2021-2022学年九年级数学鲁教版上册《2.5三角函数的应用》同步培优提升专题训练(word版含答案)

2021年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》同步培优提升专题训练（附答案）
一．选择题（共7小题）
1．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（　　）
A．1200m
B．1200m
C．1200m
D．2400m
2．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A
处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）
A．11米
B．（36﹣15）米
C．15米
D．（36﹣10）米
4．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　）
A．50
B．51
C．50+1
D．101
5．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．米2
B．米2
C．（4+）米2
D．（4+4tanθ）米2
6．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）
A．2m
B．2m
C．（2﹣2）m
D．（2﹣2）m
7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
二．填空题（共4小题）
8．如图，一山坡的坡度为i＝1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　
　米．
9．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是　
　m（结果保留根号）
10．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为　
　m（结果保留根号）．
11．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　
　米（结果保留根号）．
三．解答题（共12小题）
12．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
13．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（≈1.7）．
14．如图，在高度为10米的建筑平台CD的顶部C处，测得大楼AB的顶部A的仰角α＝45°，测得大楼AB的底部B的俯角β＝30°，求大楼AB的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
15．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．求改善后滑滑板会加长多少米？
16．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
17．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．
18．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
19．如图建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
20．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
21．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
22．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）
（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）
23．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．解：∵∠ABC＝∠α＝30°，
∴AB＝＝，
即飞机A与指挥台B的距离为2400m．
故选：D．
2．解：设PA＝PB＝PB′＝x，
在RT△PCB′中，sinα＝，
∴＝sinα，
∴x﹣1＝xsinα，
∴（1﹣sinα）x＝1，
∴x＝．
故选：A．
3．解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10）米．
故选：D．
4．解：设AG＝x米，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG＝，
∴EG＝＝x（m），
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x（m），
∴x﹣x＝100，
解得：x＝50．
则AB＝（50+1）米．
故选：C．
5．解：在Rt△ABC中，BC＝AC?tanθ＝4tanθ（米），
∴AC+BC＝4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）＝4+4tanθ（米2）；
故选：D．
6．解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝，
∴AD＝4sin60°＝2（m），
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，
∴AC＝＝2（m）．
故选：B．
7．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE，
∵i＝＝＝，
∴设CQ＝4x、BQ＝3x，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则CQ＝PE＝8，BQ＝6，
∴DP＝DE+PE＝11，
在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈13.1，
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
8．解：根据题意得tan∠A＝＝＝，
所以∠A＝30°，
所以BC＝AB＝×200＝100（m）．
故答案为100．
9．解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD＝，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝9m，
∴AB＝AD+BD＝（3+9）m，
故答案为：3+9．
10．解：∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝60m，
在Rt△ABD中，
AB＝AD?sin∠ADB＝60×＝30
（m）．
故答案为：30
．
11．解：由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°
∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B＝
∴HB＝＝
＝＝1200（米）．
∴AB＝HB﹣HA
＝1200﹣1200
＝1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
三．解答题（共12小题）
12．解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90米，
EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°．
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝＝90×＝90（米）．
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，
∴DB＝＝30（米）．
∴AB＝AD+BD＝90+30＝120（米）．
答：建筑物A、B间的距离为120米．
13．解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE＝45°，∠CBE＝30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE＝AB＝12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE＝，
∴BE＝CE?cot30°＝12×＝12（m）．
在Rt△BDE中，由∠DBE＝45°，
得DE＝BE＝12（m）．
∴CD＝CE+DE＝12（+1）≈32.4（m）．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
14．解：如图，由题意可知CD＝10m，∠ACE＝45°，∠BCE＝30°，
在Rt△BCD中，∠CBD＝∠β＝30°，CD＝10m，
∴BD＝＝＝10（m）＝CE，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝10m，
∴AB＝AE+EB＝10+10≈27.3（m），
答：大楼AB的高度约为27.3m．
15．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB?sin∠ABC＝4×＝2（米），
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝4（米），
∴AD﹣AB＝（4﹣4）米，
答：改善后滑滑板会加长（4﹣4）米．
16．解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝：3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD＝＝10米，
∴AD＝BD﹣AB＝（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除．
17．解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB＝60m，sinA＝，BE＝ABsinA＝60×＝30，cosA＝，
∴AE＝60×＝30m，
在Rt△CEB中，∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣30°＝45°，
∴BE＝CE＝30m，
∴AC＝AE+CE＝（30+30）m，
在Rt△ADC中，sinA＝，
则CD＝（30+30）×＝（15+15）m．
18．解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
19．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，
∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，
∴设EF＝x，则FC＝x，
∵CE＝20米，
∴x2+（x）2＝400，
解得：x＝10，
则FC＝10m，
∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，
∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，
答：建筑物AB的高为（35+10）m．
20．解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝8×4＝32（米），
∴AD＝CD＝16（米），BD＝AB?cos30°＝16（米），
∴BC＝CD+BD＝（16+16）米，
则BH＝BC?sin30°＝（8+8）米．
21．解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC?sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，
∴BC＝CD＝20≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．
22．解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴DB＝x，
在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，
∴tan∠ACD＝，
∴＝，
解得，x≈233
经检验，x≈233的原方程的解，
答：热气球离地面的高度约为233m．
23．解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF，
∴60﹣x＝20+x，
∴x＝40﹣60，
∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），
∴CD的长为（80﹣120）米．