2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册第一章反比例函数同步优生辅导训练（Word版，含答案解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第1章反比例函数》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．下列函数中，为反比例函数的是（　　）
A．y＝﹣x
B．y＝
C．y＝
D．y＝5x﹣1
2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　）
A．v＝
B．v+t＝480
C．v＝
D．v＝
3．函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
4．一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象如图所示，则（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＞0，b＞0，c＞0
D．a＜0，b＜0，c＜0
5．如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．对于反比例函数y＝﹣，当y＞2时，x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣4
B．x＜﹣4
C．﹣4＜x＜0
D．x＜﹣4或x＞0
7．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3
D．y3＜y2＜y1
8．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（　　）
A．12
B．6
C．﹣12
D．8
10．如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（　　）
A．2
B．
C．1
D．4
11．如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（　　）
A．﹣12
B．﹣15
C．﹣20
D．﹣30
12．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为4，则k的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知：是反比例函数，则m＝　
　．
14．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　
　．
15．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为
　
　．
16．如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形OABC和OA'B'C'按图示方式进行放置（其中OA在x轴正半轴上，点B'在y轴正半轴上），OA'与BC相交于点D，若点B坐标为（3，1），则经过点D的反比例函数解析式是　
　．
17．如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，OA⊥OB，则的值为
　
　．
三、解答题
18．如图，点M是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点M作x的平行线交反比例函数y＝﹣（x＜0）图象于点N．
（1）若点M的坐标为（1，5），则点N的坐标为　
　；
（2）若点P是x上的任意一点，则△PMN的面积是否发生变化？请说明理由．
19．如图：一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．已知一辆货车上装有20吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过4小时卸完车上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
21．已知P（2，n）为反比例函数（x＞0）图象上的一点．将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移过点P时，交x轴于点Q，若点M为y轴上一个动点，求PM+QM的最小值．
22．如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣1）和B（4，n），点P（1，b）在反比例函数y＝的图象上．
（1）求反比例函数的解析式和点P的坐标；
（2）连接AP，求△AOP的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴和x轴的正半轴上的动点，正方形ABCD的顶点C，D在第一象限．
（1）当AB＝2，∠OAB＝30°时，正方形ABCD的一个顶点恰好在反比例函数y＝（k为常数，x＞0）的图象上，求k的值；
（2）保持AB＝2不变，移动点A，B，使OA：OB＝1：2，求此时点D的坐标，并判断点D是否在（1）中的反比例函数图象上．
24．探究函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
﹣10
﹣5
﹣4
﹣3
﹣
﹣
﹣1
0
1
6
…
y＝
…
﹣
﹣
﹣2
﹣4
﹣8
8
4
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，如图描出相应的点；
回答问题：
（1）在平面直角坐标系中，用光滑的曲线画出该函数的图象．
（2）写出该函数的两条性质．
（3）结合函数图象，直接写出方程＝x的解．
25．【探究新知】如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数y＝的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．
【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数y＝图象上的位置，如图3所示，MN与x轴、y轴分别交于点A、点B，若BM＝5，请求AN的长．
参考答案
1．解：A．y＝﹣x，y是x的一次函数，因此选项A不符合题意；
B．y＝，y是x的一次函数，因此选项B不符合题意；
C．y＝，y是x2的反比例函数，因此选项C不符合题意；
D．y＝5x﹣1＝，y是x的反比例函数，因此选项D符合题意；
故选：D．
2．解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．
故选：A．
3．解：∵反比例函数y＝的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
4．解：观察发现一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象位于二、四象限，
所以a＜0，b＜0，c＜0，
故选：D．
5．解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，
∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；
由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），
而3＝﹣，
故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①，
故选：A．
6．解：∵k＝﹣8＜0，
∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵当y＝2时，x＝﹣4，
∴x的取值范围为﹣4＜x＜0，
故选：C．
7．解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
8．解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为×4＝2；
图3中，阴影面积为2××4＝4；
图4中，阴影面积为4××4＝8；
则阴影面积为4的有2个．
故选：B．
9．解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），
所以E（a+b，），
所以＝a﹣b，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k＝12．
故选：A．
10．解：设B点坐标为（a，b），
∵矩形OABC的边AB的中点为F，
∴F点的坐标为（a，），
∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a?，
∴ab＝2k，
∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，
∴ab＝2+k+k，
∴2k＝k+2，
∴k＝2．
故选：A．
11．解：过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12，
故选：A．
12．解：作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，
∵∠OAE+∠BAF＝90°＝∠OAE+∠AOE，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△AOE和△BAF中，
，
∴△AOE≌△BAF（AAS），
∴OE＝AF，AE＝BF，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点A的纵坐标为4，
∴A（，4），
∴B（+4，4﹣），
∴k＝（+4）（4﹣），
解得k＝﹣8±8（负数舍去），
∴k＝8﹣8，
故选：D．
13．解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5＝﹣1，
即m2＝4，解得：m＝2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
15．解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．解：∵点B坐标为（3，1），
∴AO＝3，AB＝CO＝1，
∵矩形OABC和OA′B′C′全等，
∴OA′＝OA＝3，A′B′＝AB＝1，
∵∠A′＝∠DCO＝90°，∠DOC＝∠B′OA′，
∴△CDO∽△A′B′O，
∴＝，即＝，
∴CD＝，
∴D（，1），
设经过点D的反比例函数解析式为y＝，
∴k＝×1＝，
∴经过点D的反比例函数解析式为：y＝，
故答案为：y＝．
17．解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，
∴（）2＝＝＝，
∴＝．
故答案为：．
18．解：（1）点N的坐标为（﹣1，5）；
（2）△PMN的面积不会发生变化．理由是：
设点M的坐标为（a，），
当y＝时，﹣＝，
解得x＝﹣a，
即点N的坐标为（﹣a，），
∴MN＝a﹣（﹣a）＝2a，
∴S△PMN＝MN?h＝×2a×＝5．
∴△PMN的面积不会发生变化．
第（2）小题另解的思路：（2）△PMN的面积不会发生变化．
理由是：如右图，过点N作NA∥MP，NB⊥x轴，MC⊥x轴，
易证得：四边形NAPM是平行四边形，
四边形NBCM是矩形．
∵点M、N分别在反比例函数y＝与y＝﹣的图象上，
∴S矩形NBCM＝2×5＝10，
∴S△PMN＝S四边形NAPM＝S矩形NBCM＝5，
∴△PMN的面积不会发生变化．
19．解：（1）B（﹣1，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝（﹣1）×（﹣4）＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A（2，m）也在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝2，
即A（2，2），
把点A（2，2），点B（﹣1，﹣4）代入一次函数y＝ax+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x﹣2；
故反比例函数解析式为y＝，一次函数得到解析式为y＝2x﹣2；
（2）在y＝2x﹣2中，当x＝0时，得y＝﹣2，
∴直线y＝2x﹣2与y轴的交点为C（0，﹣2），
∴S△AOB＝×2×2+×2×1＝3．
20．解：（1）依题意得：vt＝20，
∴v＝（t＞0）．
（2）∵k＝20＞0，
∴在第一象限，v随t的增大而减小．
又当t＝4时，v＝＝5，
∴当0＜t≤4时，v≥5．
答：平均每小时至少要卸货5吨．
21．解：∵P（2，n）在反比例函数图象上，
∴n＝＝2，
∴P（2，2），
∵将直线y＝﹣2x沿x轴向右平移过点P时，交x轴于点Q，
∴设PQ的解析式为：y＝﹣2x+b，
∵P（2，2），
∴﹣2×2+b＝2，
∴b＝6，
∴PQ的解析式为：y＝﹣2x+6，
当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得：x＝3，
∴Q（3，0），
∴点Q关于y轴对称的点Q′（﹣3，0），
则PM+QM的最小值即为PQ′的长，
PQ′＝＝．
22．解：（1）把点A（m，﹣1）和B（4，n）代入y＝x得，﹣1＝m，n＝×4，
∴m＝﹣4，n＝1，
∴点A（﹣4，﹣1），B（4，1），
∵反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（﹣4，﹣1）和B，
∴k＝﹣4×（﹣1）＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P（1，b）在反比例函数的图象上．
∴b＝＝4，
∴P（1，4）；
（2）设直线AP的解析式为y＝ax+d，
∵点A（﹣4，﹣1），P（1，4），
∴，解得，
∴直线AP为y＝x+3，
设直线AP与y轴的交点为C，则C（0，3），
∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝．
23．解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，过点D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
又∵∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
同理可证，△AOB≌△AMD，
即△AOB≌△AMD≌△BHC，
∵∠OAB＝30°，AB＝2，
∴CH＝OB＝AM＝1，BH＝OA＝DM＝，
∴C（，1），D（，+1），
∵正方形ABCD的一个顶点恰好在反比例函数y＝（k为常数，x＞0）的图象上，
∴顶点C或顶点D在反比例函数上，
①当C点在反比例函数上时，
k＝+1；
②当D点在反比例函数上时，
k＝×（+1）＝3+；
∴k的值为+1或3+；
（2）过点D作DM⊥y轴于M，
由（1）知，△AOB≌△AMD，
∵OA：OB＝1：2，AB＝2，
设OA＝x，则OB＝2x，
由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2，
即22＝x2+（2x）2，
解得x＝（舍负），
即MA＝OB＝，MD＝OA＝，
∴D（，），
∵×＝≠+1，
∴点D不在（1）中的反比例函数图象上．
24．解：（1）在平面直角坐标系中，该函数的图象为：
（2）答案不唯一，例如：①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；
②当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；
（3）x＝﹣4或x＝2，理由如下：
在平面直角坐标系中画出y＝图象为：
∴从图象易知两支图象有两个交点，分别在x＝﹣4和x＝2处，
∴方程＝x的解为x＝﹣4或x＝2．
25．解：（1）CD∥AB，
过点C作CF⊥AB于F，过点D作DE⊥AB于E，
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CF＝DE，
∵CF∥DE，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴CD∥AB；
（2）如图，连接MF，EN，
∵点M，N在反比例函数y＝的图象上，过点M作ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE×EM＝k，OF×FN＝k，
∵S△MEF＝，
S△NFO＝，
∴S△MEF＝S△NFO，
由（1）知：MN∥EF；
（3）过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
由（2）同理可得EF∥MN，
∵ME∥x轴，NF∥y轴，
∴四边形FAME、FNBE是平行四边形，
∴EF＝AM，EF＝BN，
∴AM＝BN，
∴MB＝NA
∵MB＝5，
∴AN＝5．