2.2基本不等式 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
2.2基本不等式
人教版A（2019）版
必修一
1、作差法比较数（式）大小
2、等式的性质
3、不等式的性质
理论依据
步骤：作差，变形，判断符号，
得出结论
性质１
如果a＝b，
那么b＝a；
性质２
如果a＝b，b＝c，
那么a＝c；
性质３
如果a＝b，
那么a±c＝b±c；
性质４
如果a＝b，
那么ac＝bc；
性质５
如果a＝b，c≠０，
那么
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
新知导入
复习巩固
新知导入
A
D
C
B
H
F
G
E
当E、F、G、H四点重合时，此时四个三角形变成了四个全等的等腰直角三角形，a=b此时，a2+b2=2ab
一般地，对于任意实数
，我们有
当且仅当
时等号成立
新知导入
我们给出理论证明:
证明：
当且仅当
时
此时等号成立，即
新知讲解
基本不等式
由前面的证明，我们得到一个重要的不等式：
如果当
用
去替换
中的
,能得到什么结论呢?
此时，注意a,b的取值范围：
合作探究
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设
AC
=
a
,
BC
=
b
。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
因此，
≤
由相交弦定理：CD2=ab，CD=
，又因为CD≤
（半径）
合作探究
定理：如果
是正数，那么
（当且仅当
时取“=”）
算术平均数
几何平均数
基本不等式
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于
他们的几何平均数
1.重要不等式
2.基本不等式
注意：基本不等式应用的三要素：
一正二定三相等
一正：看是否均为正数
二定：和或积是否为定值，
1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；
2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．
三相等：看等号是否能取到
合作探究
合作探究
积为定值，和有最小值
如何应用呢？
合作探究
例２.
已知x，y都是正数，求证：
（１）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
；
（２）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
证明：因为x，y都是正数，所以
（１）当积xy等于定值P时，
所以
积为定值，和有最小值
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值
所以
和为定值，积取最大
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值
合作探究
（２）当和x＋y等于定值S时，
合作探究
例３
（１）用篱笆围一个面积为１００ｍ２的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xｍ，yｍ，篱笆的长度为２（x＋y）ｍ．
（１）由已知得xy＝100，由
可得
所以
当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10ｍ的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为４０ｍ．
合作探究
（２）由已知得２（x＋y）＝３６，矩形菜园的面积为xyｍ２．
由
得
xy≤81
当且仅当x＝y＝９时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为９ｍ的正方形时，
菜园的面积最大，最大面积是81ｍ２
合作探究
例４
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ３，深为３ｍ．如
果池底每平方米的造价为１５０元，
池壁每平方米的造价为１２０元，那么
怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xｍ，yｍ，水池的总造价为z元．根
据题意，有
当x＝y＝４０时，上式等号成立，此时z＝297600
所以，将贮水池的池底设计成边长为40ｍ的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元
合作探究
合作探究
错在哪里呢？
合作探究
上述解法中，连用了两次基本不等式，其等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后一个等号成立的条件是b＝9a，若等号同时成立，则a＝b＝0，这与题设相矛盾．
合作探究
原来是这样！！
课堂练习
(1)已知xy＝3，且x>0，y>0，求2x＋5y的最小值；
(2)若2x＋y＝3，且x，y都是正数，求
的最小值．
练习一、根据条件求最值
课堂练习
练习一、根据条件求最值
(1)已知xy＝3，且x>0，y>0，求2x＋5y的最小值；
(2)若2x＋y＝3，且x，y都是正数，求
的最小值．
【解】
课堂练习
1.已知直角三角形的面积等于50
cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
练习二、利用基本不等式解决现实中的最值问题
解：设直角三角形两边为a，b
，
则由已知得
＝50，即ab＝100，
∵
，当且仅当a＝b＝10时取等号．
当两条直角边的长度各为10
cm时，两条直角边的和最小，最小值为20．
课堂练习
练习二、利用基本不等式解决现实中的最值问题
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂总结
这堂课我们学到了什么呢？
≥
≤
a=b
a=b
2．应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定
值时，其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二定、三相等”．也就是说，
(1)各项或各因式均为正值．
(2)和或积为定值．
(3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
课堂总结
应用条件
基本含义
“=”成立条件
a,b∈R
a>0,b>0
a=b
a=b
两数的平方和不小于
它们积的2倍
两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数
板书设计
重要不等式
基本不等式
一般地，对于任意实数
，我们有
当且仅当
时等号成立
基本不等式成立的要素：一正二定三相等
作业布置
课本P48练习题，2、4
课本P48习题1、3，综合训练4、5、6
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