理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
C
C
B
D
A
C
D
A
D
【解析】
1．，，故选C．
2．因为，，则，所以，故选Ａ．
3．根据频率分布直方图知：组距为20，所以，故A选项正确；这100株水稻的稻穗数平均值
，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间中，故B选项错误；由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确；前两个矩形的面积是，前三个矩形的面积是，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中，故选项D正确，故选B．
4．设等差数列的首项为，公差为，，，解得：
则，故选Ｃ．
5．由得，，又，所以，于是且，得，故选C．
6．根据三视图知，三棱锥是一个正四面体，它的体积等于正方体的体积减去正方体四个角处三棱锥的体积．记每一个角处三棱锥的体积为，则
，故选B．
7．依题意，直线是两条曲线，的公切线，切点为，设，因为，且公切线的斜率为1，所以由(2)得，，即，据换底公式，，将此式代入(1)得，，即，解得，故选D．
8．设椭圆的右焦点为，，又
，，当三点共线时取等号，的最小值为3，故选A．
9．由题知，方程有且只有一个解，令
，即直线与曲线有且只有一个交点，
，当时，，则，在上单调递增，当时，，则，在上单调递减，
，当时，，当时，，所以，故选C．
10．不超过44的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43，共14个，满足“和”等于44的有(3，41)，(7，37)，(13，31)共有3组，，故选D．
11．据题意点的坐标是，点是线段的中点，则直线的方程为，点是圆上的一点，点到直线距离的最小值也就是圆心到直线的距离减去半径，即，
则，故选A．
12．由题可得正四棱锥的高为2，故可将正四棱锥放置在棱长为2的正方体中，如图1所示，易得线段的中点即为点，连接，则，进而，，所以在平面内，点的轨迹是以为圆心、以1为半径的圆，参考图2据平面几何知识不难算出圆心到线段的距离为，所以长度的最小值为，故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
120
【解析】
13．作出可行域，如图3中阴影部分所示，由解得故，作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最小值为．
14．当时，；当时，，，又．
15．据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共有6种选择，根据乘法原理，这样的四位数共有个．
16．由题得，记函数的最小正周期为，则的零点与极值点之间的距离：，从而，而函数在区间上单调，因此任何极值点都不在区间内，因为是函数的一个极值点，所以的极值点为，从而，或，亦即，或，容易验证当时符合题意，当时不符合题意，而当时，有，也不符合题意．综上所述，的所有可能的取值构成的集合为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1），点在椭圆上，
所以，得，从而，
所以椭圆的方程是．
………………………………………………（6分）
（2）直线的方程是，因为，且过点，
所以直线的方程是，与椭圆联立得
所以两点的坐标分别为，
则．………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）由知，
由正弦定理得，
将代入该式化简后得，
由于是三角形的内角，
则或者，舍去，
故，外接圆的半径为2，即，且，
由正弦定理得，
所以，且，
所以，故．
…………………………………………………（6分）
（2）因为外接圆的半径为2，即，且，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理知，根据基本不等式有
所以，当时取等．
，
所以面积的最大值为．
………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：由题得，
，，在中，
由余弦定理得，所以是直角三角形，即，
又，且，所以平面，
因为是平行四边形，所以，
所以平面，且平面，
故平面平面．
…………………………………………………（6分）
（2）解：由（1）知，
，又，，
所以，且，
以为原点，分别以及平行于所在的直
线为轴建立空间直角坐标系（如图4所示），
连接，在平行四边形中，易得，
在直角三角形中，，
于是，，
因为是的中点，所以，
设平面的法向量，
则
取得，，
由（1）知轴，所以平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
故所求二面角的余弦值为．
…………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）设“三个黑球相连在一起被摸出”为事件A，则，
故三个黑球相连在一起被摸出的概率为．
…………………………………………（4分）
（2）由题意可知的所有可能取值为1、2、3、4，
，
…………………………………………………（8分）
则X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
所以．………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：的定义域为，，
令，依题意在内有两个变号零点，
则方程的判别式，且，解得，且，
故．
…………………………………………………（4分）
（2）证明：由（1）及韦达定理得，
因为函数图象的对称轴为，
所以，即，
，
其中，令，
，
令，
，
又函数在上是单调递增的，且，，
存在，使得在上有，单调递减；
在上，，单调递增，，，
，即，所以单调递减，
因为，所以，
则，不等式得证．……………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：（1）因为，
曲线C的普通方程为
的直角坐标方程为．
…………………………………………………（5分）
（2）过定点，设曲线C上的点，且，
则，
当且仅当时取得最小值．
…………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
解：（1）
当时，，解得或，
又，所以；
当时，，解得，
又，所以；
当时，，解得或，
又，所以．
综上，原不等式的解集为．
……………………………………（5分）
（2）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时取等号，
故解得．
…………………………………………………（10分）
图2
图1
图3
图4
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理科数学试卷
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母
题
球
球且不放
球都被摸
表
球被
数
序为“黑票
黑球相
戴九履
效
数
片
数
演算步骤
题
题
意
题
答题
置
选修
数
卜接圆的半
极
最
线
选修
平
题
题
填
解
答
本小题
第一题计
题
