2021-2022学年青岛版九年级数学上册1.3相似三角形的性质 能力提升训练 （word版含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《1.3相似三角形的性质》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF的的对应边的比为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．两个相似三角形的最短边分别为4cm和2cm它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（　　）
A．18cm
B．24cm
C．28cm
D．30cm
3．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为1：3，则两三角形的面积比为（　　）
A．2：3
B．1：3
C．1：9
D．1：
4．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知两相似三角形的面积比是4：25，则它们的周长的比为（　　）
A．4：25
B．2：5
C．1：5
D．以上都不对
6．若△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F的度数是（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
7．△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则它们的面积比等于（　　）
A．2：3
B．3：2
C．4：9
D．9：4
8．△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过（　　）秒钟△PBQ与△ABC相似？（　　）
A．2.5
B．3.5
C．1或2.5
D．1或3.5
9．下列命题属于真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．相似三角形也是全等三角形
C．相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
10．三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（　　）
A．15cm
B．18cm
C．21cm
D．24cm
11．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4
B．4：1
C．1：2
D．2：1
12．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：16
13．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（　　）
A．
B．
C．
D．
14．两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比是（　　）
A．9：16
B．3：4
C．9：4
D．3：16
15．△ABC∽△DEF，它们的周长之比为：1，则它们的对应高比及面积比分别为（　　）
A．1：，2：1
B．：1，2：1
C．2：1，：1
D．1：2，：1
16．如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的相似比是（　　）
A．
B．2：1
C．
D．
17．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．2：1
D．4：1
18．如图钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）
A．3秒或4.8秒
B．3秒
C．4.5秒
D．4.5秒或4.8秒
二、填空题
19．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为　
　．
20．如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝　
　．
21．如果一个等腰三角形的一个底角平分线与底边所构成的三角形与原三角形相似，那么，原三角形的底角大小是　
　．
22．如图，△ABC∽△AED，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为　
　．
23．两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为　
　．
24．已知△ABC∽△DEF，△ABC比△DEF的周长比为1：3，则△ABC与△DEF的面积之比为　
　．
25．已知△ABC和△DEF相似，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长之比为　
　．
26．若△ADE∽△ACB，且＝，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　
　．
三、解答题
27．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
28．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．
参考答案
1．解：△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，
∴△ABC与△DEF的的对应边的比为：＝，
故选：D．
2．解：∵两个相似三角形的最短边分别为4cm和2cm，
∴两三角形的周长的比为4：2＝2：1，
设两三角形的周长分别为2xcm，xcm，
则2x﹣x＝12，
解得x＝12，
所以2x＝24，
即大三角形的周长为24cm．
故选：B．
3．解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为1：3，
∴两三角形的面积比为1：9．
故选：C．
4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝（）2＝．
故选：C．
5．解：∵两相似三角形的面积比是4：25，
∴它们的相似比是2：5，
∴它们的周长的比为2：5．
故选：B．
6．解：在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠C＝70°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F＝∠C＝70°．
故选：C．
7．解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3
∴它们的面积比为4：9
故选：C．
8．解：∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是4cm/s，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣2t，BQ＝4t，
①BP和AB是对应边时，∵△PBQ∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得t＝2.5；
②BP和BC是对应边时，∵△QBP∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得t＝1，
综上所述，t的值为1或2.5．
故选：C．
9．解：A、同旁内角互补，两直线平行，故本选项属于假命题；
B、全等三角形也是相似三角形，故本选项属于假命题；
C、相似三角形的对应角相等，对应边成比例，故本选项属于真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项属于假命题．
故选：C．
10．解：∵三角形三边之比3：5：7，∴与之相似的三角形三边之比也是3：5：7，
∵最长边是21cm，∴边的每份是21÷7＝3cm，
∴两边之和是（3+5）×3＝24cm．
故选：D．
11．解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：A．
12．解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
13．解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，
∴△A′B′C′的第三边长应该是＝．
故选：A．
14．解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，
∴它们对应的相似比是3：4．
故选：B．
15．解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长之比为：1，
∴它们的对应高比及面积比分别为：1，2：1．
故选：B．
16．解：根据勾股定理，AC＝＝，
∵A1C1＝1，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比＝＝＝：1．
故选：A．
17．解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．
故选：B．
18．解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则，
∴，
解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则，
∴，
解得：x＝4.8．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A．
19．解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A＝46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，
∴∠ACB＝67°+46°＝113°，
②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，
∴∠ACB＝46°+46°＝92°，
故答案为113°或92°．
20．解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
21．解：如图，设∠1＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
∵△ABC∽△BCD，
∴∠A＝∠2＝x°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72°．
22．解：∵△ABC∽△AED，
∴，
∵DE＝6，AB＝10，AE＝8，
∴，
∴BC＝．
故答案为：．
23．解：∵两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，
∴两个相似三角形相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为16：81，
故答案为：16：81．
24．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC比△DEF的周长比为1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比是1：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9．
故答案为：1：9．
25．解：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3．
故答案为2：3．
26．解：∵△ADE∽△ACB，且＝，
∴△ADE与△ACB的面积比为：，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，
∴△ADE的面积是，
故答案为：．
27．解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则＝，
即＝，
解得x＝0.8，
②BP与AB边是对应边，则＝，
即＝，
解得x＝2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
28．解：设经过t秒两三角形相似，
则AP＝AB﹣BP＝8﹣2t，AQ＝4t，
①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，
∴＝，
即＝，
解得t＝2，
②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，
∴＝，
即＝，
解得t＝，
综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似