沪教版（上海）高二数学上册 7.2 等差数列_ 课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
等
差
数
列
1．数列{an}的前4项为－1,1,3,5，则其一个通项公式为
2．若数列{an}的通项公式是an＝5n＋1，则其前5项依次为
，第10项为
3．若{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋4，则该数列的前4项依次为
，a2－a1＝
，a3－a2＝
，a4－a3＝
.其通项公式an＝
.
an＝2n－3
6,11,16,21,26
51
3,7,11,15
4
4
4
4n－1
1．等差数列的定义
如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的差都等于
，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的
，通常用字母
表示．
二
同一个常数
公差
d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝
.
a1＋(n－1)d
3.等差中项
(1)如果三个数x、A、y组成
，那么
叫做
和
的等差中项．
(2)如果A是x和y的等差中项，则A＝
4．从函数角度认识等差数列
若数列
是等差数列，首项a1，公差d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．由此可看出：
(1)an是n的
函数
(2)点(n，an)落在直线
上．
(3)这些点的横坐标每增加1，函数值增加
.
等差数列
A
x
y
一次
y＝dx＋(a1－d)
d
5．等差数列的性质
(1)等差数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系
通项公式的推广：an＝am＋
d(m，n∈N＋)
项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则
＝ap＋aq
(n－m)
am＋an
an－1
an－k＋1
d
cd
2d
pd1＋qd2
如果{an}是公差为d的等差数列，那么，d与{an}的单调性有什么关系？
【提示】　等差数列的公差决定了数列的单调性
①当d＞0时，{an}是递增数列；
②当d＜0时，{an}是递减数列；
③当d＝0时，{an}是常数列，不是递增数列，也不是递减数列．
在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
【思路点拨】　先求出首项和公差，写出通项公式，再求a10.
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1.本例中，将条件改为已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如何求n?
判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．
三个数x，y，z成等差数列的充要条件是x＋z＝2y，即若已知x、y、z成等差数列，则2y＝x＋z，反之要证x，y，z成等差数列，则只要证x＋z＝2y即可．
3.已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否构成等差数列？
【解析】　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
即a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．
【思路点拨】　既可以用等差数列的性质得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解．
方法一运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法．两种方法都运用了整体代换及方程的思想．
4.(1)在等差数列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式．
(2)设为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
梯子的最高一级宽33
cm，最低一级宽110
cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
【思路点拨】　由题意可知，问题就是已知数列的首、末两项和项数，求中间其它项，因此，先求通项公式．
在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决．若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
5.甲虫是行动较快的昆虫之一．下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1
min能爬多远？它爬行49
cm需要多长时间？
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离S(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
1．理解等差数列的定义需注意的问题
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的．“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数列．
3．等差数列与一次函数的关系
等差数列
一次函数
解析式
an＝kn＋b(n∈N＋)
f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点
定义域为N＋，图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点
定义域为R，图象为一条直线
相同点
通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，是最简单的，也是最基本的数列和函数
已知等差数列{an}：2,5,8，…，与等差数列{bn}：1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个数值相同的项？
【错解】　由已知两等差数列的通项公式为；
an＝3n－1，bn＝4n－3，(1≤n≤40，且n∈N＋)
令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.
∴两数列只有一项数值相同，即第2项．
【错因】　本题中所说数值相同的项，它们的项数并不一定相同，因此，我们所关心的是这个数在两个数列中有没有出现过，而不关心它在数列中的位置．
【答案】　C
【答案】　A
3．等差数列中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.
【答案】　－6
4．(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【解析】　(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为
a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.