1.2怎样判定三角形相似 能力提升训练 2021-2022学年青岛版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《1.2怎样判定三角形相似》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
3．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连接AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜．
下列说法正确的是（　　）
A．①对②对
B．①对②错
C．①错②对
D．①错②错
4．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（　　）
A．3
B．6
C．6
D．3
5．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M则下列结论①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM；④AM＝MF，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD为边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　）
（1）△PAM∽△PBC
（2）PM⊥PC；
（3）∠MPB＝∠MCB；
（4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6
（5）AN＝AM
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
二、填空题
7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是　
　．
8．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　
　s时△APR∽△PRQ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是BC的中点，AE与BD交于点F，且AE⊥BD，则CF的长是　
　．
三、解答题
10．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．
11．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
（1）如图1，点E在线段AB上时，
①求证：AE＝CF；
②求证：DP垂直平分EF；
（2）当AE＝1时，求PQ的长．
12．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB?AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
15．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE＝2，试求AP?AF的值．
16．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连接AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．
求证：△ACD∽△CBE．
应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是　
　．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）若∠1＝65°，求∠2的度数．
（2）若AD＝AB，BD＝10，CD＝12，CE＝14，求AE的长．
18．如图所示，要在底边BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；（提示：S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH）
（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
19．现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米．要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示．请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求．
20．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG2＝FG?BG；
（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，
试问：
①△ABD与△DCB相似吗？请说明理由；
②若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
参考答案
1．解：∵DG∥AB，
∴＝，故本选项不符合题意；
B、∵DF∥CE，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝≠，故本选项不符合题意；
C、∵DF∥CE，
∴△ADF∽△AEC，
∴＝，
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，故本选项符合题意；
D、∵DF∥CE，
∴＝，
∵DG∥AB，
∴△DGE∽△ABE，
∴＝，
∴≠，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，
由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴＝＝，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，
故选：C．
3．解：①如图1中，
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴只有AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜．故②正确，
故选：A．
4．解：如图，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，
∵EF⊥GE，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，
∴∠AGE＝∠MEF，
∴△AEG∽△MFE，
∴＝，
设AG＝x，
∵AD＝9，DE＝2AE，
∴AE＝3，
∴＝，
∴ME＝2x，
∴BF＝AM＝3+2x，
在Rt△GBF中，
GF2＝GB2+BF2
＝（6﹣x）2+（3+2x）2
＝5x2+45，
∵点G在线段AB上，
∴0≤x≤6，
由二次函数的性质可知，当x＝0时，GF2有最小值45，
∴GF的最小值为3，
故选：D．
5．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝∴BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，
故①正确；
（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，
则AE＝BE＝BF＝2，
∴DE＝AF＝＝2，
∵AD∥BF，
∴△BFN∽△DAN，
∴＝＝，
∴FN＝，AN＝，
∵S△AED＝AD?AE＝DE?AM，
∴AM＝＝＝，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM≠MN，
若∠BAF＝∠EDB，
则∠ADE＝∠EDB，
又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，
∴△DAM≌△DNM（ASA），
∴AM＝MN，
不符合题意，
故②错误；
（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，
又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，
∴△AME∽△DMA∽△DAE，
∴＝＝＝，
∴AM＝2EM，DM＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，
故③正确；
（4）由（2）知AM＝，MN＝，FN＝，
∴MF＝MN+FN＝+＝，
∴＝，
故④正确；
故选：B．
6．解：（1）∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故（1）正确；
（2）∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，
故（2）正确；
（3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故（3）正确；
（4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点，
∵N为AD的中点，AB＝2
∴AN＝DN＝，BC＝EF＝2，
∴BN＝，
易证△ANP∽△NBA，得，
即，
∴PN＝1，
∴PB＝5﹣1＝4，
∵AD∥BC，
∴△PEN∽△PFB，
∴，
∴PF＝，
∴，
故（4）错误；
（5）易证△PAN∽△PAB，
∴，
∵△PAM∽△PBC，
∴，
∴，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故（5）正确；
故选：B．
7．解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，
又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，
∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故答案为：5．
8．解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵QR∥BA
∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°
∴△CRQ为等边三角形
∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s
∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t
∵QR∥BA
∴∠QRP＝∠APR
若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°
∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°
∴∠BPQ＝∠ARP
又∵∠A＝∠B
∴△APR∽△BQP
∴＝
∴＝
解得t＝1.2
故答案为1.2．
9．解：延长AE、DC交于点G，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠GCE，
∵∠AEB＝∠GEC，
∴△AEB≌△GEC（ASA），
∴AB＝CG，
∴CD＝CG，
即FC为△DFG的中线，
∵AE⊥BD，
CF＝GD＝CD＝3，
故答案为3．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；
（2）证明：
∵EF∥AC，
∴＝，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA＝OC，
∴＝，
即＝，
∴AO∥DP，
∵AD∥CP，
∴四边形ACPD为平行四边形；
（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP＝AD＝BC，
∴＝，
∵AD∥BP，
∴＝＝，
∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，
∵DO＝BD＝，
∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴EF＝DE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．
11．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，
∴∠ADC＝∠MDN＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
②∵△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，
∴△AQD∽△EQP，
∴＝，
∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，
∴△AQE∽△DQP，
∴∠QDP＝∠QAE＝45°，
∴∠DPE＝90°，
∴DP⊥EF，∵DE＝DF，
∴PE＝PF，
∴DP垂直平分线段EF．
（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x+×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ?PQ＝DQ?EQ，
∴PQ＝＝．
②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ?PQ＝DQ?EQ，
∴PQ＝＝．
综上所述，PQ的长为或．
12．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AC?AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB?AE．
解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝AB＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝．
13．解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需＝，即＝，
解得AF＝1或3；
当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需＝，即＝，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3．
（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m＝3时，有2个；
当m＝4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
14．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
15．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF，
∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．
又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°，
∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°
（2）∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴＝，即＝，
∴AP?AF＝12．
16．探究：证明：∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；
应用：在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，
∵∠ADC＝CEB＝90°，
∴AC＝BC＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴AF＝．
故答案为：．
17．解：（1）∵∠1+∠EDC+∠C＝180°，∠2+∠EDC+∠ADE＝180°，且∠ADE＝∠C，
∴∠2＝∠1＝65°；
（2）∵AD＝AB，
∴∠B＝∠2，
∵∠2＝∠1，
∴∠B＝∠1，
∵∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CED，
∴，
设AE＝x，
则，
解得：x＝，
即AE＝．
18．解：（1）∵S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，
∴×160×120＝y（120﹣x）+x（y+160），
化简得：y＝﹣x+160；
（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，
得：S＝﹣x2+160x；
（3）将S＝﹣x2+160x，
右边配方得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；
∵﹣（x﹣60）2≤0，
∴当﹣（x﹣60）2＝0时，即x＝60时，S＝﹣（x﹣60）2+4800有最大值4800．
19．解：图1加工的方法合理．
设图1加工桌面长xm，
∵FD∥BC，
∴Rt△AFD∽Rt△ACB，
∴AF：AC＝FD：BC，
即（4﹣x）：4＝x：3，
解得x＝，
设图2加工桌面长ym，过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，
∵GF∥DE，
∴△CGF∽△CAB，
∴CN：CM＝GF：AB，
∴（CM﹣y）：CM＝y：AB．
∴AB＝．
由面积相等可求得CM＝2.4，
故此可求得y＝；
很明显x＞y，故x2＞y2，
∴图1加工的方法合理．
20．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴＝．
又∵△AGF∽△EGD，
∴＝．
∴＝．
∴DG2＝FG?BG．
（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH＝DC＝AB＝．
∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2
∴AH＝．
又∵△ADG∽△EBG，
∴＝＝．
∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．
∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．
21．解：①∵BD⊥DC（已知），
∴∠BDC＝90°（垂直性质），
而∠BAD＝90°（已知），
∴∠BDC＝∠BAD（等量代换），
又∵AD∥BC（已知），
∴∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）．
∴△ABD∽△DCB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．
②∵△ABD∽△DCB，
∴＝，
而AD＝2，BC＝8，
∴＝，
∴DB2＝16，
∴BD＝4．