《第2章轴对称》同步能力达标测评（附答案） 2021-2022学年鲁教版(五四制)七年级数学上册（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 《第2章轴对称》同步能力达标测评（附答案） 2021-2022学年鲁教版(五四制)七年级数学上册（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 360.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-24 22:11:21 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《第2章轴对称》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是（ ）
A．22
cm
B．17
cm
C．22cm或17cm
D．无法确定
2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．4
B．12
C．24
D．48
3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
5．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝6，PE＝4，S△ABC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，与BD交于点E，若BC＝5，△BCE的面积为5，则ED的长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
9．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（ ）
A．m°
B．（90﹣m）°
C．（90﹣m）°
D．（90﹣m）°
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是
．
12．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为
．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝
°．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为
．
15．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是
．
16．如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是
cm2．
17．已知在等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且BC＝2AD，则等腰△ABC底角的度数为
．
18．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是
．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD是∠BAC的平分线，BC＝6，AD＝4，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
．
20．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、Q同时在不等边△ABC的内部时，∠BOC＝100度，那么∠BPC＝
．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
22．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：
．
（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝
°，∠DEC＝
°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
25．如图△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
26．17．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：A．
2．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
4．解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝20°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFA＝90°+20°＝110°．
故选：C．
5．解：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
∴C△ADE＝3AD，
当△ADE周长最小时，
即AD最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
此时，BD＝AB?sin30°＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2＝60°，
又∵∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，
故选：C．
6．解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE?OM+AF?OD＝OD?（AE+AF）＝mn；故④错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
故选：C．
7．解：如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，连接AP，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，
∴PF＝PG＝PE＝4，
∵S△BPC＝6，
∴×BC×4＝6，
解得，BC＝3，
∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP，
＝×（AB+AC）×4﹣6
＝8，
∴AB+AC＝7，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10，
故选：B．
8．解：过点E作EF⊥BC于F，
∵△BCE的面积为5，
∴×BC×EF＝5，即×5×EF＝5，
解得，EF＝2，
∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC，
∴ED＝EF＝2，
故选：C．
9．解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
10．解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180﹣）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180﹣+m）°＝（90﹣m）°．
故选：D．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠DCB＝∠CDF
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBE＝∠BDE，∠FCD＝∠DCB＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△AEF的周长＝AF+FE+AE＝AF+DF+DE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC，
∵AB＝5cm，AC＝3cm，
∴△AEF的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
12．解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，
故答案为：45°．
13．解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，
∴∠B+2∠B+84°＝180°，
解得∠B＝32°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠ADC＝64°，
∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．
∴∠E+∠ADC＝90°，
解得∠E＝26°．
故答案为26．
14．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长为10，BC＝4，
∴4+BE+CE＝10，
∵AE＝CE，
∴AE+BE＝10﹣4＝6，
∴AB＝AE+BE＝6．
故答案为：6．
15．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
16．解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
17．解：①当AB＝AC时，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，
∴BD＝DC，∠ADB＝90°．
∵BC＝2AD，
∴BD＝AD．
∴∠B＝∠BAD．
∵∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝45°．
②当CA＝CB时，在Rt△ADC中，AC＝2AD，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝∠CAB＝75°，
③当AB＝BC时，在Rt△ADB中，
∵AD＝BC，AB＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠DBA＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°．
故答案为：15°或45°或75°．
18．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
19．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，
∴BQ＝＝，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
20．解：连接AO，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC），
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝100°，
解得，∠BAC＝50°，
∴∠BPC＝90°+×50°＝115°，
故答案为：115°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
22．（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
故答案为∠BAC＝2∠EDC．
（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．
理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，
∵KE⊥EC，
∴∠E＝90°，
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
23．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
24．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
25．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
26．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是（ ）
A．22
cm
B．17
cm
C．22cm或17cm
D．无法确定
2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．4
B．12
C．24
D．48
3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
5．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC＝6，PE＝4，S△ABC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，与BD交于点E，若BC＝5，△BCE的面积为5，则ED的长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
9．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（ ）
A．m°
B．（90﹣m）°
C．（90﹣m）°
D．（90﹣m）°
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是
．
12．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为
．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝
°．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为
．
15．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是
．
16．如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是
cm2．
17．已知在等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且BC＝2AD，则等腰△ABC底角的度数为
．
18．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是
．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD是∠BAC的平分线，BC＝6，AD＝4，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
．
20．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、Q同时在不等边△ABC的内部时，∠BOC＝100度，那么∠BPC＝
．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
22．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：
．
（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝
°，∠DEC＝
°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
25．如图△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
26．17．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：A．
2．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
4．解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝20°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFA＝90°+20°＝110°．
故选：C．
5．解：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
∴C△ADE＝3AD，
当△ADE周长最小时，
即AD最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
此时，BD＝AB?sin30°＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2＝60°，
又∵∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，
故选：C．
6．解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE?OM+AF?OD＝OD?（AE+AF）＝mn；故④错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
故选：C．
7．解：如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，连接AP，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，
∴PF＝PG＝PE＝4，
∵S△BPC＝6，
∴×BC×4＝6，
解得，BC＝3，
∵S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP，
＝×（AB+AC）×4﹣6
＝8，
∴AB+AC＝7，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10，
故选：B．
8．解：过点E作EF⊥BC于F，
∵△BCE的面积为5，
∴×BC×EF＝5，即×5×EF＝5，
解得，EF＝2，
∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC，
∴ED＝EF＝2，
故选：C．
9．解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
10．解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180﹣）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180﹣+m）°＝（90﹣m）°．
故选：D．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠DCB＝∠CDF
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBE＝∠BDE，∠FCD＝∠DCB＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△AEF的周长＝AF+FE+AE＝AF+DF+DE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC，
∵AB＝5cm，AC＝3cm，
∴△AEF的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
12．解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，
故答案为：45°．
13．解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，
∴∠B+2∠B+84°＝180°，
解得∠B＝32°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠ADC＝64°，
∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．
∴∠E+∠ADC＝90°，
解得∠E＝26°．
故答案为26．
14．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长为10，BC＝4，
∴4+BE+CE＝10，
∵AE＝CE，
∴AE+BE＝10﹣4＝6，
∴AB＝AE+BE＝6．
故答案为：6．
15．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
16．解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
17．解：①当AB＝AC时，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，
∴BD＝DC，∠ADB＝90°．
∵BC＝2AD，
∴BD＝AD．
∴∠B＝∠BAD．
∵∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝45°．
②当CA＝CB时，在Rt△ADC中，AC＝2AD，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝∠CAB＝75°，
③当AB＝BC时，在Rt△ADB中，
∵AD＝BC，AB＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠DBA＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°．
故答案为：15°或45°或75°．
18．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
19．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，
∴BQ＝＝，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
20．解：连接AO，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC），
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝100°，
解得，∠BAC＝50°，
∴∠BPC＝90°+×50°＝115°，
故答案为：115°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
22．（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
故答案为∠BAC＝2∠EDC．
（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．
理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，
∵KE⊥EC，
∴∠E＝90°，
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
23．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
24．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
25．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
26．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝