2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.6利用三角函数测高优生辅导专题提升训练（Word版，附答案解析）

2021年鲁教版九年级数学上册《2.6利用三角函数测高》优生辅导专题提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（　　）
A．a?sinα
B．a?tanα
C．a?cosα
D．
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（　　）
A．2sin50°海里
B．2cos50°海里
C．2tan40°海里
D．2tan50°海里
3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（　　）
A．100海里
B．50海里
C．50海里
D．25海里
4．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（　　）
A．10海里
B．10海里
C．10海里
D．20海里
5．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD＝6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（　　）
A．km
B．km
C．km
D．3km
6．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）
A．10海里/小时
B．30海里/小时
C．20海里/小时
D．30海里/小时
二．填空题
7．在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　
　m．
8．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为　
　海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．
9．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，则码头A与小岛C的距离为　
　海里（结果保留根号）．
10．一船向东航行，上午9时，在灯塔的西南20海里的B处，上午11时到达这灯塔的正南方向C处，则这船航行的速度是　
　海里/小时．
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔20海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东60°方向上的B处，则此时轮船与灯塔的距离BP为　
　海里．
三．解答题
12．如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．
13．如图，一艘轮船在海上以每小时36海里的速度向正西方向航行，上午8时，在B处测得小岛A在北偏东30°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C处，这时测得小岛A在北偏东60°方向．如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达D处，这时轮船与小岛A相距多远？
14．如图，设计一个“奔跑”游戏：路线需经A、B、C、D四地．A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向，且BC＝CD＝2km．
（1）证明路程AB+BD+DC与AB+BC+CD相等；
（2）从A地跑到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，≈1.4）
15．如图，在港口A处的正西方向有两个观测点B，C．一艘轮船从A处出发，沿北偏西26°方向航行60km至D处，在B，C处分别测得∠DBA＝45°，∠C＝37°．求两个观察点B，C相距的距离．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
16．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
17．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）
18．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
19．时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20．海上测绘船沿正北方向航行，在A点观察东西方向的岛屿的西端M在A点的北偏东36.9°方向航行4km后到达B点，测得该岛屿东端N在B点的北偏东67.4°方向，又航行6km后到达C点，测得该岛屿正好在C点的正东方向（即C，M，N在同一直线上）求该岛屿东西两端M，N之间的距离．（参考数据：sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75，sin67.4°≈0.92，tan67.4°≈2.40）
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝α，且tanα＝，
则AB＝AC×tanα＝a?tanα，
故选：B．
2．解：由题意可知∠NPA＝50°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝50°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，PA＝2海里，
∴AB＝AP?cos∠A＝2cos50°海里．
故选：B．
3．解：∵由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝50海里，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝50海里，
故选：C．
4．解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA＝25°+50°＝75°，
∴∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
在直角△ABD中，BD＝AB?sin∠CAB＝20×sin60°＝20×＝10．
在直角△BCD中，∠CBD＝45°，
则BC＝BD＝10×＝10（海里）．
故选：C．
5．解：过C作CE⊥BD于E，则CE＝AB．
直角△CED中，∠ECD＝30°，CD＝6，
则CE＝CD?cos30°＝3＝AB．
所以AB＝3（km）．
故选：B．
6．解：∵∠CAB＝10°+20°＝30°，∠CBA＝80°﹣20°＝60°，
∴∠C＝90°，
∵AB＝20海里，
∴AC＝AB?cos30°＝10（海里），
∴救援船航行的速度为：10÷＝30（海里/小时）．
故选：D．
二．填空题
7．解：由已知得：
∠ABC＝90°+30°＝120°，
∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴BC＝AB＝200．
故答案为：200．
8．解：根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°＝，
即＝，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
故答案为：38．
9．解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，
由题意，得∠DCB＝45°，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，AB＝10海里，
设CD＝x海里，
在Rt△DCB中，tan∠DCB＝，tan45°＝＝1，
∴BD＝x，
则AD＝AB+BD＝10+x，
由tan30°＝，
解得x＝5+5，
∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴AC＝2CD＝（10+10）海里．
故答案为：（10+10）．
10．解：∵AB＝20，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝10．
∵从B到C用时11﹣9＝2时，
∴速度为10÷2＝5（海里/小时）．
11．解：如图，由题意，可知PA＝20海里，∠1＝30°，∠1+∠APB＝60°，则∠APB＝30°，∠2＝30°．
∵PQ∥AB，
∴∠B＝∠2＝30°，
∴PA＝AB＝20海里，
过点A作AC⊥PB于点C，则BP＝2PC．
在Rt△PAC中，∵PA＝20海里，∠APC＝30°，
∴PC＝AP?cos∠APC＝20×＝10海里．
∴BP＝2PC＝20海里．
即此时轮船与灯塔的距离BP为20海里．
故答案为20．
三．解答题
12．解：（1）由题意得，∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠BAD﹣∠BCA＝15°；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝≈82，
答：这段河的宽约为82m．
13．解：作AE⊥BD于点E，
则∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABE＝∠ACB+∠CAB
∴∠CAB＝30°
∴∠ACB＝∠CAB
∴AB＝BC＝36海里，
在直角△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AE＝AB＝18海里，BE＝AB＝18海里，
在直角△ADE中，DE＝126海里，
根据勾股定理得到AD＝＝＝36海里．
14．（1）证明：根据两直线平行，同旁内角互补可得，∠DCA+45°+75°＝180°，
∴∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形．
∴BC＝BD，
∴AB+BD+DC＝AB+BC+CD；
（2）解：过点B作BE垂直于AD，垂足为E，
由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，BD＝BC＝CD＝2km，
∵∠DBC＝∠DAC+∠ADB
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，
在Rt△BDE中，sin∠ADB＝，
∴BE＝BD?sin15°≈2×0.26≈0.52（km），
在Rt△ABE中，sin∠EAB＝，
∴AB＝＝0.52×≈0.52×1.4≈0.7（km），
∴AB+BC+CD≈0.7+2+2≈4.7（km）．
答：从A地跑到D地的路程大约是4.7km．
15．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，如图所示：
在Rt△ABE中，AD＝60km，∠ADE＝26°，
∴DE＝AD?cos∠ADE＝60×cos26°≈60×0.9＝54（km），
∵∠DBE＝45°，∠DEB＝90°，
∴BE＝DE＝54km，
∵∠C＝37°，
∴，
∴CE＝．
∴CE≈54÷0.75＝72（km），
∴BC＝CE﹣BE＝72﹣54＝18（km），
答：两个观察点B，C相距的距离为18海里．
16．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，
∴BD＝AB?cos60°＝AB＝6，AD＝AB?sin60°＝6，
∴CD＝10x+6．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
17．解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，
∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，
∴∠NAC＝75°，
∴∠CAM＝15°，
∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，
∴∠MAB＝45°，
∴∠MBA＝45°，
∵C点在B点的北偏西45°方向，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，
∵C点在D点的北偏东22.5°方向，
∴∠PDC＝22.5°，
∴∠DCB＝67.5°，
∴∠BDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴BD＝BC，
由题可得DB＝2km，
∴BC＝2km，
在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，
∴AC＝≈1.3km．
18．解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，
∵∠DAB＝45°，，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴，
∴PA＝（4+4）（km）；
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝4（km）．
19．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
20．解：AC＝AB+BC＝4+6＝10（km），
在Rt△ACM中，tan∠CAM＝＝tan36.9°≈0.75，
∴CM≈7.5（km），
在Rt△BCN中，tan∠CBN＝＝tan67.4°≈2.40，
∴CN≈14.4（km），
∴MN＝CN﹣CM≈14.4﹣7.5＝6.9（km）．
答：该岛屿东西两端M，N之间的距离约为6.9km．