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第5章
导数及其应用
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．曲线在点处的瞬时变化率为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
2．函数在处的导数的几何意义是（
）
A．在点处与的曲线只有一个交点的直线的斜率
B．在点处的切线与x轴的夹角的正切值
C．点与点的连线的斜率
D．在点处的切线的倾斜角的正切值
3．已知函数在处的导数为1，则（
）
A．0
B．
C．1
D．2
4．已知函数的导函数为，且满足，则（
）
A．1
B．
C．
D．
5．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（
）
A．1
B．
C．
D．2
6．已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，，若，，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列求导运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（
）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数有极大值
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内单调递减
11．已知，，且，则下列式子中不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．对于函数，下列说法正确的是（
）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的图象在处的切线方程为___________.
14．设，函数的导数是，若是偶函数，则a=______.
15．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
16．已知函数，若，则的零点个数为________；若有两个不同的零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
18．（12分）已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
19．（12分）已知.
（1）求的单调增区间；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围.
20．（12分）设函数．
（1）求的极大值；
（2）求证：时，．
21．（12分）如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx
m，圆柱的体积为V
m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?
22．（12分）己知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）若不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围.
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第5章
导数及其应用
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．曲线在点处的瞬时变化率为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题设，有.故选B.
2．函数在处的导数的几何意义是（
）
A．在点处与的曲线只有一个交点的直线的斜率
B．在点处的切线与x轴的夹角的正切值
C．点与点的连线的斜率
D．在点处的切线的倾斜角的正切值
【答案】D
【解析】的几何意义是在切点处的斜率，故选D．
3．已知函数在处的导数为1，则（
）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为函数在处的导数为1，
则.故选B.
4．已知函数的导函数为，且满足，则（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，得.
令，得，解得.故选C.
5．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】，当时，，即切线斜率，
由切线与直线平行可得，所以.故选A.
6．已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递减．
因为，所以，所以，
即，所以且，解得，
所以实数的取值范围为．故选D.
7．已知函数，，若，，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，①
，，②
，
由①
②得，
因为当时，，
所以在单调递增，，则，.
令，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，.故选A.
8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知函数的导数，
令，得，即．
设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．故选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列求导运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A选项：，A正确；
B选项：，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：，D正确.
故选ABD.
10．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（
）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数有极大值
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内单调递减
【答案】BC
【解析】结合函数的导函数的图像可知：
当时，导函数值小于，函数是减函数；
当时，导函数值大于，函数是增函数；
当时，导函数值等于，函数取极小值；
当时，导函数值小于，函数是减函数；
当时，导函数值等于，函数取极大值；
当时，导函数值大于，函数是增函数，
当时，导函数值等于，函数取极小值；
结合选项易知，、D错误，BC正确，故选BC.
11．已知，，且，则下列式子中不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】设，则．当时，，单调递增．又，所以，即，所以，A不正确，B正确．设，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴C，D均不正确．
故选ACD.
12．对于函数，下列说法正确的是（
）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】A.因为，令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，故正确；
B.令，所以，所以，故只有一个零点，故错误；
C.因为，所以，
又因为，且在上单调递减，所以，
所以，故正确；
D.因为在上恒成立，所以在上恒成立，
令，所以，当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，即，故正确；
故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的图象在处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.故答案为：.
14．设，函数的导数是，若是偶函数，则a=______.
【答案】1
【解析】由已知，，，是偶函数，
则恒成立，即恒成立，
令得，，此时，满足．故答案为：1．
15．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，求导，令，解得：，
当时，，单调递增；
当，，函数单调递减，且，
又时，；又时，；
设，显然当时，方程有两个实数根，
则要使方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根，故，，解得：.故答案为：
16．已知函数，若，则的零点个数为________；若有两个不同的零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】①当时，定义域，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以当时，，所以当时零点个数为.
②定义域，，当时，，单调递增不会出现两个零点；当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.所以当时，，若有两个不同的零点，则，解得.
故答案为:;.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
18．（12分）已知函数及点，过点作直线与曲线相切.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
【解析】解：（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，
所以切线的斜率为或7.
19．（12分）已知.
（1）求的单调增区间；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
∴.
令，得.
当时，在上恒成立；
当时，有.
综上，当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为.
（2）由（1）知.∵在定义域上单调递增，
∴恒成立，
即在上恒成立.
∵时，，∴
即的取值范围是.
20．（12分）设函数．
（1）求的极大值；
（2）求证：时，．
【解析】（1）依题意，的定义域为，，令，得，
当时，，当时，，
所以时取得极大值；
（2）令，，则，即在上是增函数，
于是得时，，从而有，，即，
又，，则有时，，
所以时，.
21．（12分）如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx
m，圆柱的体积为V
m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?
【解析】（1）连接OB，在中，，则，
设圆柱底面半径为r，则，即，
，其中．
（2）由及，得，列表如下：?
x
0
V
递增
极大值
递减
∴当时，V有极大值，也是最大值为．
答：当x为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是．
22．（12分）己知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）若不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围.
【解析】解：（1）由题意，得的定义域为．
若，则当
时，，故
在
上单调递增，
若，则当
时，，当
时
，故
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，若，
在
上单调递增；若，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由（1）知，当
时，
在取得最大值，
最大值为，
所以
等价于，即
设，则，
当时，；当
时，，
所以
在上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
取得最大值，最大值为，
所以当时，，
从而当时，，
即．
（3）①当
时，
由（1）知在上单调递增，因为，
所以当
时，恒成立，不符合题意；
②当时，由（1）知在
上单调递增，在上单调递减，
且，
当
时，此时，
所以，即
恒成立，显然不满足题意；
当
时，此时，
当，即
时，此时结合题意有
或，解得
当
时，即
时，
此时，
，
，与题意矛盾．
综上所述，
的取值范围为．
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