的基础上，重复第一步的操作，生成新对象P3
第三步：再按上述方法无限次继续下去，所得到的曲线称为雪花曲线.
教师示范由生成的过程，并解释迭代规则
学生在雪花曲线的绘制单上绘制由生成的过程.
教师利用几何画板动态展示雪花曲线的迭代生成过程.
2.雪花曲线的初体验
教师展示雪花曲线由到的图片，引导学生从形的角度观察雪花曲线，并用自己的语言描述雪花曲线的特点.
确定研究对象：边数，边长，周长，面积.
3.雪花曲线的探究
①对雪花曲线的边数，边长，周长，进行研究探索，完成表格1
边数
边长
周长
P1
P2
P3
Pn
表格1
并从数列的性质角度对边数、边长、周长的性质进行探究.
②对雪花曲线的面积进行研究探索，在的基础上，计算图形的面积，并将的面积用来表示，掌握了面积的计算方法后，运用类比归纳，由特殊到一般，完成表格2
增加的三角形的个数
增加的每个三角形的面积
曲线所围的面积
P2
P3
P4
Pn
表格2
并从数列的性质角度对面积的性质进行探究.
③雪花曲线的性质探究结论
由以上对雪花曲线的研究，请学生用自己的语言来表述雪花曲线最重要的性质.
教师板书，从形与数两个方面对雪花曲线给出研究结论：
1.雪花曲线是一条边数无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续封闭曲线.
2.雪花曲线的周长是无穷大，而它所围成的面积是有限的.
4.雪花曲线的探究拓展
通过对雪花曲线的细微处放大观察雪花曲线的自相似性，介绍自相似与分形的概念，几何画板动态展示数学中的分形树，勾股树，ppt展示自然中的自相似性，例如蕨类植物的叶片、雪花、花菜、人类的肺，使学生对分形有了初步的了解.
（三）应用提升
对雪花曲线的探究进行变式，给出一个正三角形（记为P1），然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向内作正三角形，并把居中的线段去掉（记为P2）
.在P2的基础上，重复第一步的操作，生成新对象P3
再按上述方法无限次继续下去，所得到的曲线称为反雪花曲线.
学生动手操作，生成反雪花曲线，对新绘制的反雪花曲线，选择研究问题，从你认为有意义的角度展开研究，并给出研究结论.
教师几何画板动态展示反雪花曲线的迭代过程，并在ppt中展示反雪花曲线的近似图，
学生进行研究探讨，展示研究结论.
（四）课堂小结
从研究对象、研究方法、研究过程上对本节课进行了小结.
五、课后作业
1.本节课我们看到确实存在着“边长”无限增大而面积有极限的图形，那么是否存在面积无限增大而周长是有极限的图形呢？
2.对雪花曲线的研究变式中，更改了等边三角形的方向，得到了反雪花曲线，同学生还能从其它角度对雪花曲线进行变式研究创造出属于自己的独一无二的雪花吗？（参考材料雪花曲线的变式小视频）.
3.波兰著名的数学家谢尔宾斯基构造了几个典型的例子，常被称为“谢尔宾斯基三角形”、
“谢尔宾斯基地毯”、
“谢尔宾斯基海绵”
、“谢尔宾斯基墓垛”，请大家查找资料，了解这些图形，并选择其中一个进行研究、探索.（参考几何画板
谢尔宾斯基三角形和地毯.gsp）.