2021—2022学年鲁教版九年级数学上册第1章反比例函数综合 优生辅导专题提升训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年鲁教版九年级数学上册第1章反比例函数综合 优生辅导专题提升训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 810.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-24 20:09:46 | ||
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文档简介
2021年鲁教版九年级数学上册《第1章反比例函数综合》优生辅导专题提升训练（附答案）
1．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
2．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2．若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：
（2）如图3，以?ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝2，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y＝的图象上，求k的值．
3．如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（x＞0）的图象都经过点B（a，6），过点B且平行于x轴的直线交y轴于A，点C在AB的延长线上，CD∥y轴交反比例函数图象于D，连接CO，DO．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若∠ABO＝∠OCD，求四边形OBCD的面积．
4．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x+1交于点A（2，m）．
（1）求k、m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点P（n，0），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝x+1于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C．将函数y＝（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、DC所围成的区域内部（不包括边界）记作图形G．
①当n＝4时，直接写出图形G内的整点坐标；
②若图形G内恰有2个整点，直接写出n的取值范围．
5．如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
6．如图，正方形OABC的边长为4，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线：y＝（x＞0）与BC，AB分别交于点M，N，且BM＝AN．
（1）求k的值．
（2）若点P在双曲线：y＝（x＞0）上正方形OABC内部一动点，
过点P作y轴的垂线，分别交OC、AB于点D、E．过点P作x轴的垂线，分别交OA、BC于点G、F．
①当点P在对角线OB上时．求△BEF的周长；
②随着点P的运动，△BEF的周长是否为定值？请说明理由．
7．如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集；
（3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标．
8．如图在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴正半轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）过点B作BQ⊥x轴交双曲线于点Q，连接AQ，过点A作AP⊥AQ交x轴于点P，连接PQ，求证：△APQ是等腰直角三角形，并求出此时点Q的坐标．（请根据题意自行画图）
9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边BC，AB于D、E两点，连接DE，AC．
（1）当点D是BC的中点时，k＝
，点E的坐标为
；
（2）设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示点E的坐标，
②求证：DE∥AC．
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的坐标是（﹣2，1），B点的坐标是（1，n）．
（1）求出两个函数解析式；
（2）在x轴正半轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出满足的x的取值范围．
11．已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①请求出点F的坐标；
②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值．
12．如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
13．如图，直线y＝x，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，使△PAB与△BAO相似，若存在，请直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（﹣4，0）．
（1）求过点C的反比例函数表达式；
（2）设直线l与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．
15．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
作函数图象
（1）①当反比例y＝（x＞0）的图象与直线y＝﹣x+有唯一交点（2，2）时，周长m的值为
；
②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
解决问题
（2）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为
．
16．如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于M，N两点，P是MN上一个动点（点P不与点M，N重合），过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，垂足为A，B，交反比例函数于点D，点C．
（1）当AP＝3AO时，求点D的坐标；
（2）连接AB，CD，若D是AP的中点，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（3）点P在运动过程中，AB是否具有最小值，若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
17．已知：如图，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点．
（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值；
（3）若点E是双曲线上任意一点，当△ADE是以AE为斜边的直角三角形，且∠DAE＝30°时，求点E的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；
（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图（1）所示，且点A，C在反比例函数y＝的图象上，已知点A的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1．
（1）求k的值．
（2）如图（2），AD交y轴于点E，过点B的直线y＝x+b交CD于点F，连接EF．求证：△DEF的周长为定值．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交CD于点E，OB＝2，AB＝3．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好是DC的中点．
①求直线AE的函数解析式；
②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值？
③若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你判断线段AN与线段ME的大小关系，并说明理由．
21．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值；
（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
参考答案
1．（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，3），
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A（2，3），点C在y＝的图象上，
∴可以设C（m，），则B（2，），D（m，3），
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．
②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OB，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝∠DOH．
2．解：（1）∵四边形ABCE为半对角四边形，
∴∠BCE＝45°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴CD＝DE＝1，
∴AD＝AE+DE＝3．
（2）证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，
∴CE＝ED，
∴∠AEC＝2∠EDC＝2∠B，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABCE是半对角四边形；
（3）由题意，可知：点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，6），点E的坐标为（﹣，3）．
（i）当点A，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，﹣a?6＝（﹣﹣a）?3，
解得：a＝，
∴k＝﹣6a＝﹣6；
（ii）当点B，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，（2﹣a）?6＝（﹣﹣a）?3，
解得：a＝5，
∴k＝3（﹣﹣a）＝﹣18．
综上所述：k的值为为﹣6或﹣18．
3．解：（1）∵正比例函数y＝x和反比例函数y＝（x＞0）的图象都经过点B（a，6），
∴令y＝6，则，
∴x＝4，
∴B（4，6），
∴k＝24，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵CD∥y轴，
∴∠OCD＝∠AOC，
又∠ABO＝∠OCD，
∴∠AOC＝∠ABO，
∵∠OAC＝∠BAO＝90°，
∴△OAC∽△BAO，
∴，
∴AO2＝AB?AC，
∵B的坐标为（4，6），且AB∥x轴，
∴AO＝6，AB＝4，
∴36＝4AC，
∴AC＝9，
∴C（9，6），
∵CD∥y轴，
∴D（9，），
∴，
S四边形OBCD＝S△BOC+S△COD＝＝30．
4．解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝x+1上，
∴m＝×2+1＝2．
∴A（2，2）．
∵点A（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4．
（2）①当n＝4时，点B（4，3），C（4，1）．
∵整点在图形G的内部，
∴2＜x＜4，且x为整数，
∴x＝3．
当x＝3时，y＝x+1＝×3+1＝，
y＝＝．
∴．
∵y为整数，
∴y＝2．
∴图形G内的整点坐标为（3，2）．
②由①知当x＝3时，，此时整点为（3，2）共1个；
当x＝4时，1＜y＜3，此时整点为（4，2），1个；
当x＝5时，，此时整点有（5，1），（5，2），（5，3），3个；
∵图形G恰好有2个整点，
∴4＜n＜5．
当x＝1时，1.5＜y＜4，此时整点为（1，2），（1，3），2个，
∴0＜n＜1．
综上所述，n的取值范围为：4＜n＜5或0＜n＜1．
5．解：（1）
连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，
∵A（2，0），C（2，m），
∴E（2，m），AC∥y轴，
∴BD⊥y轴，
∴点D（0，m），B（4，m），
∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，
∴，
∴，
∴点C（2，2），
∵点C在双曲线y2＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的函数关系式为y2＝；
（2）由（1）知，m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
6．解：（1）∵正方形OABC的边长为4，
∴OA＝OC＝BC＝4，
设点M（m，4），
∴CM＝m，
∴BM＝BC﹣CM＝4﹣m，
∵AN＝BM，
∴AN＝4﹣m，
∴N（4，4﹣m），
∵点M，N都在双曲线：y＝（x＞0）上，
∴k＝4m＝4（4﹣m），
∴m＝2，k＝8；
（2）由（1）知，k＝8，
∴双曲线的解析式为y＝，M（2，4），N（4，2），
∵点P在双曲线：y＝（x＞0）上正方形OABC内部一动点，
∴设P（n，），
①∵正方形OABC的边长为4，
∴B（4，4），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∵点P在对角线OB上，
∴n＝，
∴n＝2或n＝﹣2（舍），
∴P（2，2），
∵PD⊥y轴，PG⊥x轴，
∴E（2，4），F（4，2），
∴BF＝4﹣2，BE＝4﹣2，EF＝BE＝4﹣4，
∴△BEF的周长为4﹣2+4﹣2+4﹣4＝4；
②随着点P的运动，△BEF的周长是定值，为4，
理由：∵PD⊥y轴，PG⊥x轴，
∴F（n，4），E（4，），
∴BF＝4﹣n，BE＝4﹣，
根据勾股定理得，EF＝＝＝＝n+﹣4，
∴△BEF的周长为4﹣n+4﹣+n+﹣4＝4，
即随着点P的运动，△BEF的周长是定值，其值为4．
7．解：（1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），
∴﹣6m+6＝0，得m＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+6；
当x＝0时，y＝6，
∴CO＝6，
∵△AOC的面积为6．
∴，
∴xA＝2，
当x＝2时，y＝x+6＝8，
∴点A坐标（2，8），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；
（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，
设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），
∴EF＝|﹣m﹣6|，
∴|﹣m﹣6|＝6，
当﹣m﹣6＝6时，
解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；
当﹣m﹣6＝﹣6时，
解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；
②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，
设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），
由中点坐标公式得，
解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），
综上．点N坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）．
8．解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM＝AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y＝3x﹣4上，
∴a＝3a﹣4，
解得a＝2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y＝也经过A点，
∴k＝2×2＝4；
（2）在△AOP与△ABQ中，
∵∠OAB﹣∠PAB＝∠PAQ﹣∠PAB，
∴∠OAP＝∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，
，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵点A的坐标为（2，2），△OAB为等腰直角三角形，
则OB＝4，故B（4，0），
故点Q的横坐标为4，
由（1）知，反比例函数表达式为y＝，
当x＝4时，y＝＝1，
故Q（4，1）．
9．解：（1）∵点D是BC的中点，则点D（3，4），
将点D（3，4）代入反比例函数表达式得：4＝，解得k＝12；
故反比例函数的表达式为y＝，
当x＝6时，y＝＝＝2，
故点E的坐标为（6，2），
故答案为：12，（6，2）；
（2）①由题意得，点D的坐标为（m，4），
则k＝4m，
则反比例函数表达式为y＝，
当x＝6时，y＝＝，
即点E的坐标为（6，）；
②由①知，BD＝6﹣m，BE＝4﹣，
∴＝1﹣m，＝1﹣m＝，
∴DE∥AC．
10．解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），
∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（1，n），
∴﹣2＝1×n，
∴n＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，
∴，
解得k＝﹣1，b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）设点P（m，0）（m＞0），
∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
∴AB2＝（﹣2﹣1）2+[1﹣（﹣2）]2＝18，AP2＝（m+2）2+1＝m2+4m+5，BP2＝（m﹣1）2+4＝m2﹣2m+5，
∵△ABP为等腰三角形，
∴①当AP＝AB时，AP2＝AB2，
∴m2+4m+5＝18，
∴m＝﹣2﹣（舍）或m＝﹣2+，
∴P（﹣2+，0），
②当AP＝BP时，AP2＝BP2，
∴m2+4m+5＝m2﹣2m+5，
∴m＝0（舍），
③当AB＝BP时，AB2＝BP2，
∴m2﹣2m+5＝18，
∴m＝1﹣（舍）或m＝1+，
∴P（1+，0），
即满足条件的点P的坐标为（﹣2+，0）或（1+，0）．
（3）∵一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，其图象与x轴交于点C，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∵CA（﹣2，1），
∴0＜kx+b＜的x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1．
11．解：（1）将A（1，3）代入y＝（x＞0）中得，
3＝，
解得：k＝3，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵B（3，n）在反比例函数y＝上，
∴n＝＝1；
（2）①设直线DC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），图象经过点A（1，3）、B（3，1），将其代入得：
，
解得：，
∴直线DC的解析式为：y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4，
令x＝0，则y＝4，
∴OD＝OC＝4，
又∵将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，
∴DE＝4，
即F点的横坐标为4，且在反比例函数的图象上，
∴当x＝4时，y＝，
故F点坐标为（4，）；
②由①可知，B（3，1），F（4，），
∴BF＝＝，OB＝＝，
由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，
情况一：当BF旋转到线段OB上时，如图所示，OF1为线段OF的最小值，
∴OFmin＝OB﹣BF1＝，
情况二：当BF旋转到线段OB的延长线上时，如图所示，OF2为线段OF的最大值，
∴OFmax＝OB+BF2＝，
综上，线段BF绕点B在旋转过程中，线段OF的最大值为，最小值为．
12．解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y＝﹣中得：
m＝＝6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝＝，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF＝，FC＝，
∴，
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：y＝﹣，
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D’（d﹣5，d）且在y＝上，
∴d＝﹣，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
13．解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝x，
∴3＝m，
∴m＝3，
∴点A（3，3），
∵点A（3，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝3×3＝9，
∴y＝；
（2）OA⊥AB，理由如下：
如图，作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F．
∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∵BC∥AO，
∴∠ECB＝∠FOA，
∴△BCE∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴B（，9），
又∵A（3，3），
∴OA2＝36，OB2＝84，AB2＝48，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
（3）如图，①当△APB∽△ABO时，＝，
由（2）知，AB＝4，OA＝6，即
＝，
∴AP＝8，
∵OA＝6，
∴OP＝14，
过点A作AH⊥x轴于H，
∵A（3，3），
∴OH＝3，AH＝3，
在Rt△AOH中，
∴∠AOH＝30°．
过点P作PG⊥x轴于G，
在Rt△APG中，∠POG＝30°，OP＝14，
∴PG＝7，OG＝7
，
∴P（7，7）．
②当△PAB∽△OAB时，＝＝1．
∴AP＝OA，即A是OP的中点，
由（2）知，A（3，3），
∴P（6，6）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（7，7）或（6，6）．
14．（1）解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥y轴，且BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，﹣5）．
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝（﹣4）×（﹣5）＝20，
∴过点C的反比例函数表达式为y＝．
（2）证明：设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将y＝mx+n代入y＝得：mx+n＝，
整理得：mx2+nx﹣20＝0．
∵直线l与反比例函数y＝的图象相切，
∴△＝n2﹣4×m×（﹣20）＝0，
∴n2＝﹣80m．
当x＝0时，y＝m×0+n＝n，
∴点N的坐标为（0，n）；
当y＝0时，mx+n＝0，解得：x＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，0）．
∴S△OMN＝|n|×|﹣|＝||＝40，
∴△OMN的面积为定值．
15．解：图象如下所示：
（1）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，
解得：m＝8，
故答案是：8；
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；
（2）联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，
△＝m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8．
故答案是：m≥8．
16．解：设点P的坐标为（m，﹣m+4），则点A、B的坐标分别为（0，﹣m+4）、（m，0）．
（1）当AP＝3AO时，即m＝3（﹣m+4），
解得m＝3，
故点A的坐标为（0，1），
当y＝1时，即1＝，
解得x＝1，
故点D的坐标为（1，1）；
（2）∵D是AP的中点，故点D的坐标为（m，﹣m+4），
将点D的坐标代入反比例函数表达式并整理得：4﹣m＝，
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
即直线AB表达式中的k值为﹣；
同理可得，直线CD表达式中的k值为﹣，
故直线AB∥CD；
（3）有，理由：
由题意得，四边形OAPB为矩形，
则AB＝OP＝＝＝≥2，
故AB有最小值为2．
17．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝3，
设直线AB的表达式为y＝mx，将点A的坐标代入上式得：3＝m，解得m＝，
故反比例函数和直线AB的表达式分别为y＝和y＝x；
（2）平移后直线的表达式为y＝x﹣n，
连接A、C、D，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵AM∥CN，点C是线段AD中点，
故CN是△AMD的中位线，设点C的坐标为（a，），
则CN＝AM，即＝×3，解得a＝2，
故点C的坐标为（2，），
将点C的坐标代入y＝x﹣n得：＝?2﹣n，
解得n＝；
（3）过点A、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、N，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，则AD：DE＝，
∵∠ADH+∠EDN＝90°，∠EDN+∠DEN＝90°，
∴∠ADH＝∠DEN，
∴Rt△AHD∽Rt△DNE，
∴，
设点D的坐标为（t，0），点E的坐标为（b，），
则AH＝3，DH＝t﹣，DN＝b﹣t，EN＝，
即，
解得b＝3或﹣，
故点E的坐标为（﹣，﹣3）或（3，1）．
18．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥x轴，
∴点D纵坐标和点B纵坐标相同，
设D（x，2），
∵点B（4，2），BD＝2，且点B在点D右边，
∴4﹣x＝，
∴x＝，
∴D（，2），
∴k＝5，
∴所求反比例函数表达式为：y＝；
∵点F在线段AB上，设F（4，y），
将点F坐标代入反比例函数表达式，得y＝，
∴点F的坐标为（4，）；
（2）DF∥AC，理由如下：
∵F（4，），B（4，2），
∴BF＝，
又BC＝4，AB＝2，BD＝，
∴
又∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BCA，
∴∠BDF＝∠BCA．
∴DF∥AC；
（3）存在，M的坐标为（，）或（，，）．理由如下：
①当∠MDN＝90°时，
过点D作y轴平行线，过M、N分别作x轴的平行线，与过点D的y轴平行线交于点G、H，
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴DM＝ND，∠MDN＝90°，
∴∠MDG+∠NDH＝90°，
又∠MDG+∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠NDH，
又∠G＝∠H＝90°，
∴△DMG≌△NDH（AAS），
∴NH＝DG，
∵D（，2），
∴H的横坐标为，
∴NH＝DG＝，
设M（x，y），则点G的纵坐标为y，
DG＝y﹣2＝，
∴y＝，
∴x＝，
∴点M的坐标为（，）；
②当∠DMN＝90°时，
过点M作x轴平行线交y轴于点P，过D分别作y轴的平行线，与过点M的x轴平行线交于点Q，
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴MN＝DM，∠DMN＝90°，
∴∠PMN+∠QMD＝90°，
又∠PMN+∠PNM＝90°，
∴∠PNM＝∠QMD，
又∠MPN＝∠Q＝90°，
∴△MPN≌△DQM（AAS），
∴PM＝QD，
设M（x，y），则点Q的纵坐标为y，
∴PM＝x，QD＝y﹣2，
∴x＝y﹣2，
又y＝，
∴＝x+2，
解得：x＝（舍去负值），
∴y＝，
∴M（，，），
综上M的坐标为（，）或（，，）．
19．（1）解：如图（1），过点B作EF⊥y轴，过点A作AE⊥EF于E，过点C作CF⊥EF于F，
则∠EAB+∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴CF＝BE＝2，AE＝BF，
设点C的坐标为（a，﹣1），则点A的坐标为（﹣2，a﹣3），
∵点A，C在反比例函数y＝的图象上，
∴a×（﹣1）＝﹣2×（a﹣3），
解得，a＝6，
∴k＝6×（﹣1）＝﹣6；
（2）证明：如图（2），延长DC至点H，使CH＝EA，连接BH，
∵直线BF的解析式为y＝x+b，
∴∠EOF＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
在△ABE和△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（SAS），
∴∠CBH＝∠ABE，BF＝BH，
∴∠FBH＝∠CBH+∠CBF＝45°，
∴∠EBF＝∠HBF，
在△EBF和△HBF中，
，
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴EF＝FH＝AE+FC，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DA+DC＝2×＝4．
20．解：（1）∵OB＝2，AB＝3，
∴点A的坐标是（2，3），
把A（2，3）代入y＝得：3＝，
∴k＝6．
（2）∵点E恰好是DC的中点，
∴点E的纵坐标是．
当y＝时，＝，
解得：x＝4，
∴点E的坐标是（4，）．
①设直线AE的解析式是y＝kx+b（k≠0），
将A（2，3），E（4，）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AE的解析式是y＝﹣x+．
②当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝6，
∴点M的坐标为（0，6）．
观察函数图象可知：在第一象限内，当0＜x＜2或4＜x＜6时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴在第一象限内，当0＜x＜2或4＜x＜6时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值．
③AN＝ME，理由如下：
延长DA交y轴于点F，如图所示．
则AF⊥y轴，AF＝2，点F的坐标是（0，3），OF＝3．
当x＝0时，y＝﹣×0+＝，
∴点N的坐标为（0，），
∴NF＝﹣3＝，
∴AN＝＝＝；
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝6，
∴点M的坐标为（6，0），
∴CM＝6﹣4＝2，
∴ME＝＝＝．
∴AN＝ME．
21．解：（1）∵点B的坐标为（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4．
∵BD＝1，
∴AD＝2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点D，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的关系式为y＝．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点E的坐标为（，3）．
（2）在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．
∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，﹣2）．
又∵点E的坐标为（，3），
∴D′E＝＝．
∵BE＝4﹣＝，BD＝1，
∴DE＝＝，
∴△PDE周长的最小值＝D′E+DE＝+＝.
（3）在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．
∵OA＝4，AD＝2，
∴OD＝＝2．
设AP＝m，则OP＝4﹣m，
∴PD＝＝．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF＝PF＝PD＝，
∴OF＝OD﹣DF＝2﹣．
∵OF2+PF2＝OP2，即（2﹣）2+（）2＝（4﹣m）2，
整理得：3m2+16m﹣12＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴OP＝4﹣m＝．
1．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
2．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2．若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：
（2）如图3，以?ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝2，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y＝的图象上，求k的值．
3．如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（x＞0）的图象都经过点B（a，6），过点B且平行于x轴的直线交y轴于A，点C在AB的延长线上，CD∥y轴交反比例函数图象于D，连接CO，DO．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若∠ABO＝∠OCD，求四边形OBCD的面积．
4．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x+1交于点A（2，m）．
（1）求k、m的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点P（n，0），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝x+1于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C．将函数y＝（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、DC所围成的区域内部（不包括边界）记作图形G．
①当n＝4时，直接写出图形G内的整点坐标；
②若图形G内恰有2个整点，直接写出n的取值范围．
5．如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
6．如图，正方形OABC的边长为4，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线：y＝（x＞0）与BC，AB分别交于点M，N，且BM＝AN．
（1）求k的值．
（2）若点P在双曲线：y＝（x＞0）上正方形OABC内部一动点，
过点P作y轴的垂线，分别交OC、AB于点D、E．过点P作x轴的垂线，分别交OA、BC于点G、F．
①当点P在对角线OB上时．求△BEF的周长；
②随着点P的运动，△BEF的周长是否为定值？请说明理由．
7．如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集；
（3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标．
8．如图在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴正半轴上，直线y＝3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）过点B作BQ⊥x轴交双曲线于点Q，连接AQ，过点A作AP⊥AQ交x轴于点P，连接PQ，求证：△APQ是等腰直角三角形，并求出此时点Q的坐标．（请根据题意自行画图）
9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边BC，AB于D、E两点，连接DE，AC．
（1）当点D是BC的中点时，k＝
，点E的坐标为
；
（2）设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示点E的坐标，
②求证：DE∥AC．
10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的坐标是（﹣2，1），B点的坐标是（1，n）．
（1）求出两个函数解析式；
（2）在x轴正半轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出满足的x的取值范围．
11．已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①请求出点F的坐标；
②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值．
12．如图，直线AC与函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y＝﹣的图象上，求点D的坐标．
13．如图，直线y＝x，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，与y轴交于点C，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，使△PAB与△BAO相似，若存在，请直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（﹣4，0）．
（1）求过点C的反比例函数表达式；
（2）设直线l与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．
15．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
作函数图象
（1）①当反比例y＝（x＞0）的图象与直线y＝﹣x+有唯一交点（2，2）时，周长m的值为
；
②交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
解决问题
（2）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为
．
16．如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于M，N两点，P是MN上一个动点（点P不与点M，N重合），过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，垂足为A，B，交反比例函数于点D，点C．
（1）当AP＝3AO时，求点D的坐标；
（2）连接AB，CD，若D是AP的中点，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（3）点P在运动过程中，AB是否具有最小值，若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
17．已知：如图，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）交于A（，3）、B两点，将直线AB向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点．
（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值；
（3）若点E是双曲线上任意一点，当△ADE是以AE为斜边的直角三角形，且∠DAE＝30°时，求点E的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2），双曲线y＝（x＞0）交BC于点D，交AB于点F，其中BD＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式及F点坐标；
（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）点N在y轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点M，使△DMN是以DM为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图（1）所示，且点A，C在反比例函数y＝的图象上，已知点A的横坐标为﹣2，点C的纵坐标为﹣1．
（1）求k的值．
（2）如图（2），AD交y轴于点E，过点B的直线y＝x+b交CD于点F，连接EF．求证：△DEF的周长为定值．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交CD于点E，OB＝2，AB＝3．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好是DC的中点．
①求直线AE的函数解析式；
②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值？
③若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你判断线段AN与线段ME的大小关系，并说明理由．
21．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值；
（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
参考答案
1．（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，3），
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A（2，3），点C在y＝的图象上，
∴可以设C（m，），则B（2，），D（m，3），
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．
②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OB，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝∠DOH．
2．解：（1）∵四边形ABCE为半对角四边形，
∴∠BCE＝45°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴CD＝DE＝1，
∴AD＝AE+DE＝3．
（2）证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，
∴CE＝ED，
∴∠AEC＝2∠EDC＝2∠B，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABCE是半对角四边形；
（3）由题意，可知：点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，6），点E的坐标为（﹣，3）．
（i）当点A，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，﹣a?6＝（﹣﹣a）?3，
解得：a＝，
∴k＝﹣6a＝﹣6；
（ii）当点B，E向左平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，（2﹣a）?6＝（﹣﹣a）?3，
解得：a＝5，
∴k＝3（﹣﹣a）＝﹣18．
综上所述：k的值为为﹣6或﹣18．
3．解：（1）∵正比例函数y＝x和反比例函数y＝（x＞0）的图象都经过点B（a，6），
∴令y＝6，则，
∴x＝4，
∴B（4，6），
∴k＝24，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵CD∥y轴，
∴∠OCD＝∠AOC，
又∠ABO＝∠OCD，
∴∠AOC＝∠ABO，
∵∠OAC＝∠BAO＝90°，
∴△OAC∽△BAO，
∴，
∴AO2＝AB?AC，
∵B的坐标为（4，6），且AB∥x轴，
∴AO＝6，AB＝4，
∴36＝4AC，
∴AC＝9，
∴C（9，6），
∵CD∥y轴，
∴D（9，），
∴，
S四边形OBCD＝S△BOC+S△COD＝＝30．
4．解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝x+1上，
∴m＝×2+1＝2．
∴A（2，2）．
∵点A（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4．
（2）①当n＝4时，点B（4，3），C（4，1）．
∵整点在图形G的内部，
∴2＜x＜4，且x为整数，
∴x＝3．
当x＝3时，y＝x+1＝×3+1＝，
y＝＝．
∴．
∵y为整数，
∴y＝2．
∴图形G内的整点坐标为（3，2）．
②由①知当x＝3时，，此时整点为（3，2）共1个；
当x＝4时，1＜y＜3，此时整点为（4，2），1个；
当x＝5时，，此时整点有（5，1），（5，2），（5，3），3个；
∵图形G恰好有2个整点，
∴4＜n＜5．
当x＝1时，1.5＜y＜4，此时整点为（1，2），（1，3），2个，
∴0＜n＜1．
综上所述，n的取值范围为：4＜n＜5或0＜n＜1．
5．解：（1）
连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，
∵A（2，0），C（2，m），
∴E（2，m），AC∥y轴，
∴BD⊥y轴，
∴点D（0，m），B（4，m），
∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，
∴，
∴，
∴点C（2，2），
∵点C在双曲线y2＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的函数关系式为y2＝；
（2）由（1）知，m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
6．解：（1）∵正方形OABC的边长为4，
∴OA＝OC＝BC＝4，
设点M（m，4），
∴CM＝m，
∴BM＝BC﹣CM＝4﹣m，
∵AN＝BM，
∴AN＝4﹣m，
∴N（4，4﹣m），
∵点M，N都在双曲线：y＝（x＞0）上，
∴k＝4m＝4（4﹣m），
∴m＝2，k＝8；
（2）由（1）知，k＝8，
∴双曲线的解析式为y＝，M（2，4），N（4，2），
∵点P在双曲线：y＝（x＞0）上正方形OABC内部一动点，
∴设P（n，），
①∵正方形OABC的边长为4，
∴B（4，4），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∵点P在对角线OB上，
∴n＝，
∴n＝2或n＝﹣2（舍），
∴P（2，2），
∵PD⊥y轴，PG⊥x轴，
∴E（2，4），F（4，2），
∴BF＝4﹣2，BE＝4﹣2，EF＝BE＝4﹣4，
∴△BEF的周长为4﹣2+4﹣2+4﹣4＝4；
②随着点P的运动，△BEF的周长是定值，为4，
理由：∵PD⊥y轴，PG⊥x轴，
∴F（n，4），E（4，），
∴BF＝4﹣n，BE＝4﹣，
根据勾股定理得，EF＝＝＝＝n+﹣4，
∴△BEF的周长为4﹣n+4﹣+n+﹣4＝4，
即随着点P的运动，△BEF的周长是定值，其值为4．
7．解：（1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），
∴﹣6m+6＝0，得m＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+6；
当x＝0时，y＝6，
∴CO＝6，
∵△AOC的面积为6．
∴，
∴xA＝2，
当x＝2时，y＝x+6＝8，
∴点A坐标（2，8），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；
（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，
设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），
∴EF＝|﹣m﹣6|，
∴|﹣m﹣6|＝6，
当﹣m﹣6＝6时，
解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；
当﹣m﹣6＝﹣6时，
解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；
②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，
设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），
由中点坐标公式得，
解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），
综上．点N坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）．
8．解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM＝AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y＝3x﹣4上，
∴a＝3a﹣4，
解得a＝2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y＝也经过A点，
∴k＝2×2＝4；
（2）在△AOP与△ABQ中，
∵∠OAB﹣∠PAB＝∠PAQ﹣∠PAB，
∴∠OAP＝∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，
，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵点A的坐标为（2，2），△OAB为等腰直角三角形，
则OB＝4，故B（4，0），
故点Q的横坐标为4，
由（1）知，反比例函数表达式为y＝，
当x＝4时，y＝＝1，
故Q（4，1）．
9．解：（1）∵点D是BC的中点，则点D（3，4），
将点D（3，4）代入反比例函数表达式得：4＝，解得k＝12；
故反比例函数的表达式为y＝，
当x＝6时，y＝＝＝2，
故点E的坐标为（6，2），
故答案为：12，（6，2）；
（2）①由题意得，点D的坐标为（m，4），
则k＝4m，
则反比例函数表达式为y＝，
当x＝6时，y＝＝，
即点E的坐标为（6，）；
②由①知，BD＝6﹣m，BE＝4﹣，
∴＝1﹣m，＝1﹣m＝，
∴DE∥AC．
10．解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），
∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（1，n），
∴﹣2＝1×n，
∴n＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象过A，B两点，
∴，
解得k＝﹣1，b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）设点P（m，0）（m＞0），
∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
∴AB2＝（﹣2﹣1）2+[1﹣（﹣2）]2＝18，AP2＝（m+2）2+1＝m2+4m+5，BP2＝（m﹣1）2+4＝m2﹣2m+5，
∵△ABP为等腰三角形，
∴①当AP＝AB时，AP2＝AB2，
∴m2+4m+5＝18，
∴m＝﹣2﹣（舍）或m＝﹣2+，
∴P（﹣2+，0），
②当AP＝BP时，AP2＝BP2，
∴m2+4m+5＝m2﹣2m+5，
∴m＝0（舍），
③当AB＝BP时，AB2＝BP2，
∴m2﹣2m+5＝18，
∴m＝1﹣（舍）或m＝1+，
∴P（1+，0），
即满足条件的点P的坐标为（﹣2+，0）或（1+，0）．
（3）∵一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，其图象与x轴交于点C，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∵CA（﹣2，1），
∴0＜kx+b＜的x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1．
11．解：（1）将A（1，3）代入y＝（x＞0）中得，
3＝，
解得：k＝3，
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵B（3，n）在反比例函数y＝上，
∴n＝＝1；
（2）①设直线DC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），图象经过点A（1，3）、B（3，1），将其代入得：
，
解得：，
∴直线DC的解析式为：y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4，
令x＝0，则y＝4，
∴OD＝OC＝4，
又∵将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，
∴DE＝4，
即F点的横坐标为4，且在反比例函数的图象上，
∴当x＝4时，y＝，
故F点坐标为（4，）；
②由①可知，B（3，1），F（4，），
∴BF＝＝，OB＝＝，
由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，
情况一：当BF旋转到线段OB上时，如图所示，OF1为线段OF的最小值，
∴OFmin＝OB﹣BF1＝，
情况二：当BF旋转到线段OB的延长线上时，如图所示，OF2为线段OF的最大值，
∴OFmax＝OB+BF2＝，
综上，线段BF绕点B在旋转过程中，线段OF的最大值为，最小值为．
12．解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y＝﹣中得：
m＝＝6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO＝＝，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF＝，FC＝，
∴，
解得：或（舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
，
解得：，
∴直线AE的解析式：y＝﹣，
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D’（d﹣5，d）且在y＝上，
∴d＝﹣，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
13．解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝x，
∴3＝m，
∴m＝3，
∴点A（3，3），
∵点A（3，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝3×3＝9，
∴y＝；
（2）OA⊥AB，理由如下：
如图，作BE⊥y轴于E，AF⊥y轴于F．
∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∵BC∥AO，
∴∠ECB＝∠FOA，
∴△BCE∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴B（，9），
又∵A（3，3），
∴OA2＝36，OB2＝84，AB2＝48，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
（3）如图，①当△APB∽△ABO时，＝，
由（2）知，AB＝4，OA＝6，即
＝，
∴AP＝8，
∵OA＝6，
∴OP＝14，
过点A作AH⊥x轴于H，
∵A（3，3），
∴OH＝3，AH＝3，
在Rt△AOH中，
∴∠AOH＝30°．
过点P作PG⊥x轴于G，
在Rt△APG中，∠POG＝30°，OP＝14，
∴PG＝7，OG＝7
，
∴P（7，7）．
②当△PAB∽△OAB时，＝＝1．
∴AP＝OA，即A是OP的中点，
由（2）知，A（3，3），
∴P（6，6）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（7，7）或（6，6）．
14．（1）解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥y轴，且BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，﹣5）．
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝（﹣4）×（﹣5）＝20，
∴过点C的反比例函数表达式为y＝．
（2）证明：设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将y＝mx+n代入y＝得：mx+n＝，
整理得：mx2+nx﹣20＝0．
∵直线l与反比例函数y＝的图象相切，
∴△＝n2﹣4×m×（﹣20）＝0，
∴n2＝﹣80m．
当x＝0时，y＝m×0+n＝n，
∴点N的坐标为（0，n）；
当y＝0时，mx+n＝0，解得：x＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，0）．
∴S△OMN＝|n|×|﹣|＝||＝40，
∴△OMN的面积为定值．
15．解：图象如下所示：
（1）①把点（2，2）代入y＝﹣x+得：
2＝﹣2+，
解得：m＝8，
故答案是：8；
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；
（2）联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，
△＝m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8．
故答案是：m≥8．
16．解：设点P的坐标为（m，﹣m+4），则点A、B的坐标分别为（0，﹣m+4）、（m，0）．
（1）当AP＝3AO时，即m＝3（﹣m+4），
解得m＝3，
故点A的坐标为（0，1），
当y＝1时，即1＝，
解得x＝1，
故点D的坐标为（1，1）；
（2）∵D是AP的中点，故点D的坐标为（m，﹣m+4），
将点D的坐标代入反比例函数表达式并整理得：4﹣m＝，
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
即直线AB表达式中的k值为﹣；
同理可得，直线CD表达式中的k值为﹣，
故直线AB∥CD；
（3）有，理由：
由题意得，四边形OAPB为矩形，
则AB＝OP＝＝＝≥2，
故AB有最小值为2．
17．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝3，
设直线AB的表达式为y＝mx，将点A的坐标代入上式得：3＝m，解得m＝，
故反比例函数和直线AB的表达式分别为y＝和y＝x；
（2）平移后直线的表达式为y＝x﹣n，
连接A、C、D，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵AM∥CN，点C是线段AD中点，
故CN是△AMD的中位线，设点C的坐标为（a，），
则CN＝AM，即＝×3，解得a＝2，
故点C的坐标为（2，），
将点C的坐标代入y＝x﹣n得：＝?2﹣n，
解得n＝；
（3）过点A、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、N，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，则AD：DE＝，
∵∠ADH+∠EDN＝90°，∠EDN+∠DEN＝90°，
∴∠ADH＝∠DEN，
∴Rt△AHD∽Rt△DNE，
∴，
设点D的坐标为（t，0），点E的坐标为（b，），
则AH＝3，DH＝t﹣，DN＝b﹣t，EN＝，
即，
解得b＝3或﹣，
故点E的坐标为（﹣，﹣3）或（3，1）．
18．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥x轴，
∴点D纵坐标和点B纵坐标相同，
设D（x，2），
∵点B（4，2），BD＝2，且点B在点D右边，
∴4﹣x＝，
∴x＝，
∴D（，2），
∴k＝5，
∴所求反比例函数表达式为：y＝；
∵点F在线段AB上，设F（4，y），
将点F坐标代入反比例函数表达式，得y＝，
∴点F的坐标为（4，）；
（2）DF∥AC，理由如下：
∵F（4，），B（4，2），
∴BF＝，
又BC＝4，AB＝2，BD＝，
∴
又∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BCA，
∴∠BDF＝∠BCA．
∴DF∥AC；
（3）存在，M的坐标为（，）或（，，）．理由如下：
①当∠MDN＝90°时，
过点D作y轴平行线，过M、N分别作x轴的平行线，与过点D的y轴平行线交于点G、H，
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴DM＝ND，∠MDN＝90°，
∴∠MDG+∠NDH＝90°，
又∠MDG+∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠NDH，
又∠G＝∠H＝90°，
∴△DMG≌△NDH（AAS），
∴NH＝DG，
∵D（，2），
∴H的横坐标为，
∴NH＝DG＝，
设M（x，y），则点G的纵坐标为y，
DG＝y﹣2＝，
∴y＝，
∴x＝，
∴点M的坐标为（，）；
②当∠DMN＝90°时，
过点M作x轴平行线交y轴于点P，过D分别作y轴的平行线，与过点M的x轴平行线交于点Q，
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴MN＝DM，∠DMN＝90°，
∴∠PMN+∠QMD＝90°，
又∠PMN+∠PNM＝90°，
∴∠PNM＝∠QMD，
又∠MPN＝∠Q＝90°，
∴△MPN≌△DQM（AAS），
∴PM＝QD，
设M（x，y），则点Q的纵坐标为y，
∴PM＝x，QD＝y﹣2，
∴x＝y﹣2，
又y＝，
∴＝x+2，
解得：x＝（舍去负值），
∴y＝，
∴M（，，），
综上M的坐标为（，）或（，，）．
19．（1）解：如图（1），过点B作EF⊥y轴，过点A作AE⊥EF于E，过点C作CF⊥EF于F，
则∠EAB+∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴CF＝BE＝2，AE＝BF，
设点C的坐标为（a，﹣1），则点A的坐标为（﹣2，a﹣3），
∵点A，C在反比例函数y＝的图象上，
∴a×（﹣1）＝﹣2×（a﹣3），
解得，a＝6，
∴k＝6×（﹣1）＝﹣6；
（2）证明：如图（2），延长DC至点H，使CH＝EA，连接BH，
∵直线BF的解析式为y＝x+b，
∴∠EOF＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
在△ABE和△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（SAS），
∴∠CBH＝∠ABE，BF＝BH，
∴∠FBH＝∠CBH+∠CBF＝45°，
∴∠EBF＝∠HBF，
在△EBF和△HBF中，
，
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴EF＝FH＝AE+FC，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DA+DC＝2×＝4．
20．解：（1）∵OB＝2，AB＝3，
∴点A的坐标是（2，3），
把A（2，3）代入y＝得：3＝，
∴k＝6．
（2）∵点E恰好是DC的中点，
∴点E的纵坐标是．
当y＝时，＝，
解得：x＝4，
∴点E的坐标是（4，）．
①设直线AE的解析式是y＝kx+b（k≠0），
将A（2，3），E（4，）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AE的解析式是y＝﹣x+．
②当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝6，
∴点M的坐标为（0，6）．
观察函数图象可知：在第一象限内，当0＜x＜2或4＜x＜6时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴在第一象限内，当0＜x＜2或4＜x＜6时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值．
③AN＝ME，理由如下：
延长DA交y轴于点F，如图所示．
则AF⊥y轴，AF＝2，点F的坐标是（0，3），OF＝3．
当x＝0时，y＝﹣×0+＝，
∴点N的坐标为（0，），
∴NF＝﹣3＝，
∴AN＝＝＝；
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝6，
∴点M的坐标为（6，0），
∴CM＝6﹣4＝2，
∴ME＝＝＝．
∴AN＝ME．
21．解：（1）∵点B的坐标为（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4．
∵BD＝1，
∴AD＝2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点D，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的关系式为y＝．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点E的坐标为（，3）．
（2）在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．
∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，﹣2）．
又∵点E的坐标为（，3），
∴D′E＝＝．
∵BE＝4﹣＝，BD＝1，
∴DE＝＝，
∴△PDE周长的最小值＝D′E+DE＝+＝.
（3）在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．
∵OA＝4，AD＝2，
∴OD＝＝2．
设AP＝m，则OP＝4﹣m，
∴PD＝＝．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF＝PF＝PD＝，
∴OF＝OD﹣DF＝2﹣．
∵OF2+PF2＝OP2，即（2﹣）2+（）2＝（4﹣m）2，
整理得：3m2+16m﹣12＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴OP＝4﹣m＝．