2.4 解直角三角形 同步培优提升专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版 含解析）

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步培优提升专题训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（　　）
A．
B．
C．2
D．
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ACB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．无法求得
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为（　　）
A．
B．12
C．
D．
9．如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是（　　）
A．
B．12
C．14
D．21
10．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值（　　）
A．
B．2
C．
D．
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．1
二、非选择题
12．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值　
　．
13．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
14．如图，在△ABC中，BC＝6，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
15．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
16．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
17．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．
（1）求CF的长；
（2）求∠D的正切值．
18．如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D、E分别在AB、AC上，DE⊥AC，垂足为点E，DE＝2，DB＝9．
求：（1）BC的长．（2）tan∠CDE．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BC＝12，AD＝6，tanC＝．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）过点B作BE⊥BC，若BE＝10，求AE的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cosA＝．
（1）求△BCD的周长；
（2）求sin∠DBE的值．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
参考答案
1．解：作PA⊥x轴于A，如右图．
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，
∴sinα＝．
故选：D．
2．解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠CDE＝∠BDE＝45°，
∴∠CDB＝90°．
∵AD＝，AB＝，
∴在Rt△ADB中，cos∠CAB＝．
故选：B．
3．解：过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BH，
∴BH＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
4．解：作AD⊥BC于点D，
由每个小正方形边长为1，
故AC＝BC＝＝，
由三角形等面积法可得：
＝，
即2×3＝，
∴AD＝＝，
∴sin∠ACB＝＝＝．
故选：B．
5．解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF?BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
6．解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝BE＝5，AB＝10，
∴∠BCE＝∠EBC，
∵AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD＝＝＝，
∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．
故选：B．
7．解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
故选：A．
8．解：作AD⊥BC于点D．
∵∠B＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣120°＝60°，
在直角△ABD中，AD＝AB?sin60°＝6×＝3，
在△ABC的面积是：BC?AD＝×8×3＝12．
故选：A．
9．解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，
∴cosB＝＝，
∴∠B＝45°，
∵sinC＝＝＝，
∴AD＝3，
∴CD＝＝4，
∴BD＝3，
则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝．
故选：A．
10．解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t﹣2．
∵cosA＝，
∴．
∴＝．
∴t＝5．
∴AE＝5﹣2＝3．
∴DE＝＝4．
∴tan∠DBE＝＝＝2．
故选：B．
11．解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，
在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝6，解得x＝，
∴AD＝×＝2．
故选：A．
12．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，
∴AE＝，
∴tan∠CAD＝＝，
故答案为．
13．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝ADtan∠BAD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝5，
∴AC＝＝13，
∴sinC＝＝．
14．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，sinB＝sin30°＝＝．
∴CD＝×6＝3，
BD＝＝＝3
在Rt△ACD中，
tanA＝＝，
∴AD＝＝4．
AC＝
＝
＝5
∴AB＝AD+BD
＝4+3．
15．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
16．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．
17．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∴△ABC∽△FAC，
∴＝，即＝，
解得CF＝；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
则CH＝＝，
∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，
∴tanD＝tan∠ECH＝＝．
18．解：（1）在Rt△DEA中，
∵DE＝2，sinA＝，
∴AD＝＝＝3，
∵DB＝9，
∴AB＝BD+AD＝12，
在Rt△ABC中，AB＝12，sinA＝，
∴BC＝AB?sinA＝12×＝8；
（2）∵在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝8，
∴AC＝＝4，
∵在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3，
∴AE＝＝，
∴CE＝AC﹣AE＝3，
∴tan∠CDE＝＝．
19．解：（1）∵tanC＝＝＝，
∴CD＝4，BD＝BC﹣CD＝12﹣4＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sin∠ABD＝＝＝．
（2）过点A作AF⊥BE于点F，如图．
∵∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°，
∴四边形FBDA为矩形，AF∥BD，AF＝BD＝8，BF＝AD＝6，
∴EF＝BE﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△AEF中，AE＝＝＝．
20．解：（1）∵AC＝15，cosA＝，
∴cosA＝＝，
∴AB＝25，
∴BC＝＝＝20，
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD＝，
∴△BCD的周长＝25+20＝45；
（2）∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，
∴cos∠ABC＝＝，
∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠ABC，
∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴cos∠DCB＝，
即＝，
∴CE＝16，
∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，
∴sin∠DBE＝＝＝．
21．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．