《一次函数》中微观课程设计
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文档简介
主题（第二十章）：一次函数
授课对象：八年级学生 课时数：9课时 设计者：孙莹
教学内容分析
学生在七年级第十八章学习了函数的概念，研究了两个特殊的函数：正比例函数和反比例函数。本单在此基础上学习一次函数。一次函数是一个简单的初等函数，课本着重从概念、图像、性质、应用这几个角度引导学生去认识。
为帮助学生建立一次函数的概念，课本中从实际例子出发，通过建立函数解析式、归纳解析式特点，再给出一次函数的定义，让学生体验数学源于生活，高于生活，建立了一次函数概念后，再通过例题的分析解决，促进学生理解概念，从中体会由特殊到一般再由一般到特殊的思维方法，并培养良好的思维习惯。
关于一次函数的定义，与以前定义正比例函数、反比例函数、一元二次方程等一样采用形式定义，着指明一次函数的解析式的特征，这样符合学生已有的认知基础。同时强调，如果只给出一次函数的解析式而不加说明，那么这个一次函数的定义域是一切实数；如果一次函数的定义域不是一切实数，那么在给出解析式的同时必须给出定义域。然后，课本中揭示了正比例函数与一次函数的关系是“特殊”与“一般”的关系，即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
在学生理解一次函数概念后，再引导学生进一步思考：一次函数所表示的两个变量之间的依赖关系具有怎样的特点？为此，让学生先学会画一次函数的图像，然后利用图像研究一次函数的性质。这样，既为学生理解一次函数的性质提供直观认识的支持，又使学生有机会经历观察、发现、归纳、表达的探究学习过程。
在第十八章中，无论是正比例函数还是反比例函数，画函数的图像，都是通过“列表、描点、连线”三个步骤完成的。这种画函数图像的方法，是认识一个陌生函数的有效方法。所以在画一次函数图像时，我们采用同样的方法，通过画出一些具体的一次函数的图像，归纳出一次函数的图像是一条直线；再进一步，只要确定了图像上的两个点，就可以画出一次函数图像。对于一次函数，给定和的值，这个函数就唯一确定，相应就有一条直线是它的图像。由此可见，、对一次函数图像的位置有决定性作用。于是，让学生通过画图，看到一次函数图像相对于轴正方向的倾斜程度与的值有关；而图像与轴交点的位置由的值确定，从中体会、的几何意义；同时，给出了“斜率”提供引用，并引进了截距的概念。
通过画一次函数的图像，知道了一次函数可以用直角坐标平面上的直线表达，显现出它的几何特征；于是就把一次函数的图像称为直线，引导学生再从几何的角度进一步认识一次函数。通过画直线与直线，并展示类似的值相同的两条直线上下平移的动态过程，让学生观察、探究这样的两条直线的位置关系，再归纳一般意义下两条平行直线的表达式的系数之间的关系，加深对一次函数解析式的认识。
从一次函数的解析式容易联想到一元一次方程和一元一次不等式，实际上它们之间也是有密切联系的。由此，课本安排了对一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间关系的讨论，利用一次函数图像帮助学生直观认识和深入理解一元一次方程的根以及一元一次不等式的解集。在内容编排上，依然遵从特殊到一般、由具体到抽象、由直观感知到得出一般结论这样的认识过程。让学生通过这一内容的学习，体验和领悟函数思想和方法，理解方程、不等式与函数的联系，拓宽思路，并为进一步学习二次函数打下基础。
一次函数性质的内容编排，是从形与数两个角度展开的，首先让学生对一些具体的一次函数图像进行观察与思考，从中发现“沿着轴正方向来观察，直线是上升还是下降”这一几何特征与的正负有关，由此归纳出一次函数图像的直观性质；然后进行抽象概括，用代数语言描述一次函数的性质，再通过例题帮助学生对所得的性质进行理解和巩固；讨论了一次函数的变化趋势后，又从几何的角度探究了直线的位置（经过哪些象限）与系数、的关系。
本章在最后通过例题和问题的分析，介绍了一次函数知识的实际应用。有关内容的设计涉及四个方面：一是如何根据实际问题建立函数解析式；二是如何通过建立函数模型，对变量的变化趋势作出预测；三是如何灵活应用一次函数知识解决生活中的问题；四是如何应用一次函数知识与一次函数图像帮助分析问题，正确作出决策。通过四个问题的分析和解决，让学生体验数学源于生活又服务于生活，数学与生活密切相连，从而认识数学的实际应用的价值。
《考纲》中对一次函数的基本要求为(1)理解一次函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否为一次函数.会画一次函数的图像,并借助图像直观认识和掌握一次函数的性质.(2)了解两条平行直线的表达式之间的关系,能以运动的观点认识两条平行直线之间的上下平移关系.(3)能借助一次函数,进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情况,并理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.(4)初步学会一次函数知识的实际应用,能通过建立简单函数模型解决问题,在解决问题的过程中,提高根据图像获得信息,应用图像解决问题的能力。
学情分析
函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点。
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为函数的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的。
在一次函数解析式、图像、性质等问题上，本章对比已学过的正比例函数，并对这些问题进行了由特殊到一般的讨论，体现解决问题时“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的基本策略。
人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的，学习数学中的一个重要的基本概念，需要分阶段地完成，逐步深化认识程度。教科书对代数函数的学习分三章安排，即八年级上学期学习第十八章“正比例函数和反比例函数”，八年级下学期学习第二十章“一次函数”，九年级上学期学习第二十六章“二次函数”。在学习这些内容之前，分别安排了学习一次方程（组）、分式方程和一元二次方程，即按代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容。
从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析.用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一认识，由此可见函数的重要性，通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力.这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质.以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解.。结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.教学过程中，在函数解析式与图像的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。学习了本章之后不仅要知道有关函数的图像，更要体验图像的作用和数形结合的方法.数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识。
本章某些内容是“以旧带新”，这部分内容很适合探究性学习方式，在教学中应注意加强学生学习的主动性，注意鼓励学生积极探究，教师为启发诱导设计必要的铺垫，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系。
本章知识结构
单元教学目标
理解一次函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否为一次函数关系。
会画一次函数的图像，并借助图像的直观，理解一次函数的性质。
了解两条平行直线的表达式之间的关系，能以运动的观点来认识这种关系。
能借助一次函数的图像认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系。
能应用一次函数知识解决一些简单的有关的实际问题；获得将实际问题转化为数学问题的体验，了解建立简单函数模型的意义。
在解决问题的过程中，增强一次函数的应用意识，体验数形结合的数学思想，提高由图像获取信息进而解决问题的能力。
学习进程安排
课 题 目 标 课时数
20．1 一次函数的概念 通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的头条。会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。 1课时
20．2 一次函数的图像 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。通过直线相对于轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。 3课时
20．3 一次函数的性质 掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。理解直线中的常数与的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系。在探索直线在坐标平面内的位置特征与常数、的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。 2课时
20．4一次函数的应用 通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。在利用一次函数的图像分析和解决问题的活动中，提高从函数图像中获取信息的能力，体验数形结合的数学思想。 2课时
本章小结 1课时
评价方案设计
课后检测、作业反馈、单元测验
课程资源设计
类 别 名 称 数 量
多媒体 课件PPT 3
文字材料 导学单
诊断单 10
评价性测试
课题（20.1）：一次函数的概念
课时数：1 课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的关系。
会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。
在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
学习重点
判断一个函数关系是否是一次函数；用待定系数法求一次函数。
学习难点
学习过程
目标1 通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的关系。
活动1
问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y与x的关系．
问题2：这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？
问题3：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t（小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与t的函数解析式是什么？
问题4：上述两个解析式有什么共同的特征？
活动2
概念辨析：一次函数，分别当b=0时、当k=0时，分别是什么函数？
目标2 会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。
活动3
例题1 根据变量x、y的关系式, 判断y是否是x的一次函数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
例题2 一次函数，当时，,当时，,求解析式。
目标3 在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
例题3 变量x、y之间的关系式是(其中a是常数),那么y是x的一次函数吗
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文字材料 导学单 1
诊断单 1
评价性测试
课题（20.2）：一次函数的图像
课时数：3 课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。
知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。
通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。
学习重点
会画一次函数的图像；
会求直线与坐标轴的交点坐标；
利用两条平行直线的表达式之间的关系确定直线表达式；
利用一次函数图像分析和认识一元一次方程的根与一元一次不等式的解集。
学习难点
研究直线相对于x轴的倾斜程度及两条平行直线表达式之间的关系；
以函数观点认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
学习过程
一次函数图像
目标1（1） 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
活动1
操作：按照下列步骤画正比例函数y=x和一次函数y=x+3的图像，并进行比较。
(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x … …
y=x+3 … …
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.
(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.
观察：观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y=x+3的对应值比函数y=x的对应值都大多少
思考：我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗
概念辨析：
一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.
活动2
例1 在平面直角坐标系xOy中，画一次函数的图像.
目标1（2） 理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
活动3 概念辨析：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
一般地，直线 (k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线 (k0)的截距是b.
说明：教学过程中，应强调截距不是距离，它可以取正值、负值或零。
活动4
例2 写出下列直线的截距：
(1)； (2)；
(3)； (4).
说明：本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.帮助学生理解直线的截距的概念，能由直线的表达式直接确定直线的截距。
活动5
例3 已知直线经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：
(1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
说明：本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.帮助学生巩固待定系数法和熟悉直线与坐标轴的交点坐标的方法。本例从几何角度表述，应强调“如果点的函数的图像上，那么这点的坐标满足这个函数的解析式”，引导学生从数和形两个角度思考和解决问题，领会数形结合的思想。
目标4 通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。
活动6
操作：在同一直角坐标系中画出下列直线：
（1）直线； （2）直线；
（3）直线； （4）直线.
观察
(a)观察上述四条直线，发现截距相同时，直线都过什么样的点
(b)观察上述四条直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小
思考：直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小与k的大小有何关系？
k、b的作用
在坐标平面上画直线 (k≠0)，截距b相同的直线经过同一点(0,b).
k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.
(1)k>0时，K值越大，倾斜角越大
(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大
说明:（1） 倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；
（2）常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.
目标2 知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。
活动7
例题分析：
例4 在同一直角坐标系中画出直线与直线，并判断这两条直线之间的位置关系.
分析:描出直线上的两点,再过这两点画直线即可，问题在于如何判断这两条直线之间的位置关系.可以通过特殊点和任意点的坐标变化规律，进行判断.
说明：本题是具体研究两条直线，通过操作、观察和说理，确认这两条直线平行；由特殊到一般，得到直线和之间关系的一般结论。要注意引导学生体会运动变化的观点以及由特殊到一般的分析和思考问题的方法。
直线平移：
一般地，一次函数 (k0)的图像可由正比例函数的图像平移得到.当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.
直线平行
如果，那么直线与直线平行.
如果直线与直线平行，那么.
例题分析
例5 已知一次函数的图像经过点A(2,-1),且与直线平行，求这个函数的解析式.
说明：在解题过程中，要关注以下知识的巩固：（1）如果一个点在直线上，那么这个点的坐标满足这一直线的表达式；（2）两条互相平行的直线表达式之间的关系的运用；（3）待定系数法的运用。
目标3 知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
目标5 通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。
活动8
观察：已知一次函数 （k0）变量x与y的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4
(1) 填空：方程的解为_____________；
(2) 填空：不等式的解集为__________；
(3) 求这个一次函数的解析式.
思考：一次函数的自变量x的取值与方程的解或不等式的解集有何关系
一次函数与一元一次方程的关系
通过上述表格和填空训练，我们可以看到：
一次函数 的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解；反之，一元一次方程的解就是一次函数 的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.
一次函数与一元一次不等式的关系
问题1 如图,已知直线l经过点A(0,-1)和B(2,0),那么直线l在x轴上方的点的横坐标的取值范围是什么？在x轴下方的点呢？
问题2 关于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0与一次函数 y=kx+b之间有什么关系？
通过对问题1、问题2的思考、讨论与探究，可以看到一次函数与一元一次不等式之间也有着密切联系，进一步体现数形结合的数学思想. （可借助几何画板展示图形的动态变化过程）
由一次函数 y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.
例题分析
例6 已知函数.
(1)当x取何值时，函数值y=5？
(2)当x取何值时，函数值y>5？
(3)在平面直角坐标系xOy中,在直线上且位于x轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是什么？
说明：对题（1）、题（2），主要从代数角度思考，通过式的代换与运算来解决问题。题（3）引导学生从图形的角度进一步探讨一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，有助于学生对三者关系加深认识。在教学中，可画出直线，利用图形的直观性，帮助分析和解题。
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课题（20.3）：一次函数的性质
课时数：2课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。
理解直线y=kx+b中的常数k与b的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系。
在探索直线y=kx+b在坐标平面内的位置特征与常数k、b的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。
学习重点
归纳总结一次函数的基本性质，并运用性质解决相关问题。
学习难点
根据直线中的常数k与b的正负情况，判断直线在坐标系中的位置;反之根据直线在坐标系中位置特征，确定常数k与b的正负符号.
学习过程
目标1 掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。
活动1
观察思考
画出函数与函数的图像，观察图像并分析：顺着x轴正方向看，这两个图像是上升还是下降？当自变量的值逐渐增大时，函数值随之怎样变化？
归纳一次函数的增减性
一般来说，一次函数具有以下性质：
当时，函数值y随自变量x的值的增大而增大；
当时，函数值y随自变量x的值的增大而减小。
活动2 例题分析
例题1 已知一次函数的图像经过点
求常数级k的值；
当自变量的值逐渐增大时，函数值随之增大还是减小？
分析：本题帮助学生熟悉根据一次函数中的k的正负判断函数值随自变量的值的增大所呈现的变化，巩固所学的一次函数性质。
目标3 在探索直线y=kx+b在坐标平面内的位置特征与常数k、b的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。
活动3
例题2 已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小。
求m的取值范围；
在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图像与y轴的交点M位于y轴的正半轴还是负半轴？
说明：本题是一次函数性质的灵活运用。其中，题（1）是根据函数中函数值变化的性质判断k的正负情况；题（2）是关于函数图像与坐标轴的交点坐标的确定及交点位置的判断。
例题3 已知点和在函数的图像是，试比较与的大小。
说明：本题在于引导学生关注一次函数性质的灵活运用。比较实数大小有很多方法，利用一次函数性质来比较实数大小体现了函数思想。本题还可以求出与，再比较大小。
例4 已知一次函数的图像是与直线平行的直线.
（1）随着自变量x的值的增大，函数值y增大还是减小？
（2）直线经过哪几个象限？
（3）直线经过哪几个象限？
说明：对例题4的分析与讨论，可以运用直线平移的知识.如因为直线可以由直线向上平移2个单位得到，且直线经过第一象限、原点与第二象限，所以直线经过第一、二、三象限.类似地，讨论直线经过的象限时，都可以应用直线平移的知识，这种运动的观点，可借助多媒体来呈现.同时第三问正好是本节课所学的重要性质的铺垫，渗透分类讨论的思想，引出讨论直线经过的象限.
目标2 理解直线y=kx+b中的常数k与b的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系
活动4
思考：在平面直线坐标系xOy中，直线的位置与k、b的符号有什么关系？
直线过点（0，b）且与直线平行，由直线在直角坐标平面内的位置情况可知：
当k>0，且b>0时，直线经过第一、二、三象限；
当k>0，且b<0时，直线经过第一、三、四象限；
当k<0，且b>0时，直线经过第一、二、四象限；
当k<0，且b<0时，直线经过第二、三、四象限；
把上述判断反过来叙述，也是正确的.
说明：引导学生观察一次函数图像上升或下降情况，再归纳总结函数值随自变量变化而变化的规律。对于观察所得结果的归纳和总结，要注意“形”与“数”两个角度的表述：一是直线相对于x轴正方向呈上升还是下降的趋势，二是函数值随自变量的值的变化呈现怎样的变化。
性质应用
例题5 已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大.
（1）求实数a的取值范围；
（2）指出图像所经过的象限.
说明：本题帮助学生理解和巩固前面所学知识。题（1）由一次函数的增减性确定解析式中一次项系数的正负；题（2）由解析式中的系数判断图像所经过的象限，是前面所学知识的基本运用。
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诊断单 3
评价性测试
课题（20.4）：一次函数的应用
课时数：2课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。
经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。
在利用一次函数的图像分析和解决问题的活动中，提高从函数图像中获取信息的能力，体验数形结合的数学思想。
学习重点
根据实际问题中两个变量之间的关系建立一次函数解析式，以及运用一次函数模型解决实际问题。
学习难点
运用函数知识处理分析实际问题。
学习过程
目标1 通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。
活动1
例题1 某市为鼓励居民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准：①若用水量不超过8立方米，每立方米收费0.8元,并加收每立方米0.2元的污水处理费;②用水量超过8立方米时，在①的基础上,超过8立方米的部分,按每立方米收费1.6元,并加收每立方米0.4元的污水处理费.
说明：本题学生有一定的生活经验，通过建立一个月的水费与用水量之间的函数关系，从中可以获得实际问题数学化的过程经历和学习建立函数解析式的方法。
在建立函数解析式的过程中，由于收费标准与用水量有关，所以本题如要整体描述它们之间的函数关系就会出现分段函数。为了避免出现分段函数，特意分设两个小题；在书写函数关系时，要分开表达，此时更要注意函数的定义域。在教学中，还可以引导学生思考水费随用水量的增加如何变化；还可以进一步研究由水费如何计算用水量、由用水量如何确定水费等问题。
小结：建立函数关系解题的步骤:
(1)仔细审题,确定变量.
(2)找出等量关系,列出函数关系式
(3)根据实际要求,写出函数定义域
(4)一般可根据定义域的端点来取值，描点，作出实际问题的函数图像.
例题2 据报道，某地区从1995年底开始，每年增加的沙漠面积几乎相同，1998年底该地区的沙漠面积约为100.6万公顷，2001年底扩展到101.2万公顷，如果不进行有效治理，试估计到2020年该地区的沙漠面积.
说明：本题是章头语中提出的问题，提供学生学习如何根据实际问题中的变量关系建立一次函数模型，并运用所建模型预测数据的变化趋势。利用一次函数模型作出预测，是一次函数知识实际应用的体现之一。
目标2 经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。
活动2
问题1：已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系，如果有一根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体(在弹性限度内),你能用这根弹簧制作一把简单的弹簧秤吗
说明：本题的背景是物理现象，其实是数学知识的应用。问题的解决在于确定弹簧长度与所挂重物质量之间的函数关系；要关注学生运用一次函数知识分析问题与解决问题的能力的培养。
试一试：如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是6厘米，挂上2.5千克重物时弹簧长度是7.5厘米，那么弹簧长度y厘米与所挂重物的质量x千克的函数解析式是 。
如果挂了一个重物时量出弹簧长度是7厘米，那么这个重物的质量是 千克。
问题2：一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元,再加每月销售额的20% ,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案
说明：这是一个决策问题，让学生体验如何运用数学知识作出正确的决策。问题中涉及到对两个薪金方案的分析和比较。在解题过程中，要让学生体会先建立函数解析式、再画函数图像、最后根据图像作出决策的过程。在分析过程中，要引导学生体会如何从函数图像中获取信息，体验“数形结合”的数学思想。
教学资源
类 别 名 称 数 量
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文字材料 导学单 2
诊断单 3
评价性测试
授课对象：八年级学生 课时数：9课时 设计者：孙莹
教学内容分析
学生在七年级第十八章学习了函数的概念，研究了两个特殊的函数：正比例函数和反比例函数。本单在此基础上学习一次函数。一次函数是一个简单的初等函数，课本着重从概念、图像、性质、应用这几个角度引导学生去认识。
为帮助学生建立一次函数的概念，课本中从实际例子出发，通过建立函数解析式、归纳解析式特点，再给出一次函数的定义，让学生体验数学源于生活，高于生活，建立了一次函数概念后，再通过例题的分析解决，促进学生理解概念，从中体会由特殊到一般再由一般到特殊的思维方法，并培养良好的思维习惯。
关于一次函数的定义，与以前定义正比例函数、反比例函数、一元二次方程等一样采用形式定义，着指明一次函数的解析式的特征，这样符合学生已有的认知基础。同时强调，如果只给出一次函数的解析式而不加说明，那么这个一次函数的定义域是一切实数；如果一次函数的定义域不是一切实数，那么在给出解析式的同时必须给出定义域。然后，课本中揭示了正比例函数与一次函数的关系是“特殊”与“一般”的关系，即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
在学生理解一次函数概念后，再引导学生进一步思考：一次函数所表示的两个变量之间的依赖关系具有怎样的特点？为此，让学生先学会画一次函数的图像，然后利用图像研究一次函数的性质。这样，既为学生理解一次函数的性质提供直观认识的支持，又使学生有机会经历观察、发现、归纳、表达的探究学习过程。
在第十八章中，无论是正比例函数还是反比例函数，画函数的图像，都是通过“列表、描点、连线”三个步骤完成的。这种画函数图像的方法，是认识一个陌生函数的有效方法。所以在画一次函数图像时，我们采用同样的方法，通过画出一些具体的一次函数的图像，归纳出一次函数的图像是一条直线；再进一步，只要确定了图像上的两个点，就可以画出一次函数图像。对于一次函数，给定和的值，这个函数就唯一确定，相应就有一条直线是它的图像。由此可见，、对一次函数图像的位置有决定性作用。于是，让学生通过画图，看到一次函数图像相对于轴正方向的倾斜程度与的值有关；而图像与轴交点的位置由的值确定，从中体会、的几何意义；同时，给出了“斜率”提供引用，并引进了截距的概念。
通过画一次函数的图像，知道了一次函数可以用直角坐标平面上的直线表达，显现出它的几何特征；于是就把一次函数的图像称为直线，引导学生再从几何的角度进一步认识一次函数。通过画直线与直线，并展示类似的值相同的两条直线上下平移的动态过程，让学生观察、探究这样的两条直线的位置关系，再归纳一般意义下两条平行直线的表达式的系数之间的关系，加深对一次函数解析式的认识。
从一次函数的解析式容易联想到一元一次方程和一元一次不等式，实际上它们之间也是有密切联系的。由此，课本安排了对一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间关系的讨论，利用一次函数图像帮助学生直观认识和深入理解一元一次方程的根以及一元一次不等式的解集。在内容编排上，依然遵从特殊到一般、由具体到抽象、由直观感知到得出一般结论这样的认识过程。让学生通过这一内容的学习，体验和领悟函数思想和方法，理解方程、不等式与函数的联系，拓宽思路，并为进一步学习二次函数打下基础。
一次函数性质的内容编排，是从形与数两个角度展开的，首先让学生对一些具体的一次函数图像进行观察与思考，从中发现“沿着轴正方向来观察，直线是上升还是下降”这一几何特征与的正负有关，由此归纳出一次函数图像的直观性质；然后进行抽象概括，用代数语言描述一次函数的性质，再通过例题帮助学生对所得的性质进行理解和巩固；讨论了一次函数的变化趋势后，又从几何的角度探究了直线的位置（经过哪些象限）与系数、的关系。
本章在最后通过例题和问题的分析，介绍了一次函数知识的实际应用。有关内容的设计涉及四个方面：一是如何根据实际问题建立函数解析式；二是如何通过建立函数模型，对变量的变化趋势作出预测；三是如何灵活应用一次函数知识解决生活中的问题；四是如何应用一次函数知识与一次函数图像帮助分析问题，正确作出决策。通过四个问题的分析和解决，让学生体验数学源于生活又服务于生活，数学与生活密切相连，从而认识数学的实际应用的价值。
《考纲》中对一次函数的基本要求为(1)理解一次函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否为一次函数.会画一次函数的图像,并借助图像直观认识和掌握一次函数的性质.(2)了解两条平行直线的表达式之间的关系,能以运动的观点认识两条平行直线之间的上下平移关系.(3)能借助一次函数,进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情况,并理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.(4)初步学会一次函数知识的实际应用,能通过建立简单函数模型解决问题,在解决问题的过程中,提高根据图像获得信息,应用图像解决问题的能力。
学情分析
函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点。
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为函数的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的。
在一次函数解析式、图像、性质等问题上，本章对比已学过的正比例函数，并对这些问题进行了由特殊到一般的讨论，体现解决问题时“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的基本策略。
人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的，学习数学中的一个重要的基本概念，需要分阶段地完成，逐步深化认识程度。教科书对代数函数的学习分三章安排，即八年级上学期学习第十八章“正比例函数和反比例函数”，八年级下学期学习第二十章“一次函数”，九年级上学期学习第二十六章“二次函数”。在学习这些内容之前，分别安排了学习一次方程（组）、分式方程和一元二次方程，即按代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容。
从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析.用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一认识，由此可见函数的重要性，通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力.这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质.以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解.。结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.教学过程中，在函数解析式与图像的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。学习了本章之后不仅要知道有关函数的图像，更要体验图像的作用和数形结合的方法.数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识。
本章某些内容是“以旧带新”，这部分内容很适合探究性学习方式，在教学中应注意加强学生学习的主动性，注意鼓励学生积极探究，教师为启发诱导设计必要的铺垫，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系。
本章知识结构
单元教学目标
理解一次函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否为一次函数关系。
会画一次函数的图像，并借助图像的直观，理解一次函数的性质。
了解两条平行直线的表达式之间的关系，能以运动的观点来认识这种关系。
能借助一次函数的图像认识一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系。
能应用一次函数知识解决一些简单的有关的实际问题；获得将实际问题转化为数学问题的体验，了解建立简单函数模型的意义。
在解决问题的过程中，增强一次函数的应用意识，体验数形结合的数学思想，提高由图像获取信息进而解决问题的能力。
学习进程安排
课 题 目 标 课时数
20．1 一次函数的概念 通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的头条。会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。 1课时
20．2 一次函数的图像 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。通过直线相对于轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。 3课时
20．3 一次函数的性质 掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。理解直线中的常数与的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系。在探索直线在坐标平面内的位置特征与常数、的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。 2课时
20．4一次函数的应用 通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。在利用一次函数的图像分析和解决问题的活动中，提高从函数图像中获取信息的能力，体验数形结合的数学思想。 2课时
本章小结 1课时
评价方案设计
课后检测、作业反馈、单元测验
课程资源设计
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课题（20.1）：一次函数的概念
课时数：1 课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的关系。
会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。
在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
学习重点
判断一个函数关系是否是一次函数；用待定系数法求一次函数。
学习难点
学习过程
目标1 通过一些具体的函数实例，理解一次函数的概念；理解一次函数与正比例函数、常值函数的关系。
活动1
问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y与x的关系．
问题2：这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？
问题3：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t（小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与t的函数解析式是什么？
问题4：上述两个解析式有什么共同的特征？
活动2
概念辨析：一次函数，分别当b=0时、当k=0时，分别是什么函数？
目标2 会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数的解析式。
活动3
例题1 根据变量x、y的关系式, 判断y是否是x的一次函数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
例题2 一次函数，当时，,当时，,求解析式。
目标3 在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。
例题3 变量x、y之间的关系式是(其中a是常数),那么y是x的一次函数吗
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课题（20.2）：一次函数的图像
课时数：3 课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。
知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。
通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。
学习重点
会画一次函数的图像；
会求直线与坐标轴的交点坐标；
利用两条平行直线的表达式之间的关系确定直线表达式；
利用一次函数图像分析和认识一元一次方程的根与一元一次不等式的解集。
学习难点
研究直线相对于x轴的倾斜程度及两条平行直线表达式之间的关系；
以函数观点认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
学习过程
一次函数图像
目标1（1） 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
活动1
操作：按照下列步骤画正比例函数y=x和一次函数y=x+3的图像，并进行比较。
(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x … …
y=x+3 … …
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.
(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.
观察：观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y=x+3的对应值比函数y=x的对应值都大多少
思考：我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗
概念辨析：
一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.
活动2
例1 在平面直角坐标系xOy中，画一次函数的图像.
目标1（2） 理解直线的截距的意义，掌握求一次函数图像与坐标轴交点的方法。
活动3 概念辨析：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
一般地，直线 (k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线 (k0)的截距是b.
说明：教学过程中，应强调截距不是距离，它可以取正值、负值或零。
活动4
例2 写出下列直线的截距：
(1)； (2)；
(3)； (4).
说明：本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.帮助学生理解直线的截距的概念，能由直线的表达式直接确定直线的截距。
活动5
例3 已知直线经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：
(1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
说明：本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.帮助学生巩固待定系数法和熟悉直线与坐标轴的交点坐标的方法。本例从几何角度表述，应强调“如果点的函数的图像上，那么这点的坐标满足这个函数的解析式”，引导学生从数和形两个角度思考和解决问题，领会数形结合的思想。
目标4 通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高以运动变化的观点处理问题的能力。
活动6
操作：在同一直角坐标系中画出下列直线：
（1）直线； （2）直线；
（3）直线； （4）直线.
观察
(a)观察上述四条直线，发现截距相同时，直线都过什么样的点
(b)观察上述四条直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小
思考：直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小与k的大小有何关系？
k、b的作用
在坐标平面上画直线 (k≠0)，截距b相同的直线经过同一点(0,b).
k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.
(1)k>0时，K值越大，倾斜角越大
(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大
说明:（1） 倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；
（2）常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.
目标2 知道两条平行直线的表达式之间的关系，能运用这种关系确定直线表达式。
活动7
例题分析：
例4 在同一直角坐标系中画出直线与直线，并判断这两条直线之间的位置关系.
分析:描出直线上的两点,再过这两点画直线即可，问题在于如何判断这两条直线之间的位置关系.可以通过特殊点和任意点的坐标变化规律，进行判断.
说明：本题是具体研究两条直线，通过操作、观察和说理，确认这两条直线平行；由特殊到一般，得到直线和之间关系的一般结论。要注意引导学生体会运动变化的观点以及由特殊到一般的分析和思考问题的方法。
直线平移：
一般地，一次函数 (k0)的图像可由正比例函数的图像平移得到.当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.
直线平行
如果，那么直线与直线平行.
如果直线与直线平行，那么.
例题分析
例5 已知一次函数的图像经过点A(2,-1),且与直线平行，求这个函数的解析式.
说明：在解题过程中，要关注以下知识的巩固：（1）如果一个点在直线上，那么这个点的坐标满足这一直线的表达式；（2）两条互相平行的直线表达式之间的关系的运用；（3）待定系数法的运用。
目标3 知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集。
目标5 通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领会略用函数知识分析问题的方法。
活动8
观察：已知一次函数 （k0）变量x与y的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4
(1) 填空：方程的解为_____________；
(2) 填空：不等式的解集为__________；
(3) 求这个一次函数的解析式.
思考：一次函数的自变量x的取值与方程的解或不等式的解集有何关系
一次函数与一元一次方程的关系
通过上述表格和填空训练，我们可以看到：
一次函数 的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解；反之，一元一次方程的解就是一次函数 的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.
一次函数与一元一次不等式的关系
问题1 如图,已知直线l经过点A(0,-1)和B(2,0),那么直线l在x轴上方的点的横坐标的取值范围是什么？在x轴下方的点呢？
问题2 关于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0与一次函数 y=kx+b之间有什么关系？
通过对问题1、问题2的思考、讨论与探究，可以看到一次函数与一元一次不等式之间也有着密切联系，进一步体现数形结合的数学思想. （可借助几何画板展示图形的动态变化过程）
由一次函数 y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.
例题分析
例6 已知函数.
(1)当x取何值时，函数值y=5？
(2)当x取何值时，函数值y>5？
(3)在平面直角坐标系xOy中,在直线上且位于x轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是什么？
说明：对题（1）、题（2），主要从代数角度思考，通过式的代换与运算来解决问题。题（3）引导学生从图形的角度进一步探讨一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，有助于学生对三者关系加深认识。在教学中，可画出直线，利用图形的直观性，帮助分析和解题。
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课题（20.3）：一次函数的性质
课时数：2课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。
理解直线y=kx+b中的常数k与b的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系。
在探索直线y=kx+b在坐标平面内的位置特征与常数k、b的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。
学习重点
归纳总结一次函数的基本性质，并运用性质解决相关问题。
学习难点
根据直线中的常数k与b的正负情况，判断直线在坐标系中的位置;反之根据直线在坐标系中位置特征，确定常数k与b的正负符号.
学习过程
目标1 掌握一次函数的基本性质，能运用一次函数的性质解决一些简单的问题。
活动1
观察思考
画出函数与函数的图像，观察图像并分析：顺着x轴正方向看，这两个图像是上升还是下降？当自变量的值逐渐增大时，函数值随之怎样变化？
归纳一次函数的增减性
一般来说，一次函数具有以下性质：
当时，函数值y随自变量x的值的增大而增大；
当时，函数值y随自变量x的值的增大而减小。
活动2 例题分析
例题1 已知一次函数的图像经过点
求常数级k的值；
当自变量的值逐渐增大时，函数值随之增大还是减小？
分析：本题帮助学生熟悉根据一次函数中的k的正负判断函数值随自变量的值的增大所呈现的变化，巩固所学的一次函数性质。
目标3 在探索直线y=kx+b在坐标平面内的位置特征与常数k、b的符号之间关系的过程中，体会数形结合的数学思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法。
活动3
例题2 已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小。
求m的取值范围；
在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图像与y轴的交点M位于y轴的正半轴还是负半轴？
说明：本题是一次函数性质的灵活运用。其中，题（1）是根据函数中函数值变化的性质判断k的正负情况；题（2）是关于函数图像与坐标轴的交点坐标的确定及交点位置的判断。
例题3 已知点和在函数的图像是，试比较与的大小。
说明：本题在于引导学生关注一次函数性质的灵活运用。比较实数大小有很多方法，利用一次函数性质来比较实数大小体现了函数思想。本题还可以求出与，再比较大小。
例4 已知一次函数的图像是与直线平行的直线.
（1）随着自变量x的值的增大，函数值y增大还是减小？
（2）直线经过哪几个象限？
（3）直线经过哪几个象限？
说明：对例题4的分析与讨论，可以运用直线平移的知识.如因为直线可以由直线向上平移2个单位得到，且直线经过第一象限、原点与第二象限，所以直线经过第一、二、三象限.类似地，讨论直线经过的象限时，都可以应用直线平移的知识，这种运动的观点，可借助多媒体来呈现.同时第三问正好是本节课所学的重要性质的铺垫，渗透分类讨论的思想，引出讨论直线经过的象限.
目标2 理解直线y=kx+b中的常数k与b的正负与直线在坐标平面内的位置之间的联系
活动4
思考：在平面直线坐标系xOy中，直线的位置与k、b的符号有什么关系？
直线过点（0，b）且与直线平行，由直线在直角坐标平面内的位置情况可知：
当k>0，且b>0时，直线经过第一、二、三象限；
当k>0，且b<0时，直线经过第一、三、四象限；
当k<0，且b>0时，直线经过第一、二、四象限；
当k<0，且b<0时，直线经过第二、三、四象限；
把上述判断反过来叙述，也是正确的.
说明：引导学生观察一次函数图像上升或下降情况，再归纳总结函数值随自变量变化而变化的规律。对于观察所得结果的归纳和总结，要注意“形”与“数”两个角度的表述：一是直线相对于x轴正方向呈上升还是下降的趋势，二是函数值随自变量的值的变化呈现怎样的变化。
性质应用
例题5 已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大.
（1）求实数a的取值范围；
（2）指出图像所经过的象限.
说明：本题帮助学生理解和巩固前面所学知识。题（1）由一次函数的增减性确定解析式中一次项系数的正负；题（2）由解析式中的系数判断图像所经过的象限，是前面所学知识的基本运用。
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类 别 名 称 数 量
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文字材料 导学单 2
诊断单 3
评价性测试
课题（20.4）：一次函数的应用
课时数：2课时 课型：新授 设计者： 孙莹
学习目标
通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。
经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。
在利用一次函数的图像分析和解决问题的活动中，提高从函数图像中获取信息的能力，体验数形结合的数学思想。
学习重点
根据实际问题中两个变量之间的关系建立一次函数解析式，以及运用一次函数模型解决实际问题。
学习难点
运用函数知识处理分析实际问题。
学习过程
目标1 通过探求实际问题的函数关系，体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域。
活动1
例题1 某市为鼓励居民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准：①若用水量不超过8立方米，每立方米收费0.8元,并加收每立方米0.2元的污水处理费;②用水量超过8立方米时，在①的基础上,超过8立方米的部分,按每立方米收费1.6元,并加收每立方米0.4元的污水处理费.
说明：本题学生有一定的生活经验，通过建立一个月的水费与用水量之间的函数关系，从中可以获得实际问题数学化的过程经历和学习建立函数解析式的方法。
在建立函数解析式的过程中，由于收费标准与用水量有关，所以本题如要整体描述它们之间的函数关系就会出现分段函数。为了避免出现分段函数，特意分设两个小题；在书写函数关系时，要分开表达，此时更要注意函数的定义域。在教学中，还可以引导学生思考水费随用水量的增加如何变化；还可以进一步研究由水费如何计算用水量、由用水量如何确定水费等问题。
小结：建立函数关系解题的步骤:
(1)仔细审题,确定变量.
(2)找出等量关系,列出函数关系式
(3)根据实际要求,写出函数定义域
(4)一般可根据定义域的端点来取值，描点，作出实际问题的函数图像.
例题2 据报道，某地区从1995年底开始，每年增加的沙漠面积几乎相同，1998年底该地区的沙漠面积约为100.6万公顷，2001年底扩展到101.2万公顷，如果不进行有效治理，试估计到2020年该地区的沙漠面积.
说明：本题是章头语中提出的问题，提供学生学习如何根据实际问题中的变量关系建立一次函数模型，并运用所建模型预测数据的变化趋势。利用一次函数模型作出预测，是一次函数知识实际应用的体现之一。
目标2 经历运用一次函数的知识分析和解决问题的过程，初步掌握通过建立函数模型作出预测与决策的基本方法。
活动2
问题1：已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系，如果有一根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体(在弹性限度内),你能用这根弹簧制作一把简单的弹簧秤吗
说明：本题的背景是物理现象，其实是数学知识的应用。问题的解决在于确定弹簧长度与所挂重物质量之间的函数关系；要关注学生运用一次函数知识分析问题与解决问题的能力的培养。
试一试：如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是6厘米，挂上2.5千克重物时弹簧长度是7.5厘米，那么弹簧长度y厘米与所挂重物的质量x千克的函数解析式是 。
如果挂了一个重物时量出弹簧长度是7厘米，那么这个重物的质量是 千克。
问题2：一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元,再加每月销售额的20% ,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案
说明：这是一个决策问题，让学生体验如何运用数学知识作出正确的决策。问题中涉及到对两个薪金方案的分析和比较。在解题过程中，要让学生体会先建立函数解析式、再画函数图像、最后根据图像作出决策的过程。在分析过程中，要引导学生体会如何从函数图像中获取信息，体验“数形结合”的数学思想。
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