沪教版（上海）高二数学上册 8.1 向量的坐标表示及其运算_ 教案

向量的坐标表示及其运算
【教学目标】
1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；
2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
3．会用平行的充要条件解决点共线问题；
4．感悟向量作为工具解题的优越性。
【教学重难点】
1．分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
2．特殊——一般——特殊的探究问题意识。
【教学过程】
一、创设问题情景
问题一：
已知向量。
（1）在坐标平面上，画出向量；并求=_______；
（2）若向量终点Q坐标为，则向量的始点P坐标为_______；
（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是：_______。
若，则；
练习1：
已知向量，求。
说明：在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离。由此发现并掌握向量模的求法及几何意义。安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量。通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念。
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：。
问题探究反思：
问题二：
在坐标平面上描出下列三点，完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
向量坐标
(1，2)
(2，4)
(3，6)
向量的模
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A，B，C在一条直线上。
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
；
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
说明：
养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？
方法一：计算三个向量的模长关系。
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数。
（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系。
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（
）条件。
A．充要
B．必要不充分
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
由此，通过改进引出：
例5：若是两个非零向量，且，则的充要条件是。
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨。
证明：分两步证明，
（1）先证必要性：；
非零向量存在非零实数，使得，即：
，化简整理可得：，消去即得。
（2）再证充分性：；
若，则、、、全不为零，显然有，即；
若，则、、、中至少有两个为零。
①如果，则由是非零向量得出一定有，：
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即。
②如果，则有，同理可证：
综上，当时，总有。
所以，命题得证。
说明：本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例。
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（
）
①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②；③(+)//(－)。
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
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