1.3相似三角形的性质 优生辅导训练 2021-2022学年青岛版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年青岛版九年级数学上册《1.3相似三角形的性质》优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．若△ABC的每条边长增加各自的20%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了20%
B．减少了20%
C．增加了（1+20%）
D．没有改变
2．已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（　　）
A．35°
B．45°
C．65°
D．80°
5．两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm2，则较小的三角形的面积为（　　）cm2．
A．1
B．3
C．4
D．6
6．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
7．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．已知△ABC∽△A'B'C'，若AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C′的面积比等于　
　．
9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应角平分线的比为　
　．
10．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是对应高，且AD：A′D′＝2，则△ABC与△A′B′C′的周长比是　
　．
11．若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为　
　．
12．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：CD＝1：3，AC＝2，则BD的长为
　
　．
13．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则相似比为　
　．
14．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为
　
　．
三、解答题
15．已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是线段AC的中点，点E在线段AB上，若△ADE与△ABC相似，求AE的长．
16．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP．
（1）求证：BP＝MN；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC．
17．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．
（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°．求BD的长．
19．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC、AC、AB的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）求线段BG的长．
（2）求证：DG平分∠EDF．
（3）连接CG，如图，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．
20．已知：如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，若AC＝3，BC＝4，求AD．
21．两个相似三角形对应边的比是2：3．它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
22．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．
参考答案
1．解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B．
故选：D．
2．解：∵△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，
∴相似比为AB：DE＝3：5，
∴其面积之比为9：25．
故选：A．
3．解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故选：B．
4．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．
故选：C．
5．解：根据题意两三角形的相似比是：6：12＝1：2，
则面积比为1：4，
已知大三角形面积为12cm2，
则小三角形的面积为3cm2．
故选：B．
6．解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴＝，
解得：AB＝6．
故选：D．
7．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，
∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，
故选：A．
8．解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C′的面积比＝（）2，
∵AB＝8，A'B'＝6，
∴△ABC与△A'B'C′的面积比为16：9，
故答案为：16：9．
9．解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应角平分线之比为2：3，
故答案为：2：3．
10．解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是对应高，AD：A′D′＝2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：1，
故答案为：2：1．
11．解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：3，
∴S△ABC：S△DEF＝4：9．
∵△DEF的面积为9，
∴△ABC的面积＝4．
故答案为：4．
12．解：∵OC：CD＝1：3，
∴OC：OD＝1：2，
∵△AOC∽△BOD，
∴，
即，
解得：BD＝4，
故答案为：4．
13．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4＝，
∴相似比＝＝＝1：2．
故答案为：1：2．
14．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似；
当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似；
当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：n＝＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：m＝＝，
故m+n＝10+；
综上所述：m+n的值为5+2或10+，
15．解：∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝3．
∵△ADE与△ABC相似，
当时，
即，
解得AE＝．
当时，
即，
解得：AE＝4，
综上所述，AE的值为4或．
16．解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM＝BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM＝MN，
∴BP＝MN；
（2）解：∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠AMB+∠CMQ＝90°，
∴∠BAM＝∠CMQ，
又∵∠ABM＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴，
∴，
∴BM＝MC．
17．解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，
∴＝，
∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
18．解：（1）结论：BD＝CE，
理由：∵△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
∴∠DAH＝30°，
∵∠H＝90°，AD＝4，
∴DH＝2，AH＝2，
∴BH＝AH+AB＝4
在Rt△BDH中，BD＝．
19．（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴BG＝AC+AG，
∵BG+（AC+AG）＝AB+AC，
∴BG＝（AB+AC）＝（b+c）；
（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，
∴DF＝AC＝b，BF＝AB＝c，
又∵FG＝BG﹣BF＝（b+c）﹣c＝b，
∴DF＝FG，
∴∠FDG＝∠FGD，
∵点D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDG＝∠FGD，
∴∠FDG＝∠EDG，
即DG平分∠EDF；
（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD＝∠DGF（公共角），
∴∠B＝∠FDG，
由（2）得：∠FGD＝∠FDG，
∴∠FGD＝∠B，
∴DG＝BD，
∵BD＝CD，
∴DG＝BD＝CD，
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC＝90°，
即BG⊥CG．
20．解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，
即：，
解得：AD＝，
∴AD的长为．
21．解：设两个三角形的面积分别为x，y，则有，
解得x＝20，y＝45
答：较小三角形面积为20．
22．解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，
∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．
设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．
∵∠B＝∠D＝90°，
∴存在两种情况．
①当△CDP∽△ABP时，＝，
即＝，
∴x＝；
②当△PDC∽△ABP时，＝，
即＝，
整理，得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6．
∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm