沪教版（上海）高二数学上册 8.2 向量的数量积_2 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）高二数学上册 8.2 向量的数量积_2 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 266.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-25 16:52:25 | ||
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文档简介
向量的数量积
【教学目标】
一、知识与技能
1．
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.
2．
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
二、过程与方法
1．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；
2．通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；
3．让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。
三、情感、态度与价值观
1．让学生进一步领悟数形结合的思想；
2．让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
【教学重难点】
重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用
难点：平面向量的数量积运算律的理解
【教学设计】
学法
（1）自主性学习+探究式学习法：
（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
【教学准备】
多媒体、实物投影仪.
【授课类型】
新授课
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、创设情景，揭示课题
复习提问
1．（1）两个非零向量夹角的概念；
（2）平面向量数量积（内积）的定义；
（3）“投影”的概念；
（4）向量数量积的几何意义；
（5）两个向量的数量积的性质。
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有；
(
√
)
②若，则对任一非零向量，有；
(
×
)
③若，，则；
(
×
)
④若，则至少有一个为零向量；
(
×
)
⑤若，则当且仅当时成立；
(
×
)
⑥对任意向量，有．
(
√
)
二、研探新知
1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
（1）交换律：
证明：设夹角为，则，，∴．
（2）数乘结合律：
证明：若，此式显然成立.
若，，
，
，∴
若，，
，
．
∴
综上可知成立.
（3）分配律：．
在平面内取一点，作=,
=，=，
∵（即）在方向上的投影等于在
方向上的投影和，即：
∴，∴
即：．
说明（1）一般地，()·≠·（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋
（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(?)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。举反例如下：
已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，
()·＝（||·||cos60°）·＝，
·(·)＝（||·||cos45°）＝
而≠，故（）·≠·（·）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1
已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角
解：由题意可得：
①
②
两式相减得：，
代入①或②得：，设的夹角为，
则,∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
举一反三
1
用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设==
,
==
∵为菱形
∴||
=
||
∴?=
(+)()
=
2
2
=
||2
||2
=
0
∴，即菱形对角线互相垂直。
2．
如图，是的三条高，
求证：相交于一点。
变式：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点。
例3
四边形中，=，=，=,
＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形?
例4
设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由。
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______；
（2）若，；
（3）若、的夹角为，则|+|；
2．已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|
3．设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；
6．对于两个非零向量、，（1）求使||最小时的值，并求此时与的夹角。
（2）当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直。
解：（2）①，∴当时,
最小；
②∵，∴与垂直。
五、归纳整理，整体认识
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
六、承上启下，留下悬念
1．向量的模分别为
ab的夹角为ab的模
2．设
ab是各不相等的非零向量
3．相互垂直的单位向量
4．预习向量数量积的坐标表示
1
2
A
B
O
A1
B1
C
A
B
C
D
E
F
H
5
/
5
【教学目标】
一、知识与技能
1．
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.
2．
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
二、过程与方法
1．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；
2．通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；
3．让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。
三、情感、态度与价值观
1．让学生进一步领悟数形结合的思想；
2．让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
【教学重难点】
重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用
难点：平面向量的数量积运算律的理解
【教学设计】
学法
（1）自主性学习+探究式学习法：
（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
【教学准备】
多媒体、实物投影仪.
【授课类型】
新授课
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、创设情景，揭示课题
复习提问
1．（1）两个非零向量夹角的概念；
（2）平面向量数量积（内积）的定义；
（3）“投影”的概念；
（4）向量数量积的几何意义；
（5）两个向量的数量积的性质。
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有；
(
√
)
②若，则对任一非零向量，有；
(
×
)
③若，，则；
(
×
)
④若，则至少有一个为零向量；
(
×
)
⑤若，则当且仅当时成立；
(
×
)
⑥对任意向量，有．
(
√
)
二、研探新知
1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
（1）交换律：
证明：设夹角为，则，，∴．
（2）数乘结合律：
证明：若，此式显然成立.
若，，
，
，∴
若，，
，
．
∴
综上可知成立.
（3）分配律：．
在平面内取一点，作=,
=，=，
∵（即）在方向上的投影等于在
方向上的投影和，即：
∴，∴
即：．
说明（1）一般地，()·≠·（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋
（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(?)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。举反例如下：
已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，
()·＝（||·||cos60°）·＝，
·(·)＝（||·||cos45°）＝
而≠，故（）·≠·（·）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1
已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角
解：由题意可得：
①
②
两式相减得：，
代入①或②得：，设的夹角为，
则,∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
举一反三
1
用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设==
,
==
∵为菱形
∴||
=
||
∴?=
(+)()
=
2
2
=
||2
||2
=
0
∴，即菱形对角线互相垂直。
2．
如图，是的三条高，
求证：相交于一点。
变式：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点。
例3
四边形中，=，=，=,
＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形?
例4
设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由。
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______；
（2）若，；
（3）若、的夹角为，则|+|；
2．已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|
3．设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；
6．对于两个非零向量、，（1）求使||最小时的值，并求此时与的夹角。
（2）当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直。
解：（2）①，∴当时,
最小；
②∵，∴与垂直。
五、归纳整理，整体认识
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
六、承上启下，留下悬念
1．向量的模分别为
ab的夹角为ab的模
2．设
ab是各不相等的非零向量
3．相互垂直的单位向量
4．预习向量数量积的坐标表示
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B1
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