第1章反比例函数 能力提升综合训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第1章反比例函数》能力提升综合训练（附答案）
一．选择题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列选项中，两种量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是（　　）
A．时间一定，路程与速度
B．圆的周长与它的半径
C．被减数一定，减数与差
D．圆锥的体积一定，它的底面积与高
3．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．图象分布在第一、三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象经过点（2，3）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
6．若双曲线位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1
B．k≥1
C．k＞1
D．k≠1
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点A在函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，点C的坐标为（2，﹣2），则k的值为（　　）
A．4
B．2
C．﹣2
D．﹣4
8．在一次数学课上，李老师出示一道开放题，让同学们依据已知条件写出正确结论，具体如下：如图，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点，过点A和B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为E，F，连接AF，BE，EF，直线y＝x+b与x轴和y轴分别交于点C，D．若点A坐标（﹣4，﹣2），请写出正确结论．聪明的强强很快写出了四个结论，其中不正确的结论是（　　）
A．y＝x+2
B．S四边形ACOE＝S四边形BDOF
C．△ABE≌△BAF
D．EF：AB＝1：4
二．填空题
9．已知：是反比例函数，则m＝　
　．
10．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　
　．
11．已知直线y＝kx
（k＞0）与双曲线相交于点A（x1，y1）（第一象限）、B（x2，y2）（第三象限），则5x1y2﹣x2y1的值是　
　．
12．边长为4的正方形ABCD的中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积之和是　
　．
13．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，当P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　
　．
14．函数y＝的定义域是　
　．
15．已知y与x﹣1成反比例，且当x＝2时，y＝3，则y与x的函数关系式为　
　．
三．解答题
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，比较kx+b与的大小．
17．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为
　
　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为
　
　．
18．很多人喜欢喝茶的艺术，也很享受泡茶过程中的乐趣．喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了2分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是18℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）求烧水时的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到85℃就可以进行泡制茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．
20．如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
21．如图，一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，反比例函数在第三象限的图象上有点D到直线AC的距离最小时，直接写出点D的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：A．是反比例函数，故本选项符合题意；
B．不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C．不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D．不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：A、时间一定，路程与速度成正比例；
B、圆的周长与它的半径成正比例；
C、被减数一定，减数与差既不是成正比例的量，也不是成反比例；
D、圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例；
故选：C．
3．解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
4．解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为×4＝2；
图3中，阴影面积为2××4＝4；
图4中，阴影面积为4××4＝8；
则阴影面积为4的有2个．
故选：B．
5．解：A、k＝6＞0，∴它的图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
B、k＝6＞0，当x＞0时，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
C、∵＝3，∴点（2，3）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＞y2，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
6．解：∵双曲线位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1．
故选：A．
7．解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGAH＝S矩形OECF，
∵点C的坐标为（2，﹣2），
∴OE＝2，OF＝2，
∴S矩形OECF＝OE?OF＝4，
设A（a，b），则OH＝﹣a，OG＝b，
∴S矩形OGAH＝OH?OG＝﹣ab＝4，
又∵点A在函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，
∴k＝ab＝﹣4
故选：D．
8．解：∵点A坐标（﹣4，﹣2）在一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象上，
∴k＝8，b＝2，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，反比例函数的关系式为y＝，
因此选项A正确，不符合题意；
∵一次函数y＝x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2），
∴OC＝OD＝2，
由一次函数y＝x+2与反比例函数y＝联立可求出另一个交点B坐标为（2，4），
∴AE＝BF＝4，OE＝OF＝2，
∴S四边形ACOE＝S四边形BDOF＝（2+4）×2＝6，
因此选项B正确，不符合题意；
∵BF∥OD，AE∥OC，∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴∠ABF＝∠BAE＝45°，
又∴AE＝BF，AB＝BA，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
因此选项C正确，不符合题意；
过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥y轴，垂足分别为M、N，
在Rt△COD，Rt△EOF，Rt△AMC，Rt△BND中，由勾股定理可得，
CD＝EF＝AC＝BD＝2，
∴EF：AB＝1：3，因此选项D不正确，符合题意，
故选：D．
二．填空题
9．解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5＝﹣1，
即m2＝4，解得：m＝2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
11．解：由题意知，直线y＝kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y＝交于两点，则这两点关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
又∵点A点B在双曲线y＝上，
∴x1×y1＝9，x2×y2＝9，
∵由反比例函数的性质可知，A、B两点关于原点对称，
∴x1×y2＝﹣9，x2×y1＝﹣9，
∴5x1y2﹣x2y1＝5×（﹣9）﹣×（﹣9）＝﹣44．
故答案为：﹣44．
12．解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．
∵正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，
∴四个小正方形全等，
反比例函数的图象与两坐标轴及正方形各边所围成的图形对应全等，
∴阴影部分的面积＝S?ABCD＝×16＝8．
故答案为：8．
13．解：由于P点在y＝上，则S□PCOD＝2，A、B两点在y＝上，
则S△DBO＝S△ACO＝×1＝．
∴S四边形PAOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝2﹣﹣＝1．
∴四边形PAOB的面积为1．
故答案为：1．
14．解：∵函数y＝，
∴2x+3≠0，
解得，x≠﹣，
故答案为：﹣．
15．解：设y＝．根据题意得：3＝，
解得：k＝3．即函数解析式是y＝．
故答案是：y＝．
三．解答题
16．解：（1）S△AOB＝OA?OB＝3，
∴OA＝2，
∴点A的坐标是（0，﹣2），
∵B（3，0）∴∴∴y＝x﹣2．
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，∴C（6，2）
∴m＝2×6＝12．
∴y＝．
（2）由C（6，2），观察图象可知：
当0＜x＜6时，kx+b＜；
当x＞6时，kx+b＞．
17．解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
18．解：（1）设停止加热2分钟后函数解析式为y＝，
把D（17，60）代入上式得：60＝
解得：k＝1020，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝10.2，
∴C点坐标为（10.2，100），
∴B点坐标为（8.2，100），
设烧水时的函数关系式为y＝ax+18，
由题意得：100＝8.2a+18，
解得：a＝10，
∴烧水时的函数关系式为y＝10x+18（0≤x≤8.2）；
（2）把y＝85代入y＝，得85＝，
解得：x＝12（min），
因此从烧水开到泡茶需要等待＝12﹣8.2＝3.8（分钟）．
19．解：（1）把点A（﹣2，1）代入反比例函数y＝得：
1＝，
解得：m＝﹣2，
即反比例函数的解析式为：y＝﹣，
把点B（1，n）代入反比例函数y＝﹣得：
n＝﹣2，
即点A的坐标为：（﹣2，1），点B的坐标为：（1，﹣2），
把点A（﹣2，1）和点B（1，﹣2）代入一次函数y＝kx+b得：
，
解得：，
即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，
（2）把y＝0代入一次函数y＝﹣x﹣1得：
﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
即点C的坐标为：（﹣1，0），OC的长为1，
点A到OC的距离为1，点B到OC的距离为2，
S△AOB＝S△OAC+S△OBC＝+＝，
（3）如图可知：kx+b＜的解集为：﹣2＜x＜0，x＞1．
20．解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，
a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有，
解得，，
∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，
∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），
即点P的坐标为（0，）．
21．解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，
∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，y＝＝6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m＝6，
解得m＝5，
∴一次函数的解析式为y1＝x+5；
（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，
∴点C的横坐标为3，
∴y＝＝3，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5＝2，
解得x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD＝3﹣（﹣3）＝6，
点A到CD的距离为6﹣2＝4，
联立，
解得或，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）＝3，
S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝×6×4+×6×3＝21；
（3）根据题意，向左平移直线AC，当AC与第三象限的图象相切时，切点就是D点，此时，D到直线AC的距离最小，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
代入A（1，6），C（3，2）得，
解得k＝﹣2，b＝8，
∴AC解析式为y＝﹣2x+8，
平移AC得y＝﹣2x+n，
联立
∴﹣2x2+nx﹣6＝0，
由△＝n2﹣4×（﹣2）×（﹣6）＝0，
可得n＝﹣4，
∴平移AC得y＝﹣2x﹣4，
解得
∴D（﹣，2）．