2021-2022学年青岛版九年级数学上册 1.3相似三角形的性质 同步优生辅导训练 （word版含解析）

2021-2022年青岛版九年级数学上册《1.3相似三角形的性质》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如果两个相似三角形的相似比为4：3，那么这两个相似三角形的面积比为（　　）
A．2：
B．4：3
C．16：9
D．256：81
3．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（　　）
A．4：9
B．16：81
C．3：5
D．2：3
5．若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．16：81
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（　　）
A．4
B．5
C．20
D．3.2
7．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．5
8．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（　　）
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
9．两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15，则面积之和是（　　）
A．39
B．75
C．76
D．40
10．如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）
A．
B．
C．AD?AB＝DE?BC
D．AD?AC＝AB?AE
二、填空题
11．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝8，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是　
　．
12．如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们对应高的比为　
　．
13．△ABC的三边长为4、5、6，与△ABC相似的△DEF的最长边为18，则△DEF的最短边为　
　．
14．两个相似三角形的相似比是3：4，其中较小的三角形的面积是8，则另一个三角形的面积是　
　．
15．如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是　
　．
三、解答题
16．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．
17．△ABC∽△A′B′C'，且△ABC的三边长分别是、2、，△A'B'C'的两边长分别是，，求△A′B′C′的第三边长．
18．如图，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求线段DE和FG的长度．
19．如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且△ADE∽△ECF，
（1）求CF：BF；
（2）AE与EF有何位置关系？证明你的结论．
20．如图，AD垂直于BC于点D且满足直角△ABD∽直角△CAD，求证：△ABC是直角三角形．
21．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝9cm，D为AB上一点，BD＝AB，E是AC上的一点．若△ADE与△ABC相似，请你画出线段DE并求DE的长．
22．如图，△ABC∽△EBD，连接AE、CD并延长交于点F，求证：∠F＝∠ABC．
参考答案
1．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
2．解：∵两个相似三角形的相似比为4：3，
∴这两个相似三角形的面积比为16：9．
故选：C．
3．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，
∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，
故选：C．
4．解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝．
故选：A．
5．解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长比为4：9．
故选：C．
6．解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5．
故选：B．
7．解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴＝2，即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
8．解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，
则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故选：C．
9．解：∵这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为15cm2，
∴9x﹣4x＝15，
解得：x＝3，
∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝39．
故选：A．
10．解：∵∠EAD＝∠CAB，
∴当，
即AD?AC＝AB?AE，
∴ED∥BC，
故选：D．
11．解：∵AD＝8，A′D′＝6，
∴AD：A′D′＝4：3，
∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比＝AD：A′D′＝4：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比是4：3，
故答案为：4：3．
12．解：∵两个相似三角形的周长比为1：3，
∴两个相似三角形的相似比为1：3，
∴对应高线的比为：1：3，
故答案为：1：3．
13．解：设△DEF的最短边为x，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
解得，x＝12，
故答案为：12．
14．解：∵两个相似三角形的相似比是3：4，
∴这两个相似三角形的面积比是9：16，
∵较小的三角形的面积是8，
∴另一个三角形的面积是．
故答案为：．
15．解：∵两个相似三角形的对应高比是：2，
∴它们的相似比是：2，
故答案为：：2．
16．解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG：GF＝2：1．
17．解：设△A′B′C′的第三边长为x，
∵△ABC∽△A′B′C，△ABC的三边长分别是、2、，△A'B'C'的两边长分别是，，
∴与、与是对应边，
则＝，
解得，x＝2，
∴△A′B′C′的第三边长为2．
18．解：∵△ADE∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，
∴（）2＝，
即（）2＝，
解得DE＝4，
∵△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，
∴（）2＝，
即（）2＝，
解得FG＝4，
答：线段DE和FG的长度分别为4cm，4cm．
19．即：（1）∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE．
∵△ADE∽△ECF，
∴＝＝；
（2）AE⊥EF．
理由：∵△ADE∽△ECF，
∴∠CEF＝∠DAE．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED+∠CEF＝90°，即AE⊥EF．
20．解：∵直角△ABD∽直角△CAD，
∴∠BAD＝∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
21．解：如图1，△ADE∽△ABC，
∴＝，
又∵BD＝AB，AB＝12cm，BC＝18cm，
∴DE＝6cm；
如图2，△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵BD＝AB，AB＝12cm，
∴AD＝4cm，
又∵BC＝18cm，
∴DE＝8cm．
答：DE的长是6cm或8cm．
22．证明：如图，
∵△ABC∽△EBD，
∴＝，∠ABC＝∠EBD，
即＝，∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
∴△BCD∽△BAE，
∴∠5＝∠6，
而∠7＝∠8，
∴∠F＝∠ABC．