中位线C1（教师用）

课题：中位线（孙莹）
对象：八年级C1学生
课时：1课时
提要：
三角形中位线是三角形两边中点的连线，它平行于第三边，且等于第三边的一半。
梯形的中位线是梯形两腰中点的连线，它平行于上下两底，且等于上下底和的一半。
三角形中位线和梯形中位线定理都有两个条件和两个结论，条件和结论中某一个互换，得到的是真命题。这一点，常用在解题之中。
由已知条件中的中点，可以联想到中位线，则引出相应的辅助线。这是本讲辅助线的特色之一。
目标：会根据中位线定理中的某一个条件作辅助线。
过程：
例题精讲
在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，M为BC的中点，求证：DM=AB。
证明：取AB的中点N，连结ND、NM。
因为AD⊥BC，N为AB中点，所以DN=AB=BN。
又M是BC中点，所以MN∥AC，∠C=∠BMN。
因为DN=BN，所以∠B=∠NDB，而∠BDN=∠DMN+∠DNM，∠B=2∠C，，
所以∠C=∠DNM=∠DMN，所以DM=DN，从而DM=AB。
如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB证明：连结BE，取BE中点F，连结FN、FM。
因为FN是△EAB的中位线，所以FNAB。
因为FM是△BCE的中位线，所以FMCE。
又CE=AB，则FN=FM，故∠3=∠4。
但∠4=∠5，则∠3=∠5。
又∠1+∠2=∠3+∠5，而∠1=∠2，则∠2=∠5，故MN∥AD。
如图，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等。已知BE=AD=4，求△ABC的三边长。
解： 过D作DF∥BE交AC于F。
由于BE平分∠ABC，BE⊥AD，则M是AD的中点。
而D是BC的中点，且DF∥BE，则F是EC的中占，那么DF是△BEC的中位线，ME是△ADF的中位线。
因为BE=4，则DF=2，ME=1。这时，MB=3，MD=2，BD=，BC=。
由于△ABD是等腰三角形，则AB=BD=。
在Rt△AME中，AE=。
又由DF是△BEC的中位线，ME是△ADF的中位线，可得CF=EF=AE=，则AC=。
因此，AB=，AC=，BC=。
如图：等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN。
证明：过D作DG∥AC，交BC的延长线于G。
因为AD∥BC，所以四边形ACGD是平行四边形，则DG=AC=BD。又因为AC⊥BD，所以BD⊥DG，则△BDG是等腰直角三角形。
因为DF⊥BG，所以DF=BF=FG，即DF=BG。
因为MN是梯形ABCD的中位线，所以MN=（AD+BC）。
在平行四边形ACGD中，CG=AD，从而MN=（CG+BC）=BG。故DF=MN。
水平测试
如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，求FC的长。
（取AC中点N，连结MN）
梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是对角线AC、B的中点，已知MN=7，BC=20，求AD的长。
（连结AF并延长交BC于点G）
四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N。求证：∠AME=∠DNE。
（连结AC，取AC中点G，连结EG、FG）
如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于G，连结EG。（1）求证：EG∥AC；（2）求的值。
（取AF在点H，连结HD）
（2）设，则，，
则。
设，则，，故，因此。