第24章 一元二次方程 知识点分类训练 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含解析）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》知识点分类训练（附答案）
一．一元二次方程的定义
1．关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1
B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1
D．无解
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1）
B．
C．ax2+bx+c＝0
D．x2+2x＝x2﹣1
3．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　
　．
二．一元二次方程的一般形式
4．一元二次方程3x2+2x﹣5＝0的一次项系数是　
　．
三．一元二次方程的解
5．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0
B．1
C．﹣3
D．﹣1
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝　
　．
7．一元二次方程x2﹣2x﹣＝0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x+＝0的根，求k的值．
四．解一元二次方程-直接开平方法
8．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1
B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5
D．x1＝﹣6，x2＝2
9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　
　．
10．解一元二次方程：（x﹣1）2＝4．
五．解一元二次方程-配方法
11．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21
B．﹣4，11
C．4，21
D．﹣8，69
12．用配方法解方程：2x2+1＝3x．
六．解一元二次方程-公式法
13．已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜﹣1
B．﹣3＜x1＜﹣2
C．2＜x1＜3
D．﹣1＜x1＜0
14．方程x2﹣5x+3＝0的解是　
　．
15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
七．解一元二次方程-因式分解法
16．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16
B．12
C．14
D．12或16
17．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为　
　．
18．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　
　）（x+　
　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
八．换元法解一元二次方程
19．用换元法解方程2x2+3x﹣5+3＝0时，若设a＝，则原方程可变形为　
　．
九．根的判别式
20．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
21．若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是　
　．
22．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝3x1x2，求实数p的值．
十．根与系数的关系
23．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
24．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝　
　．
25．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
26．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
27．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
28．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（　　）
A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
29．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　
　．
十二．一元二次方程的应用
30．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
31．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为　
　．
32．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：根据题意得m2+1＝2
∴m＝±1
又m＝﹣1不符合题意
∴m＝1
把m＝1代入原方程得2x2+4x+2＝0
解得x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
2．解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
3．解：根据题意，
可得一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；
则其和为2+4﹣1＝5；
故答案为5．
二．一元二次方程的一般形式
4．解：一元二次方程3x2+2x﹣5＝0的一次项系数是：2．
故答案为：2．
三．一元二次方程的解
5．解：根据题意，得
（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，
解得m＝1；
解法二：对方程变形得：x（x﹣4）+m＝0，再代入x＝2+√3，得到：（+2）（﹣2）+m＝0，
即m﹣1＝0，m＝1
故选：B．
6．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，
∴4+2m+2n＝0，
∴n+m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
7．解：x2﹣2x﹣＝0，
移项得：x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝，x2＝﹣，
△＝（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，
①根据题意把x＝代入x2﹣（k+2）x+＝0得：（）2﹣（k+2）+＝0，
解得：k＝；
②把x＝﹣代入x2﹣（k+2）x+＝0得：（﹣）2+（k+2）+＝0，
解得：k＝﹣7，
综上所述，k的值为﹣7或．
四．解一元二次方程-直接开平方法
8．解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，
∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，
∴x1＝0，x2＝5，
即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x1＝0，x2＝5．
故选：B．
9．解：由题意两根不相等，
∵x2＝，
∴x＝±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是2与﹣2，
∴＝2，
∴＝4．
故答案为：4．
10．解：（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x＝3或x＝﹣1．
五．解一元二次方程-配方法
11．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
12．解：移项，得2x2﹣3x＝﹣1，
二次项系数化为1，得，
配方，
，
由此可得，
∴x1＝1，．
六．解一元二次方程-公式法
13．解：x2﹣x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
x＝，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
14．解：根据求根公式可知：x＝＝．
15．解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
则x1＝＝，
x2＝1；
（2）由（1）知，x1＝＝1+，
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
七．解一元二次方程-因式分解法
16．解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
17．解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
18．解：（1）x2+6x+8＝x2+（2+4）x+2×4＝（x+2）（x+4），
故答案为：2，4；
（2）∵x2﹣3x﹣4＝0，
x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
则x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝﹣1或x＝4．
八．换元法解一元二次方程
19．解：设a＝，则原方程可转换为，
2x2+3x+9﹣5﹣6＝0，
a2﹣5a﹣6＝0
故答案为：a2﹣5a﹣6＝0．
九．根的判别式
20．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
21．解：∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
22．证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，
x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，
∵x12+x22＝3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5（6﹣p2），
∴p＝±1．
十．根与系数的关系
23．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
24．解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝．x1x2＝﹣，
∴x12+x22＝，
故答案为：
25．解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）＝3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p＝3p2+1，
∴3p＝﹣6，
∴p＝﹣2．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
26．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
27．解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
28．解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选：B．
29．解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
十二．一元二次方程的应用
30．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
31．解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．
故答案是：20%．
32．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．