24.2 解一元二次方程 同步能力提升训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《24.2解一元二次方程》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1
B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5
D．x1＝﹣6，x2＝2
2．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．x1小于﹣1，x2大于3
B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间
D．x1，x2都小于3
3．一元二次方程（x+6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝4，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x﹣6＝﹣4
B．x﹣6＝4
C．x+6＝4
D．x+6＝﹣4
4．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长
B．AD的长
C．BC的长
D．CD的长
5．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．9
6．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A．（x+）2＝
B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝
D．（x﹣）2＝
7．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程
（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1
D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
8．实数x，y满足（x2+y2）?（x2+y2﹣2）＝8，则x2+y2＝（　　）
A．﹣2
B．4
C．4或﹣2
D．﹣4或2
9．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣2或2
D．﹣3或1
10．若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1
B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11
D．（x+n）2＝11
二、填空题
11．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　
　．
12．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x＝13的解为x＝　
　．
13．一元二次方程x2+3﹣2x＝0的解是　
　．
14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为　
　．
15．已知，关于x的方程x2+＝1，那么x++1的值为　
　．
16．已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝　
　．
17．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是　
　．
三、解答题
18．解方程：
（1）2x2+8x﹣1＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
19．解方程：
（1）x2﹣2x＝0
（2）4x2﹣8x+1＝0
（3）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
20．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9＝0．
（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4＝0．
21．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
22．已知Rt△ABC的三边长为a、b、c，且关于x的一元二次方程x2+（b﹣2）x+b﹣3＝0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）若a＝3，求c的值．
参考答案
1．解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，
∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，
∴x1＝0，x2＝5，
即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5．
故选：B．
2．解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2＝15的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±，
∴x2＝1+＞3，x1＝1﹣＜﹣1，
故选：A．
3．解：（x+6）2＝16，
两边直接开平方得：x+6＝±4，
则：x+6＝4，x+6＝﹣4，
故选：D．
4．解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵Δ＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
5．解：根据题意得|x2﹣4x+4|+＝0，
所以|x2﹣4x+4|＝0，＝0，
即（x﹣2）2＝0，2x﹣y﹣3＝0，
所以x＝2，y＝1，
所以x+y＝3．
故选：A．
6．解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
故选：A．
7．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为
y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故选：D．
8．解：设x2+y2＝t（t≥0），则原方程可化为：t（t﹣2）＝8，
即t2﹣2t﹣8＝0，
∴（t﹣4）（t+2）＝0，
∴t﹣4＝0，或t+2＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（不合题意，舍去），
∴t＝4，即x2+y2＝4．
故选：B．
9．解：原方程可变形为x2+（a+1）x＝0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（a+1）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
10．解：∵x2﹣8x+m＝0，
∴x2﹣8x＝﹣m，
∴x2﹣8x+16＝﹣m+16，
∴（x﹣4）2＝﹣m+16，
依题意有n＝4，﹣m+16＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2+8x+m＝5是x2+8x+5＝0，
∴x2+8x+16＝﹣5+16，
∴（x+4）2＝11，
即（x+n）2＝11．
故选：D．
11．解：由题意两根不相等，
∵x2＝，
∴x＝±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是2与﹣2，
∴＝2，
∴＝4．
故答案为：4．
12．解：其规则为：a☆b＝a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x＝13解的步骤为：
（42﹣32）☆x＝13，
7☆x＝13，
49﹣x2＝13，
x2＝36，
∴x＝±6．
13．解：x2+3﹣2x＝0
（x﹣）2＝0
∴x1＝x2＝．
故答案为：x1＝x2＝．
14．解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
15．解：原方程可化为（x+）2﹣2+2（x+）＝1，即（x+）2+2（x+）﹣3＝0，
即（x++3）（x+﹣1）＝0，
∴x+＝﹣3，或x+＝1，
当x+＝1时，则x2﹣x+1＝0，
∴△＝1﹣4＝﹣3＜0，
则x+＝1不成立，
∴x++1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．解：设y＝x2+3x，则y2+2y﹣3＝0，
整理，得（y+3）（y﹣1）＝0．
所以y+3＝0或y﹣1＝0．
解得y＝﹣3或y＝1．
当y＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，x2+3x＝1．
故答案是：1．
17．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0，解得k≠1且△≥0，即4k2﹣4（k﹣1）（k+3）≥0，解得k≤，
∴k的取值范围是为k≤且k≠1．
故答案为k≤且k≠1．
18．解：（1）2x2+8x﹣1＝0，
方程整理得：x2+4x＝，
配方得：x2+4x+4＝，即（x+2）2＝，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5
解得：x1＝，x2＝2．
19．解：（1）∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x＝0或x＝2；
（2）∵a＝4、b＝﹣8、c＝1，
∴△＝64﹣4×4×1＝48＞0，
则x＝＝；
（3）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，
∵（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
则x＝6或x＝﹣1．
20．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3＝0，
移项，得x2﹣4x＝﹣3，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
x﹣2＝±1，
x1＝3，x2＝1；
（2）∵a＝3，b＝﹣9，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4a
c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根为x＝，
x1＝，x2＝．
21．解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
则x1＝＝，
x2＝1；
（2）由（1）知，x1＝＝1+，
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
22．解：（1）∵方程有两个相等的实数根
∴（b﹣2）2﹣4×（b﹣3）＝0
∴b＝4；
（2）当c为斜边时，c＝＝5；
当b为斜边时，c＝＝，
即c的值为5或．