第七单元 数学广角——植树问题
《植树问题》是人教版新课程标准五年级上册“数学广角”的内容，这一单元主要内容就是植树问题，植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树的要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。这样就把植树问题分成了三种情况，即：（1）植树的棵数=间隔数+1；(2)植树的棵数=间隔数；（3）植树的棵数=间隔数-1。
在这节课我们学习的是第一种情况，在教学中，我不但注重了学生动手操作能力的培养，同时也让学生感受到了数学来源于生活，也应用于生活的道理。比如：用排队人数与间隔数的关系抽象出植树问题中棵数与间隔之间的关系，既有趣味性又贴近学生的生活。教材在编写时，都是给出路的长度，求间隔或棵数，但在练习时，很多题都是间隔和棵数，求路的长度。避免上节课出现问题的同时我还针对上节课出现的问题对学生提出质疑，让生生互评或师生互评，重点表扬大部分学得好的同学使每一个学生获得参与的机会、培养学生探究精神体验成功的感觉，增强学生的自信心和荣誉感，使他们更加热爱数学。
本节课的主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。因此在设计这节课时，我主要是运用这样的教学理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解决问题的方法。整节课我的反思如下：
成功之处：
一、通过课前活动,以春季植树为素材,从让学生初步认识间隔,感知间隔数与棵树的关系。
二、以一道植树问题为载体，营造突破全课教学重点及难点的高潮。
三、以生活中植树问题的应用为研究对象，引导学生了解植树问题的实质。
四、多角度的应用练习巩固，拓展学生对植树问题的认识。
反思整个教学过程，发现单纯的用规律去解决实际生活中的植树问题，对学生有些难，所以我在课堂中重视规律更强调方法，注重学生获取知识过程的体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。教学中，我创设了情境，向学生提供多次体验的机会，为学生创设了一种民主、宽松、和谐的学习氛围，给了学生充分的时间与空间。如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么借助图形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。
因此，在教学过程中，我注重了对数形结合意识的渗透。直接例题导入，引导学生可以画图模拟实际栽树，通过线段图的演示，让学生充分理解“间隔数”与“植树棵树”之间的关系，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生自主选择短距离的路用画图的方式得出结果。这样把学习的主动权交给学生，发展了学生的潜能，培养了学生的实践能力和创新意识。
不足之处：
其一，上课前课件准备不充分，那就是我把学生估计过高，我以为只要学生弄懂了棵数和段数之间的关系之后，解决植树问题就应该没多大的问题了，但事实出乎我的预料，因为有一部分学生知道了全长和间距不会求段数，我以为这是学生早已经学过的而且经常用到的，所以没特别的引导，导致了学生无法下手。
其二，在时间的分配上我前松后紧，在规律的寻找和简单应用中花费的时间有点长，以致后面的练习很仓促。
其三，条理不够清晰，简直成了教师在唱独角戏，学生参与面不广，没有很好地完成教学任务。
改进措施：
在今后的教学中我还要全面、深入的了解学生，充分做好多个方面的准备。
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人教版数学五年级上册
第7单元
数学广角——植树问题
情景导入
01
为什么要在公路两旁植树呢？
树木能够涵养水分、减少水分的流失，还能净化空气，因此植树造林有助于环境的改善。
探究新知
02
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？
在一条线段上两端都植树的问题
解题设想
100m
5m
求100m里有多少个5m？
100÷5＝20(棵)
对不对？
实例一
以20m为例验证。
根据解题设想，20÷5＝4(棵)
20m
5m
有4个间隔，能栽5棵树。
解题设想不成立，4是间隔数。
实例二
以25m为例验证。
根据解题设想，25÷5＝5(棵)
25m
5m
有5个间隔，能栽6棵树。
解题设想不成立，5是间隔数。
一条线段的两端都植树时，棵树＝间隔数＋1。
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？
100÷5＝20
20＋1＝21(棵)
答：一共要栽21棵树。
不画图，你知道30m、35m要栽几棵树吗？
30÷5＝6
6＋1＝7(棵)
35÷5＝7
7＋1＝8(棵)
5m
有6个间隔，能栽7棵树。
5m
有7个间隔，能栽8棵树。
大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽) ，相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵数？
在一条线段上两端都不植树的问题
两端都植树和两端都不植树的区别
两端都植树：
两端都不植树：
两端都不植树时，棵树与间隔数之间的关系：
有3个间隔，能栽2棵树。
有4个间隔，能栽3棵树。
有8个间隔，能栽7棵树。
一条线段的两端都不植树时，棵树＝间隔数－1。
大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽) ，相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵数？
60÷3＝20
20－1＝19(棵)
答：一共要栽38棵树。
19×2＝38(棵)
2km＝2000m
答：一共要安装82盏路灯。
在一条全长2km的街道两旁安装路灯(两端也要安装)，每隔50m安装一盏。一共要安装多少盏路灯？
1.
(教科书第107页做一做第1题)
(2000÷50＋1)×2＝82(盏)
答：一共要栽7棵。
小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树(一端栽，一端不栽)。一共要栽多少棵？
2.
(教科书第107页做一做第2题)
35÷5＝7(棵)
做完后，可以画线段图验证一下。
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？
在一条首尾相连的封闭曲线上植树的问题
实例
以周长为40m的圆为例。
10m
10m
10m
10m
如果把圆拉直成线段，
你能发现什么？
在一条首尾相接的封闭曲线上植树时，棵树＝间隔数。
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？
120÷10＝12(棵)
答：一共要栽12棵树。
答：一共需要装10盏灯。
圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这一圈每隔15m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
(教科书第108页做一做)
150÷15＝10(盏)
学以致用
03
答：一共要架设16根电线杆。
工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200m。在总长3000m的笔直路上，一共要架设多少根电线杆(两端都架设)？
1.
(教科书第109页练习二十四第3题)
3000÷200＋1＝16(根)
答：一共要放7盆植物。
一条走廊长32m，每隔4m摆放一盆植物(两端不放)。一共要放多少盆植物？
2.
(教科书第109页练习二十四第6题)
32÷4－1＝7(盆)
(60＋40)×2÷5＝40(棵)
小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5m。一共要栽多少棵树？
3.
(教科书第111页练习二十四第13题)
答：一共要栽40棵树。
19×4－4＝72(枚)
围棋盘的最外层每边能放19枚棋子。最外层一共可以摆放多少棋子？
4.
(教科书第111页练习二十四第14题)
答：一共可以摆72枚棋子。
最外层学生数：(15－1)×4＝56(名)
为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成正方形的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
5.
(教科书第111页练习二十
四第15题)
学生总数：15×15＝225(名)
课堂小结
04
在一条线段上植树(两端都植树)问题的规律：
总距离÷株距＝间隔数，棵树＝间隔数＋1。
1.
在一条线段上植树(两端都不植树)问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵树＝间隔数－1。
2.
在一条首尾相接的封闭曲线上植树问题的规律：棵树＝间隔数＝总距离÷株距。
3.
练习课
第7单元
数学广角——植树问题
答：一共要栽24棵银杏树。
马路一边栽了25棵梧桐树，如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵银杏树？
1.
(教科书第109页练习二十四第1题)
25－1＝24(棵)
答：一共设有13个车站。
5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？
2.
(教科书第109页练习二十四第2题)
12÷1＋1＝13(个)
答：从第一棵到最后一棵的距离是210米。
园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？
3.
(教科书第109页练习二十四第4题)
6×(36－1)＝210(m)
答：敲完需要22秒。
广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，敲完需要多长时间？
4.
(教科书第109页练习二十四第5题)
8÷(5－1)×(12－1)＝22(秒)
答：全程一共有14处这样的服务点。
马拉松比赛全程约42km。平均每3km设置一处饮水服务点(起点不设，终点设)，全程一共有多少处这样的服务点？
5.
(教科书第110页练习二十四第7题)
42÷3＝14(处)
答：锯完一共要花32分钟。
一根木头长10m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟。锯完一共要花多少分钟？
6.
(教科书第110页练习二十四第8题)
(5－1)×8＝32(分钟)
100÷(26－1)＝4(m)
笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2m。现在要改为只插26面小旗(两端的旗子不动)，间隔应改为多少米？
7.
(教科书第110页练习二十四第9题)
(51－1)×2＝100(m)
答：间隔应改为4米。
解下列方程。
8.
(教科书第110页练习二十四第10题)
16＋x＝71
解：x＝71－16
3(2x－4)＝9
解：2x－4＝9÷3
x＝55
2x＝3＋4
x＝7÷2
x＝3.5
1.4x＋9.2x＝53
解：10.6x＝53
x＝53÷10.6
x＝5
18＋7x＝39
解：7x＝39－18
12.3x－7.5x＝57.6
解：4.8x＝57.6
x＝21÷7
x＝57.6÷4.8
x＝12
(3x－7)÷5＝16
解：3x－7＝16×5
3x＝80＋7
x＝87÷3
x＝3
x＝29
(38－2)÷4＝9(张)
一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
9.
(教科书第110页练习二十四第11题)
4×10＋2＝42(人)
答：10张桌子并成一排可以坐42人。如果一共有38人，需要并9张桌子才能坐下。
60÷5＝12(颗)
一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？
10.
(教科书第111页练习二十四第12题)
答：这条项链上共有12颗水晶。第七单元 数学广角--植树问题
教学内容：
教材P106～111及练习二十四。
教学目标:
知识与技能：通过学生熟悉的生活情境，学生会用线段图来表示植树问题中的三种植树情况，培养学生分析问题的能力m
过程与方法：学生能够初步建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题进行分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系来解决问题。
情感、态度与价值观：培养学生认真审题的良好学习习惯。
重点难点：
重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。
难点：理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数，间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。
教学方法：自主探索、合作交流。
教学准备：多媒体。
教学过程：
一、情境导入
1．出示：公路两旁的树。
师：为什么要在公路的两旁栽上树呢？学生自由发言。
教师讲解：树木能够涵养水分减少水分的流失，还能净化空气，因此植树造林有助于环境的改善。（渗透植树造林的环保意识。）
2．揭题：今天我们就来研究有关植树的问题。（板书课题：植树问题）
二、互动新授
（一）提出问题--两端都栽、两端不栽。
1．出示教材第106页例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵树（两端都栽）。一共需要多少棵小树？
2．出示教材第107页例2：大象馆和猩猩馆相距60米，绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？
引导：请同学们先在纸上用线段图画一画你的种法．再在小组中交流、讨论。
3．（出示线段图）问题分析：
两端都栽：
两端不栽：
（二）棵数与间隔数之间的关系。（找规律）
提问：刚才同学们用线段图表示了两种植树情况，现在同学们能否用算式来表示这两种植树情况呢？
1．两端都栽：（教学例1）
假设小路长20米，那么可以栽几棵？
用画线段图表示：
则20÷5=4，要栽5棵。
由此可知：lOO÷5=20（个），那么这里的20就是棵数了吗？应该是什么？
学生回答：不是，是间隔数，应该是20+1=21（棵）。
教师板书：关系：间隔数+1=棵数
追问：为什么这里的20是间隔数，而不是棵数？
学生回答，分析原因：100÷5＝20只是求100米里面有多少个5米，所以20是间隔数而不是棵树。并得出公式：路长÷间距＝间隔数（不是棵数，跟棵数没关系。）
2．两端不栽：（教学例2）
假设两馆间相距30米，小树之间的距离为5米，则30÷5＝6（个），6-1=5（棵）
用画线段图表示：
由此可知：60÷3=20(个)，20－1=19(棵)
教师板书：关系：间隔数-1=棵数
3．一端不栽：（教学例3）
出示教材第108页例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘周长是120m，如果每隔lOm栽l棵，一共要栽多少棵树？
假设池塘的周长是60米，每隔10米栽1棵，则60÷10=6（棵）
用画线段表示：
由此可知：120÷1=12（棵）
教师板书：关系：间隔数=棵树
4．问题归类。
提问：刚才我们解决了植树时的问题，其实在日常生活中还有很多地方也有这样类似的情况，谁知道哪里还有这样的情况？
学生说，教师小结。
5．应用知识
⑴完成教材第107页“做一做”第1题。先让学生分组讨论，然后再说一说。
⑵完成教材第107页“做一做”第2题。先把题目的要求读一读，然后同桌互说，再指名学生说一说。
⑶完成教材第108页“做一做”。先让学生分析一下这个问题是不是“植树问题”，再在小组内讨论交流。
三、巩固练习
1．教材第109页练习二十四第3题。
(1)出示第3题。
指名一名学生朗读题目，理解题意。
(2)提问：从题目中你能得到什么信息？这种架设电线杆的问题应该怎么计算？
(3)学生讨论后交流。
(4)组织学生独立列式解答，并相互订正。
2．教材第111页练习二十四第13题。
(1)出示题目。
(2)提问：从题目中你能得到什么信息？这跟前一个练习题有什么不同，你又要如何计算？
(3)学生讨论后交流，指名学生板演，其余学生独立列式解答，然后集体订正。
3．教材第109页练习二十四第6题。组织学生读题并归纳有效信息，讨论这道题属于植树问题的哪种情况，并列式算出答案。
4．教材第111页练习二十四第14*、15*题。
(1)出示题目。引导观察，理解题意。
(2)学生先独立解题，然后小组讨论交流。
(3)教师组织汇报交流。
四、课堂小结
师：这节课你学会了什么？有哪些收获？
五、作业
教材练习二十四剩余题。（课内时间不够，可在课外完成）
【板书设计】：
植树问题
两端都栽 两端不栽 一端不栽
间隔数+1=棵数 间隔数-1=棵数 间隔数=棵树
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