2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.5三角函数的应用 同步优生辅导训(word解析版)

2021年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共15小题）
1．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（点A、点D、点B在同一条直线上），若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．mcosα
2．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（　　）
（sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45＝1）
A．15m
B．30m
C．35m
D．40m
3．如图，兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC＝50米，∠PCA＝α，根据上述测量数据可计算小河宽度PA为（　　）
A．
米
B．50sinα米
C．
米
D．50tanα米
4．人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为（　　）
A．140sin20°cm
B．140cos20°cm
C．140sin40°cm
D．140cos40°cm
5．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
6．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
7．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（　　）
A．10米
B．24米
C．25米
D．26米
8．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（　　）
A．100米
B．110米
C．120米
D．130米
9．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，则AB的长度为（　　）
A．2m
B．4m
C．4m
D．6m
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（　　）（用含α的代数式表示）
A．2sinα
B．2tanα
C．2cosα
D．
11．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅翱翔．如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离BC＝1米，台阶底端C与顶端D的连线可视作坡度为1：0.75的斜坡，且CD＝40米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为50°，则雕塑“翔”的高度AB约为（　　）米．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
A．2.21
B．2.20
C．2.25
D．2.31
12．某次暴雨来袭时，需要测量公路AB遇到塌方，运输车辆只能沿从坡度比为i＝1：2.4斜坡AE将货物运输到山顶C处，运输车辆到达E处，测得仰角为36°，AE＝260米，CE＝110米，则山CD的高度为（　　）．（参考数据：sin36°≈0.6，cos36°≈0.8）
A．137
B．188
C．176
D．166
13．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　）
A．（480+300）米
B．（960+300）米
C．780米
D．1260米
14．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
15．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
二．填空题（共8小题）
16．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角∠B＝60°，梯子与墙角的距离BC为3m，则梯子的长AB为　
　m．
17．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了　
　米．
18．已知某斜坡的坡度i＝1：3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为　
　米．
19．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为　
　米．
20．如图，在一次数学课外实践活动中，小亮在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1.5m，则旗杆高BC为　
　m（结果保留根号）．
21．如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为　
　米．
22．如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度　
　m．
23．高新一中初中校区九年级（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为　
　米．（结果保留根号）
三．解答题（共7小题）
24．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．
（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）
25．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800m，求直线l上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
26．5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝500m．求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.32，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
27．如图，某商场门前的台阶高出地面0.8米，即CB＝0.8米，现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡AC，并且设计斜坡的倾斜角∠A为10°．求斜坡AC的长．（结果精确到0.1m）
【参考数据：sin10°＝0.17．cos10°＝0.98，tan10°＝0.18】
28．某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面A点观察点D的仰角为60°，观察点C的仰角为45°，灯管安装处D点与太阳能电池板安装处E点在同一水平线上，已知灯管支架CD长度为1.4米，且∠DCE＝53°，求路灯杆BE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.732）
29．某学习小组，为了测量旗杆AB的高度，他们在大楼MN第10层D点测得旗杆底端B的俯角是32°，又上到第35层，在C点测得旗杆顶端A的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，≈1.73）
30．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
参考答案
一．选择题（共15小题）
1．解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
2．解：设AB＝xm，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，
∴AB＝BD＝xm，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，
∴BC＝＝≈x，
由BC+CD＝BD得x+10＝x，
解得x＝30，
∴AB的长约为30m，
故选：B．
3．解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝α，
∴tanα＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50?tanα（米）．
故选：D．
4．解：∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣70°＝20°，
∴DE＝BD?cos20°＝140cos20°，
故选：B．
5．解：如图，过点D作DE⊥OC于点E，
则点D到OB的距离等于OE的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，
∴∠CDE＝∠BCO＝x，
∴OC＝BC?cosx＝bcosx，
CE＝CD?sinx＝asinx，
∴OE＝OC+CE＝bcosx+asinx．
则点D到OB的距离等于bcosx+asinx．
故选：C．
6．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
7．解：作AB⊥CB于B，
由题意得，AB＝10米，
∵斜坡的坡度i＝1：2.4，
∴＝，即＝，
解得，BC＝24，
由勾股定理得，AC＝＝＝26（米），
故选：D．
8．解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，
∴＝，
则＝，
解得：AC＝120米，
故AB＝＝＝130（米）．
故选：D．
9．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，
∴＝，
则AC＝4（m），
故AB＝＝＝4（m）．
故选：C．
10．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC?tanα＝2tanα，
故选：B．
11．解：过A作AF⊥DE于F，如图所示：
则四边形ABEF为矩形，
∴AB＝EF，AF＝BE，
∵台阶底端C与顶端D的连线可视作坡度为1：0.75的斜坡，
∴设DE＝4x米，则CE＝3x米，
由勾股定理得：CD2＝DE2+CE2，即402＝（4x）2+（3x）2，
解得：x＝8，
则CE＝3x＝24（米），DE＝4x＝32（米），
∴BE＝BC+CE＝1+24＝25（米），
∴AF＝25米，
∵在点D看石雕上边缘点A的俯角为50°，
∴∠DAF＝50°，
在Rt△DAF中，tan∠DAF＝，
∴DF＝AF?tan∠DAF≈25×1.19＝29.75（米），
则AB＝FE＝DE﹣DF＝32﹣29.75＝2.25（米）
故选：C．
12．解：过点E作EF⊥CD于F，EH⊥AB于H，如图所示：
则∠CEF＝36°，四边形DHEF为矩形，
∴DF＝EH，
∵坡度比为i＝1：2.4，
∴＝，
∴AH＝2.4EH，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2+EH2，
即2602＝（2.4EH）2+EH2，
解得：EH＝100（米），
∴DF＝100米，
在Rt△CEF中，sin∠CEF＝，
∴sin36°＝，
∴CF＝110×sin36°≈110×0.6＝66（米），
∴CD＝CF+DF＝66米+100米＝166米，
故选：D．
13．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．
已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，
∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BC＝BA＝960（米）．
在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，
∴CE＝BC?sin60°＝960×＝480（米）．
∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，
故选：A．
14．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故选：C．
15．解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．
所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，
点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝3米，
∴AB＝2BC＝6（米）．
故答案为：6．
17．解：设他沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，
解得，x＝50，
即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
18．解：∵斜坡的坡度i＝＝1：3，铅垂高度＝3米
∴水平宽度＝3×铅垂高度＝3×3＝9（米），
故答案为：9．
19．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵BC：AC＝1：0.75，
∴12：AC＝1：0.75，
∴AC＝9（米），
∴AB＝＝＝15（米），
答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．
故答案为：15．
20．解：由题意得，∠BAE＝60°，DC＝AE＝10m，AD＝EC＝1.5m，
在Rt△ABE中，BE＝AE?tan∠BAE＝10×tan60°＝10（m），
∴BC＝BE+EC＝（10+1.5）（m），
故答案为：（10+1.5）．
21．解：连接AD，过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABDH是矩形，
∴AB＝DH＝m米，
在Rt△ADH中，∠DAH＝β，
∴tanβ＝，
∴AH＝，
在Rt△ACH中，∠CAH＝α，
∴CH＝AH?tanα＝?tanα＝（米），
答：两栋教学楼的高度差CH为米．
故答案为：．
22．解：如图，作AE⊥CD于E，则四边形ABCE为矩形，
∴CE＝AB＝1.5m，AE＝BC，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝＝（m），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝m，
又∵CE＝AB＝1.5m，
∴CD＝CE+DE＝1.5+＝（m），
答：建筑物CD的高度为m．
故答案为：．
23．解：由题意可得：AC＝DE＝6米，
则tan60°＝＝＝，
解得：BC＝6（米），
则BE＝（6+1.5）米．
故答案为：（6+1.5）．
三．解答题（共7小题）
24．解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴tanC＝＝1，
∴CD＝AD，
在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，
∴tan∠B＝＝2.05，
∴BD＝BD，
∵BC＝BD+CD＝50米，
∴AD+AD＝50米，
解得：AD≈33.6（米）．
答：河的宽度约为33.6米．
25．解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠D＝45°，
∴CB＝CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，
2CD2＝8002，
CD＝400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
26．解：过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H，
则四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH，BE＝DH，
在Rt△ACE中，∵BC＝600，∠CBE＝22°，
∴CE＝BC?sin22°＝600×0.37＝222（m），BE＝BC?cos22°＝600×0.92＝552（m），
∴DH＝BE＝552m，
∵CD＝500m，
∴BH＝DE＝CD﹣CE＝500﹣222＝278（m），
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝53°，
∴tan53°＝，
∴AH＝≈214（m），
∴AD＝AH+DH＝214+552＝766（m），
答：该数学小组行进的水平距离AD为766m．
27．解：在Rt△ABC中，sinA＝，
∴AC＝＝＝≈4.7（m），
答：斜坡AC的长约为4.7m．
28．解：如图，作DF⊥AB于F，设BE的长度为x米，
在Rt△DEC中，∠DCE＝53°，
∴∠CDE＝90°﹣53°＝37°，
∴CE＝CD?sin37°≈0.84，DE＝CD?cos37°≈1.12，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝BF≈1.12，DF＝BE＝x，
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC≈x﹣0.84，
∴AB＝BC≈x﹣0.84，
∴AF≈x﹣0.84﹣1.12＝x﹣1.96，
在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，AF≈x﹣1.96，DF＝x，
∴DF＝AF?tan60°，
∴x＝（x﹣1.96），
解得：x≈4.6，
答：路灯杆BE的高度约为4.6米．
29．解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA交BA于点F．
由题意知：
∵点D在第10层，点C在第35层，每层楼高为2.8米，
∴MD＝2.8×10＝28（米），CM＝2.8×35＝98（米），
在Rt△DFB中，∠FDB＝32°，BF＝MD＝28，
∴DF＝＝≈≈45.16（米），
在Rt△CEA中，∠ACE＝60°，CE＝DF≈45.16，
∴EA＝CE?tan∠ACE＝45.16×tan60°≈45.16×1.73≈78.13（米），
∵BE＝CM＝98（米）
∴BA＝BE﹣AE≈98﹣78.13＝19.87≈19.9（米），
答：旗杆AB的高度约为19.9米．
30．解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝PQ?tan30°＝9×＝3（米）．
（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．
由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，
设AM＝a米，则BM＝2a米，
∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，
∴四边形AHQM是矩形，
∴AH＝QM＝（3+2a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，
在Rt△APH中，tan∠PAH＝，
∴＝，
解得a＝2，
∴AM＝2（米），BM＝4（米），
∴AB＝＝＝2（米）．