【细解】初中数学鲁教版七年级上册专题训练五勾股定理的巧用
一、类型1斜边(或直角)的确定
1．在△ABC中，∠B=90° ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a=5，b=12，则c2=
【答案】119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴c==119.
故答案为：119.
【分析】因为∠B=90°，根据勾股定理解答即可.
2．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a= ，b= ，c=2，△ABC是否为直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪个角是直角．
【答案】解：△ABC是直角三角形，∠B是直角．理由：
因为a2 +c2=( )2+2= ，b2=( )2= ，
所以a2+c2=b2，
所以△ABC是直角三角形，∠B是直角．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】已知三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理推出△ABC是以∠B为直角的直角三角形即可.
二、类型2有关勾股定理的讨论题目
3．已知直角三角形的三边长分别为6，8，x ，则x2的值为（ ）
A．100 B．10 C．28 D．100或28
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当斜边为x，
∴x2 =62+82=100；
当直角边为x，
∴x2 =82-62=28，
综上， x2的值为100和28 ；
故答案为： 100或28 .
【分析】分两种情况讨论，即当斜边为x，当直角边为x，分别根据勾股定理解答即可.
4．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求△ABC的周长．
【答案】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图1，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD2=AB2-AD2=152-122= 81．
所以BD=9．
图1在Rt△ADC中，由勾股定理，得
CD2=AC2- AD2=132-122 = 25．
所以CD= 5．
所以BC= BD+CD=9+5=14．
所以△ABC的周长为AB+AC+ BC= 15+13+14= 42．
②当△ABC是钝角三角形时，如图2，
由①知，BD=9，CD= 5．
所以BC= BD- CD=9-5=4．
所以△ABC的周长为AB +AC+ BC= 15+13+4=32．
综上所述，△ABC的周长为42或32．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】分两种情况讨论， 即①当△ABC是锐角三角形时，②当△ABC是钝角三角形时， 先根据勾股定理求出BD和CD的长，然后根据线段间的和差关系求出BC，则可求出△ABC的周长.
三、类型3用 平移法构造直角三角形
5．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与出发点的距离是
【答案】100 m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作AB⊥BC，
∵AB=40+40=80m，BC=70-10=60m，
∴AC==100（m）.
故答案为：100m
【分析】作AB⊥BC，根据图示分别求出AB和BC的长，然后根据勾股定理求出AC的长即可.
6．如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，
则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，
在Rt△AMF中，AF2=AM2+FM2，
∴AF= 10．
故答案为10．
【分析】过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，再利用勾股定理求解即可。
四、类型4勾股定理在折叠问题中的巧用
7．如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴EF=BE=1，CF=BC=3，
∴AD=CF=BC，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
在△DAE和△DFC中，
∵，
∴△DAE≌△DFC（AAS），
∴ED=CD，
设CD=x，
∵ED2=AE2+AD2，
∴x2=（x-1）2+32，
解得x=5.
故答案为：B.
【分析】先根据折叠的性质得出有关线段相等，再利用AAS证明△DAE≌△DFC，得出ED=CD，然后CD=x，根据勾股定理构建方程求解即可解答.
8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD的长．
【答案】解：∵∠ACB为直角，
AB===10，
∵折叠，
∴DE=CD，AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=x，
∴BD=BC-CD=8-x，
在Rt△AED中，
∵BD2=BE2+DE2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD= 3 cm .
故答案为： 3 cm .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质得出有关线段相等，设CD=x，在Rt△AED中，根据勾股定理构建方程求解即可.
9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF．
（1）试说明：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB= BC=CD，∠D=∠B=∠C= 90°．
因为将△ADE沿AE折叠至△AFE，所以AD=AF，DE= FE，
∠D=∠AFE=90°．所以AB=AF，∠B=∠AFG= 90°．
又因为AG平分∠BAF，所以∠BAG=∠FAG．
所以△ABG≌△AFG(ASA)．
（2）解：因为△ABG≌△AFG，所以BG= FG．
设BG= FG=x，则GC=6-x．因为E为CD的中点，
所以CE= EF=DE=3．所以EG=3+x．
所以在Rt△CEG中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2．
所以BG= 2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质，得出 AD=AF，DE= FE， 结合正方形的性质和角平分线的定义，利用 ASA证明△ABG≌△AFG即可；
(2)由三角形全等的性质得出BG= FG，设BG= FG=x， 根据选段间的和差关系把EG和CE表示出来，在Rt△CEG中，根据勾股定理构建方程求解，即可解答.
1 / 1【细解】初中数学鲁教版七年级上册专题训练五勾股定理的巧用
一、类型1斜边(或直角)的确定
1．在△ABC中，∠B=90° ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a=5，b=12，则c2=
2．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a= ，b= ，c=2，△ABC是否为直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪个角是直角．
二、类型2有关勾股定理的讨论题目
3．已知直角三角形的三边长分别为6，8，x ，则x2的值为（ ）
A．100 B．10 C．28 D．100或28
4．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，求△ABC的周长．
三、类型3用 平移法构造直角三角形
5．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与出发点的距离是
6．如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是
四、类型4勾股定理在折叠问题中的巧用
7．如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD的长．
9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF．
（1）试说明：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
答案解析部分
1．【答案】119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴c==119.
故答案为：119.
【分析】因为∠B=90°，根据勾股定理解答即可.
2．【答案】解：△ABC是直角三角形，∠B是直角．理由：
因为a2 +c2=( )2+2= ，b2=( )2= ，
所以a2+c2=b2，
所以△ABC是直角三角形，∠B是直角．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】已知三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理推出△ABC是以∠B为直角的直角三角形即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当斜边为x，
∴x2 =62+82=100；
当直角边为x，
∴x2 =82-62=28，
综上， x2的值为100和28 ；
故答案为： 100或28 .
【分析】分两种情况讨论，即当斜边为x，当直角边为x，分别根据勾股定理解答即可.
4．【答案】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图1，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD2=AB2-AD2=152-122= 81．
所以BD=9．
图1在Rt△ADC中，由勾股定理，得
CD2=AC2- AD2=132-122 = 25．
所以CD= 5．
所以BC= BD+CD=9+5=14．
所以△ABC的周长为AB+AC+ BC= 15+13+14= 42．
②当△ABC是钝角三角形时，如图2，
由①知，BD=9，CD= 5．
所以BC= BD- CD=9-5=4．
所以△ABC的周长为AB +AC+ BC= 15+13+4=32．
综上所述，△ABC的周长为42或32．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】分两种情况讨论， 即①当△ABC是锐角三角形时，②当△ABC是钝角三角形时， 先根据勾股定理求出BD和CD的长，然后根据线段间的和差关系求出BC，则可求出△ABC的周长.
5．【答案】100 m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作AB⊥BC，
∵AB=40+40=80m，BC=70-10=60m，
∴AC==100（m）.
故答案为：100m
【分析】作AB⊥BC，根据图示分别求出AB和BC的长，然后根据勾股定理求出AC的长即可.
6．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，
则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，
在Rt△AMF中，AF2=AM2+FM2，
∴AF= 10．
故答案为10．
【分析】过F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，则AM=AB+DC+EF=8，FM=BC+DE=6，再利用勾股定理求解即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴EF=BE=1，CF=BC=3，
∴AD=CF=BC，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
在△DAE和△DFC中，
∵，
∴△DAE≌△DFC（AAS），
∴ED=CD，
设CD=x，
∵ED2=AE2+AD2，
∴x2=（x-1）2+32，
解得x=5.
故答案为：B.
【分析】先根据折叠的性质得出有关线段相等，再利用AAS证明△DAE≌△DFC，得出ED=CD，然后CD=x，根据勾股定理构建方程求解即可解答.
8．【答案】解：∵∠ACB为直角，
AB===10，
∵折叠，
∴DE=CD，AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=x，
∴BD=BC-CD=8-x，
在Rt△AED中，
∵BD2=BE2+DE2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD= 3 cm .
故答案为： 3 cm .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质得出有关线段相等，设CD=x，在Rt△AED中，根据勾股定理构建方程求解即可.
9．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB= BC=CD，∠D=∠B=∠C= 90°．
因为将△ADE沿AE折叠至△AFE，所以AD=AF，DE= FE，
∠D=∠AFE=90°．所以AB=AF，∠B=∠AFG= 90°．
又因为AG平分∠BAF，所以∠BAG=∠FAG．
所以△ABG≌△AFG(ASA)．
（2）解：因为△ABG≌△AFG，所以BG= FG．
设BG= FG=x，则GC=6-x．因为E为CD的中点，
所以CE= EF=DE=3．所以EG=3+x．
所以在Rt△CEG中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2．
所以BG= 2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质，得出 AD=AF，DE= FE， 结合正方形的性质和角平分线的定义，利用 ASA证明△ABG≌△AFG即可；
(2)由三角形全等的性质得出BG= FG，设BG= FG=x， 根据选段间的和差关系把EG和CE表示出来，在Rt△CEG中，根据勾股定理构建方程求解，即可解答.
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