2021-2022学年冀教版九年级数学上册第24章一元二次方程 同步能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x2++5＝0；④x2﹣2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0是一元二次方程的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）
A．2，﹣3
B．﹣2，﹣3
C．2，﹣3x
D．﹣2，﹣3x
3．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　）
A．0
B．﹣2
C．0
或﹣
D．﹣2或0
5．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5
B．7
C．6.5或7
D．8
6．如果（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．2或﹣2
B．2
C．﹣2
D．以上都不正确
7．某商场从2018年至2020年两年时间里，营业额由1000万元增加到1440万元，则这两年的平均增长率为（　　）
A．10%
B．14.4%
C．20%
D．44%
8．若一个直角三角形的两条直角边长之和为14，面积为24，则其斜边的长是（　　）
A．2
B．4
C．8
D．10
9．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（　　）
A．24
B．28
C．24或28
D．以上都不对
10．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值（　　）
A．﹣1或3
B．1或﹣3
C．﹣1
D．3
二、填空题
11．方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是　
　．
12．已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a2﹣b2+2b的值为　
　．
13．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝　
　．
14．某市准备加大对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元，设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为x，可列方程为　
　．
三、解答题
15．解方程
（1）（2x+1）2＝64；
（2）8x3+27＝0．
16．解方程：x2﹣4x+1＝0．
17．解方程：
（1）2x2+3x﹣1＝0
（2）
18．解方程
（1）
（2）x2﹣4x﹣5＝0
19．用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣25＝0
（2）2x2+7x﹣4＝0．
20．解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）
（1）（x﹣2）2＝9（直接开方法）
（2）x2﹣6x+6＝0（配方法）
（3）3x2﹣1＝2x+5（公式法）
（4）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）（因式分解法）
（5）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0
（6）＝1．
21．阅读材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．
23．已知关于x的方程：（1﹣m）x2﹣2x+1＝0．
（1）当m为何值时，方程有实数根．
（2）若方程有两实数根x1、x2，且x12+x22+3x1x2＝0，求m的值．
24．如图所示，利用一面墙的部分长度作为矩形较长的一边，另三边用24米长的篱笆围成一个面积为54平方米的矩形场地，求矩形场地较短边的长．
25．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
26．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
27．2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
28．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
29．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为ts．
（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为7cm2？
（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
30．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点D以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？
参考答案
1．解：①ax2+bx+c＝0当a＝0是一元一次方程，故本小题错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本小题正确；
③x2++5＝0是分式方程，故本小题错误；
④x2﹣2+5x3﹣6＝0是一元三次方程，故本小题错误；
⑤3x2＝3（x﹣2）2是一元一次方程，故本小题错误；
⑥12x﹣10＝0是一元一次方程，故本小题错误．
故选：A．
2．解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，
去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，
移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，
其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．
故选：C．
3．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即Δ＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
4．解：∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，
∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，
解得m＝0或m＝﹣，
∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m为任意实数，方程均有实数根，
∴m＝0或m＝﹣均符合题意．
故选：C．
5．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
6．解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：C．
7．解：设这两年的平均增长率为x，
根据题意得：1000×（1+x）2＝1440，
即：（1+x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2，
∵x2＝﹣2.2＜0
不合题意，舍去，取x＝0.2＝20%，
答：这两年的平均增长率为20%．
故选：C．
8．解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：x（14﹣x）＝24，
整理得：x2﹣14x+48＝0．
解得x1＝6，x2＝8，
所以斜边长为：＝10．
故选：D．
9．解：解方程x2﹣24x+140＝0得：x1＝10，x2＝14，
当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为6+8+10＝24，
当三边为6、8、14时，6+8＝14，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，
即三角形的周长是24，
故选：A．
10．解：令x＝a2+b2，
则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
又∵x＝a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：D．
11．解：∵（x﹣3）（x+2）＝0．
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
故答案为：x＝3或x＝﹣2．
12．解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，
∴1﹣a﹣b＝0．
∴a+b＝1．
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
故答案是：1．
13．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣8，
∴+2x1x2+＝2x1x2+＝2×（﹣8）+
＝﹣16+＝﹣，
故答案为：﹣．
14．解：设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为x，可列方程为
100（1+x）+100（1+x）2＝260．
故答案是：100（1+x）+100（1+x）2＝260．
15．解：（1）∵（2x+1）2＝64，
∴2x+1＝±8，
解得，x1＝3.5，x2＝﹣4.5；
（2）∵8x3+27＝0，
∴8x3＝﹣27，
∴x3＝﹣，
∴x＝﹣．
16．解：x2﹣4x+1＝0
x2﹣4x+4＝3
（x﹣2）2＝3
x﹣2＝
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
17．解：（1）2x2+3x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17，
x＝，
x1＝，x2＝；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝是原方程的解，
所以原方程的解为：x＝．
18．解：（1）＝，
方程两边都乘以x﹣2得：x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无解；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x+1）（x﹣5）＝0，
x+1＝0，x﹣5＝0，
x1＝﹣1，x2＝5．
19．解：（1）4（x﹣3）2＝25，
2（x﹣3）＝±5，
所以x1＝，x2＝；
（2）（2x﹣1）（x+4）＝0，
2x﹣1＝0或x+4＝0，
所以x1＝，x2＝﹣4．
20．解：（1）∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣6x+6＝0，
∴x2﹣6x＝﹣6，
则x2﹣6x+9＝﹣6+9，即（x﹣3）2＝3，
则x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（3）整理为一般式，得3x2﹣2x﹣6＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（4）∵3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），
∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（3x+2）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣；
（5）∵（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，
∴（x﹣1﹣1）（x﹣1﹣4）＝0，即（x﹣2）（x﹣5）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
（6）两边都乘以x﹣2，得：2x+2＝x﹣2，
解得x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，x﹣2＝﹣6≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
21．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，
整理，得
16t2﹣9＝27，
所以t2＝．
∵t≥0，
∴t＝．
∴x2+y2的值是．
22．解：（1）Δ＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣2k+1﹣4k+8＝（k﹣3）2
∵（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）∵，
∴x1＝﹣1，x2＝2﹣k．
∵方程有一个根为正数，
∴2﹣k＞0，
k＜2．
23．解：（1）当1﹣m＝0，即m＝1时，
﹣2x+1＝0，解得；
1﹣m≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣m）≥0，即m≥0，且m≠1时，方程有实数根．
综上所述，当m≥0时，方程有实数根．
（2）由根与系数的关系得：，．
又∵，
∴，
即，
化简得：4＝m﹣1，
解得：m＝5，
经检验，m是方程的解，
故m＝5．
24．解：设矩形场地较短边的长为x米，则邻边长为（24﹣2x）米，依题意得
x（24﹣2x）＝54，
整理得x2﹣12x+27＝0，
解得x1＝3，x2＝9（舍去）．
答：矩形场地较短边的长为3米．
25．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
26．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
27．解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），
即2、3这两个月的月平均增长率为25%，
即a的值是25；
（2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，
解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
28．解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，
解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：
（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．
29．解：（1）当P在BC上时
如图：根据题意，得AB＝BC＝CD＝AD＝4
AQ＝t，QB＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，
S△PQD＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣SDPC＝7，
16﹣＝7
整理，得t2﹣2t+1＝0，
解得t1＝t2＝1．
当P在CD上时，此时2＜t≤4
DP＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t
∴S△PQD＝（8﹣2t）×4＝7
∴t＝
答：当t为1秒或秒时，△PQD的面积为7cm2．
（2）①当PD＝DQ时，根据勾股定理，得
16+（4﹣2t）2＝16+t2，
解得t1＝，t2＝4（不符合题意，舍去）．
②当PD＝PQ时，根据勾股定理，得
16+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2+（2t）2，
整理得：t2+8t﹣16＝0
解得t1＝4﹣4，t2＝﹣4﹣4（不符合题意，舍去）．
答：存在这样的t＝秒或（4﹣4）秒，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．
30．解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的，
∵点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动，
∴CP＝BC﹣BP＝（8﹣2x）cm，CQ＝xcm，
∴S△CPQ＝CP?CQ＝（8﹣2x）?x，
∴五边形ABPQD面积＝6×8﹣（8﹣2x）?x，
由题意可得：6×8﹣（8﹣2x）?x＝（8﹣2x）?x×11，
解得：x＝2，
∴2秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的