2021-2022学年九年级数学鲁教版上册《1.3反比例函数的应用》同步专题提升训练(word解析版)

2021年鲁教版九年级数学上册《1.3反比例函数的应用》同步专题提升训练（附答案）
一、选择题
1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．函数解析式为I＝
B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω
D．当R＝6Ω时，I＝4A
2．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（　　）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（　　）
A．不大于m3
B．不小于m3
C．不大于m3
D．不小于m3
4．随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（　　）
A．x＜32
B．x≤32
C．x＞32
D．x≥32
5．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（　　）
A．18℃
B．15.5℃
C．13.5℃
D．12℃
6．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC＝AB，则平行四边形ABCD的面积是（　　）
A．7
B．10
C．14
D．28
7．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（　　）
A．5米
B．6米
C．7米
D．8米
8．某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作?ABCD，其中C、D在x轴上，则S?ABCD为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
10．一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为
　
　A．
11．某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是　
　min．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数（k＞0）的图象经过点A（1，2）、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接AB、BC．若三角形ABC的面积为3，则点B的坐标为
　
　．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与坐标轴分别交于C、D（﹣2，0）两点，且满足AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，则点M的横坐标为
　
　．
14．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式＞kx+b的解集；
（3）若点P在y轴上，Q在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且四边形ABPQ恰好是平行四边形，直接写出此时点P的坐标．
15．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
16．为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．
（1）求药物燃烧时y关于x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式是
　
　；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．
17．如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．
18．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
20．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点C．与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P．过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求点P的坐标和k的值；
（2）在反比例函数图象上，是否存在点D，使得以B，C，P，D四点为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，
∴蓄电池的电压是36V．
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
故选：C．
2．解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）分别代入反比例函数解析式得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数解析式是y＝，
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数解析式是y＝kt得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t的成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
3．解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝
∵图象过点（1.5，64）
∴k＝96，
即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥＝．
故选：B．
4．解：设反比例函数的解析式为：y＝（x≥8），
则将（8，80），代入得：y＝，
故当车速度为20千米/时，则20＝，
解得：x＝32，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：x≤32．
故选：B．
5．解：∵点B（12，18）在双曲线y＝上，
∴18＝，
解得：k＝216．
当x＝16时，y＝＝13.5，
所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
6．解：设M的坐标为（0，m）（m＞0），则直线AB的方程为：y＝m，
将y＝m代入y＝﹣中得：x＝﹣，∴A（﹣，m），
将y＝m代入y＝中得：x＝，∴B（，m），
∴DC＝AB＝﹣（﹣）＝，
过B作BN⊥x轴，则有BN＝m，
则平行四边形ABCD的面积S＝DC?BN＝?m＝14．
故选：C．
7．解：∵四边形AOEB是矩形，
∴BE＝OA＝5，AB＝2，
∴B（2，5），
设双曲线BC的解析式为y＝，
∴k＝10，
∴y＝，
∵CD为1
∴当y＝1时，x＝10，
∴DE的长＝10﹣2＝8m，
故选：D．
8．解：∵草坪面积为100m2，
∴x、y存在关系y＝，
∵两边长均不小于5m，
∴x≥5、y≥5，则x≤20，
故选：C．
9．解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB＝﹣（﹣）＝．
则S?ABCD＝×b＝5．
故选：D．
10．解：由题意可得：I＝，
∵当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，
∴U＝30×0.40＝12（V），
∴I＝，
当电阻为50Ω时，
I＝＝0.24（A）．
故答案为：0.24．
11．解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y＝k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y＝k1x+b得k1＝10，b＝30
∴y＝10x+30（0≤x≤7），令y＝50，解得x＝2；
设反比例函数关系式为：y＝，
将（7，100）代入y＝得k＝700，
∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7＝13分钟，
故答案为：13．
12．解：∵函数y＝（x＞0、常数k＞0）的图象经过点A（1，2），
∴把（1，2）代入解析式得到2＝，
∴k＝2，
设B点的横坐标是m，
则AC边上的高是（m﹣1），
∵AC＝2
∴根据三角形的面积公式得到×2?（m﹣1）＝3，
∴m＝4，把m＝4代入y＝，
∴B的纵坐标是，
∴点B的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
13．解：（1）∵点D（﹣2，0）在直线AB上，
∴﹣2+b＝0，
∴b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∵D（﹣2，0），
∴OD＝2，
如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵OC⊥x轴，∴OC∥AE，
∴△COD∽△AED，
∴，
∵CD＝AC，
∴AD＝2CD，
∴＝，
∴AE＝4，DE＝4，
∴OE＝DE﹣OD＝2，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图2，由（1）知，OC＝2，OD＝2，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴CD＝OC＝2，
∵∠CMO＝∠DCO，
∴∠CMO＝×45°＝22.5°，
当点M在x轴负半轴上时，∠DCM＝∠CDO﹣∠CMO＝22.5°＝∠CMO，
∴DM＝CD＝2，
∴OM＝OD+DM＝2+2，
∴点M的横坐标为﹣（2+2）；
当点M在x轴坐标轴上时，∠CM'O＝22.5°＝∠CMO，
∵OC⊥x轴，∴OM'＝OM＝2+2，
点M的横坐标为（2+2）；
即点M的横坐标为±（2+2），
故答案为±（2+2）．
14．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣．
（2）由，
解得或﹣，
∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，﹣），
结合图象可知：不等式＞kx+b的解集为0＜x＜9；
（3）如图2，设点P的坐标为（0，n），
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴PQ＝AB，PQ∥AB，
∵点B向左平移5个单位，再向上平移n个单位到点P，
∴点A也向左平移5个单位，再向上平移n个单位到点Q，
∵A（9，3），
∴Q（9﹣5，3+n），
即Q（4，3+n），
∵点Q在双曲线y＝上，
∴4（3+n）＝27，
∴n＝，
∴P．
15．解：（1）把B（12，20）代入y＝中得：
k＝12×20＝240；
（2）如图，
设AD的解析式为：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：
，
解得：，
∴AD的解析式为：y＝5x+10，
当y＝15时，15＝5x+10，x＝1．
15＝，
解得：x＝16，
16﹣1＝15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时．
16．解：（1）药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，所以设y关于x的函数关系式是y＝k1x（k≠0），
将点（8，6）代入，得：k1＝，
即y＝x，
自变量
x
的取值范围是0≤x≤8．
（2）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，把（8，6）代入得：
k＝48，故y关于x的函数关系式是：y＝；
故答案为：y＝；
（3）当y＝1.6时，代入y＝得：x＝30（分钟），
那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室．
17．解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC＝＝，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣，
∴x＝，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（，﹣3），
∴S△ODB＝OD?xB＝×2×＝，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODE＝2×＝，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣，
∴OC＝，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP＝OC?yP＝×n＝，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点P在双曲线上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；
（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥．
18．解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：
45＝，解得k＝900，
∴反比例函数的解析式为y＝，
当x＝45时，y＝＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），即A对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得，
∴AB的解析式为y＝x+20，
当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，
由（1）得反比例函数的解析式为y＝，
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25﹣＝＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
19．（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
20．解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（﹣4，0），C（0，1），
又∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中点，
即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，
∴P的坐标是（4，2），
将P（4，2）代入y＝得，k＝4×2＝8，
（2）存在，理由：由（1）知，OB＝4，
∴B（4，0），
由（1）知，C（0，1），P（4，2），
∴BP＝2，BC＝＝，CP＝＝，
∴BC＝CP≠BP，
∵以B，C，P，D四点为顶点的四边形是菱形，
∴BC与CP是两邻边，即BP与CD为对角线，
∴BP与CD互相垂直平分，
∵BP⊥x轴，
∴D（8，1）．
21．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为y＝﹣x+1；
将点C的坐标代入上式得：n＝﹣3+1＝﹣，故点C的坐标为（3，﹣），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：m＝3×（﹣）＝﹣，
故反比例函数表达式为y＝﹣；
（2）设点E的坐标为（t，﹣），则点F（t，﹣t+1），
当∠FDE为直角时，如下图，
过点D作DH⊥EF于点H，
∵△DEF为等腰直角三角形，故DH＝HE＝HF＝EF，
即t＝（﹣t+1+），解得t＝﹣（舍去）或1；
当∠FDE（∠FD′E）为直角时，
同理可得，D′F＝EF，即t＝﹣t+1+，
解得t＝（舍去负值）；
当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同；
综上，t＝1或．
22．解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝＝5．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（4，8）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）.
（2）将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝的图象D′点处，过点D′做x轴的垂线，垂足为F′，如图2所示．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，解得：x＝，
∴点D′坐标为（，3），
∴DD′＝﹣4＝．
又∵OD扫过图形为平行四边形，
∴平行四边形面积＝×3＝20．
（3）存在．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图3所示．
∵OB＝OD＝5，
∴点B的坐标为（0，5），
∴点B′的坐标为（0，﹣5）．
设直线AB′的关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，8），B′（0，﹣5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB′的关系式为y＝x﹣5．
当y＝0时，x﹣5＝0，
解得：x＝，
∴PA+PB最小时，点P的坐标为（，0）．