(共32张PPT)
1 简谐运动
第二章
2021
学习目标
思维导图
1.认识弹簧振子(物理观念)
2.通过观察和分析,理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线
(科学思维)
3.体验对简谐运动运动学特征的探究过程,加深领悟用图像描绘运动的方法(科学探究)
课前篇
自主预习
[自主阅读]
一、弹簧振子及其位移—时间图像
1.机械振动
物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。
2.平衡位置
振动物体所受合力为0的位置。
3.弹簧振子(或振子)
把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以忽略。小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
4.弹簧振子的位移—时间图像
小球相对平衡位置的位移随时间变化的图像。
二、简谐运动
1.定义
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。
2.特点
简谐运动是最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
[自我检测]
1.正误判断
(1)简谐运动就是指弹簧振子的运动。( )
解析
只要运动的x-t图像满足正弦曲线,该运动即为简谐运动。
答案
×
(2)简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种运动。( )
答案
√
(3)只要有弹簧、物体,就可以组成弹簧振子。( )
解析
弹簧振子是一种理想模型,它要求物体与水平杆之间的摩擦忽略不计,弹簧的质量比物体的质量小得多,也可以忽略不计。
答案
×
(4)振动的物体可以做直线运动,也可以做曲线运动。( )
答案
√
(5)振动物体的位移都是以平衡位置为初位置的。( )
答案
√
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.机械振动就是简谐运动
B.只有振动图像是正弦曲线的机械振动才是简谐运动
C.简谐运动是匀速运动
D.弹簧振子、质点和点电荷都是理想化模型
答案
BD
3.(多选)如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,当振子从A点运动到C点时,下列说法正确的是( )
A.位移大小为OC
B.位移方向向右
C.位移大小为AC
D.位移方向向左
解析
振子离开平衡位置,以O点为起点,C点为终点,位移大小为OC,方向向右,选项A、B正确。
答案
AB
课堂篇
探究学习
问题一
对弹簧振子和简谐运动的理解
[情境探究]
竖直方向上的弹簧振子的振动有什么规律?
要点提示
竖直方向上的弹簧振子和水平方向上的类似,也总是在某一位置附近做往复性的运动。
[知识归纳]
1.对弹簧振子的理解
(1)弹簧振子是一个理想化模型,跟前面学习的质点、点电荷等一样,是为研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置
①振子静止时的位置,在平衡位置时,物体受到的合力为零。
②在平衡位置时,弹簧不一定处于原长。
(3)实际物体看作弹簧振子的四个条件
①弹簧的质量比物体的质量小得多,可以认为整体质量集中于物体上;
②构成弹簧振子的物体体积足够小,可以认为物体是一个质点;
③忽略弹簧以及物体与水平杆之间的摩擦力;
④物体从平衡位置被拉开的位移在弹簧弹性限度内。
2.对简谐运动的理解
(1)简谐运动的位移
①振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示,方向为从平衡位置指向振子所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:振子在平衡位置速度最大,在两最大位移处速度为零。
(3)加速度
①产生:水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点:与弹簧弹力方向相同,总是指向平衡位置,始终和位移方向相反。
③大小变化规律:远离平衡位置运动,振子的加速度增大;向平衡位置运动,振子的加速度减小。平衡位置,振子的加速度为零;最大位移处,振子的加速度最大。
要点笔记
简谐运动中的位移、速度和加速度是彼此独立的物理量,在同一位置,物体的位移和加速度的方向是一定的,而速度的方向却有两种可能。
[典例剖析]
例题1(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示,用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小球的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
解析
平衡位置是振动系统不振动时,小球(振子)处于平衡状态时所处的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,选项C、D正确,A、B错误。
答案
CD
变式训练1如图所示为一鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位到达M点。松手后,鱼漂会上下运动,水位在M、N之间来回移动。鱼漂的运动可看成是简谐运动。下列说法正确的是( )
A.水位到达N点时,鱼漂的速度最大
B.水位在O点时,鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
解析
O点是平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,A错误,B正确;水位到达M点时,鱼漂具有向上的加速度,C错误;鱼漂由上往下运动时,可能加速也可能减速,D错误。
答案
B
问题二
对简谐运动图像的理解
[情境探究]
如图所示,在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的绘图笔P,在下面放一条白纸带,绘图笔可在纸带上留下痕迹。
(1)振子振动时白纸带不动,画出的轨迹是怎样的?
(2)振子振动时,匀速拖动白纸带,画出的轨迹又是怎样的?
要点提示
(1)一条线段。
(2)一条正弦曲线。
[知识归纳]
1.形状:正弦曲线。
2.物理意义:表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律。
3.获取信息
(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中A点,下一时刻离平衡位置更远,故A点此刻向上振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断:先判断质点在这段时间内的振动方向,从而确定各物理量的变化。如图甲所示,质点在t1时刻到t0时刻这段时间内,离平衡位置的位移变小,故质点正向平衡位置运动,速度增大,位移和加速度都变小。
要点笔记
弹簧振子的轨迹是一条线段,振动图像是正弦曲线。
[典例剖析]
例题2(2021新疆实验中学高二期末)如图所示为一质点的简谐运动图像。由图可知,下列说法正确的是( )
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25
s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1
m
解析
质点做简谐振动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时间的图像是正弦曲线(余弦曲线),A错误;由题图可知,t=0时,质点正通过正向最大位移处向负方向运动,B错误;由题图可知,t=0.25
s时,质点的速度方向与位移的正方向相同,C错误;质点运动过程中,两端点间的距离为
d=0.05
m+0.05
m=0.1
m,D正确。
答案
D
规律方法
分析简谐运动图像问题的三点提醒
(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。
(2)在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
(3)质点在某段时间内的路程,需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
变式训练2如图所示,一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上,上端与物块A连接在一起,物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开,A将在斜面上做简谐运动,已知物块A、B的质量分别为mA、mB,若取沿斜面向上为正方向,移开B的时刻为计时起点,则A的振动位移随时间变化的图像是( )
答案
B
当堂检测
1.(多选)下列图像能够表示简谐运动图像的是( )
答案
BCD
2.如图所示,弹簧振子在a、b两点间做简谐运动,在振子从平衡位置O向a运动的过程中( )
A.加速度和速度均不断减小
B.加速度和速度均不断增大
C.加速度不断增大,速度不断减小
D.加速度不断减小,速度不断增大
解析
在振子从平衡位置O向a运动的过程中,弹簧的弹力逐渐增大,根据牛顿第二定律知,加速度逐渐增大,加速度的方向与速度的方向相反,振子做减速运动,则振子速度减小,选项C正确,A、B、D错误。
答案
C
3.一简谐运动的图像如图所示,在0.1~0.15
s这段时间内( )
A.加速度增大,速度变小,加速度和速度方向相同
B.加速度增大,速度变小,加速度和速度方向相反
C.加速度减小,速度变大,加速度和速度方向相同
D.加速度减小,速度变大,加速度和速度方向相反
解析
由题图可知,在0.1~0.15
s这段时间内,位移为负且增大,表明物体远离平衡位置运动,则加速度增大,速度减小,加速度与速度方向相反,故选项B正确。
答案
B
4.一个弹簧振子经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的运动图像如图乙所示。设向右为正方向,则:
(1)OB=
cm。?
(2)0.2
s末振子的速度方向是 。?
(3)0.4
s末振子的加速度方向是 。?
(4)0.7
s时,振子位置在 点与 点之间。?
(5)振子从O经B运动到A所需时间t=
s。?
解析
(1)从题图上看出OB=5
cm。
(2)根据正方向的规定及振动图像知,振子从位置B开始计时,0.2
s末,振子回到平衡位置O,向负方向运动,所以此时速度方向从O指向A。
(3)0.4
s末振子到达A点,位移为负,弹力应为正,此时加速度方向由A指向O。
(4)0.7
s时,位移为正,振子在O点与B点之间。
(5)从图像上读出振子从O经B到A需时间t=0.2×3
s=0.6
s。
答案
(1)5 (2)O
→A (3)A→O (4)O B (5)0.6(共35张PPT)
2 简谐运动的描述
第二章
2021
学习目标
思维导图
1.理解振幅、周期和频率,了解相位(物理观念)
2.能用简谐运动的表达式描述简谐运动(科学思维)
课前篇
自主预习
[自主阅读]
一、振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
二、周期(T)和频率(f)
比较项
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间
物体完成全振动的次数与所用时间之比
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
都是表示物体振动快慢的物理量
联系
注意:不管以哪个位置作为研究起点,做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
三、相位
简谐运动位移x的一般函数表达式可写为x=Asin(ωt+φ)。
物理学中把(ωt+φ)叫作相位,我们用不同的相位来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
φ是t=0时的相位,称作初相位,或初相。
四、简谐运动的表达式
简谐运动中的位移(x)与时间(t)关系的表达式还可写为
,其中x表示质点在t时刻相对于平衡位置的位移。A代表简谐运动的振幅,T表示简谐运动的周期,φ0表示初相位。
[自我检测]
1.正误判断
(1)周期与频率仅仅是简谐运动特有的概念。( )
解析
描述任何周期性过程都可以用这两个概念。
答案
×
(2)弹簧振子的运动范围与它的振幅是相同的。( )
解析
弹簧振子的运动范围是振幅的两倍。
答案
×
(3)如果两个振动存在相位差,则说明它们的振动步调是不一致的。( )
答案
√
(4)振动物体的周期越大,表示振动得越快。( )
答案
×
(5)振幅随时间做周期性变化。( )
答案
×
2.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,BC相距20
cm,某时刻振子处于B点,经过0.5
s,振子首次到达C点。则振子的振幅
A= cm;振子的周期T=
s,频率f=
Hz;振子在2
s内通过的路程大小s=
cm;最大位移大小为x=
cm。?
解析
根据振幅的定义,有2A=BC=20
cm,所以A=10
cm。从B首次到C的时间为周期的一半,因此T=2t=1
s;再根据周期和频率的关系可得f=
=1
Hz。振子一个周期通过的路程为4A=40
cm,则2
s内通过的路程为s=
·4A=2×40
cm=80
cm,最大位移大小等于振幅,x=10
cm。
答案
10 1 1 80 10
3.(多选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,则( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.B、C两点关于O点对称
解析
O点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍,即A正确;若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,即B错误;若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍,即C正确;因弹簧振子的系统摩擦不考虑,所以它的振幅一定,故B、C两点关于O点对称,D正确。
答案
ACD
课堂篇
探究学习
问题一
描述简谐运动的物理量及其关系的理解
[情境探究]
将弹簧上端固定,下端悬吊钢球,旁边立一刻度尺,把钢球从平衡位置向下拉一段距离A,放手让其运动。仔细观察钢球的运动:
(1)钢球的位移怎么变化?
(2)钢球偏离平衡位置的最大距离改变吗?
要点提示
(1)钢球相对于平衡位置的位移随时间时大时小,呈周期性变化。
(2)不变。
[知识归纳]
1.对全振动的理解
(1)振动过程:如图所示,从O点开始,一次全振动的完整过程为O→A→O→A'→O;从A点开始,一次全振动的完整过程为A→O→A'→O→A。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:历时一个周期。
(4)路程特征:振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。
②振幅是标量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(2)振幅与路程的关系
①振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅;
②在半个周期内的路程一定为两个振幅;
③振动物体在
T内的路程可能等于一个振幅,可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅;
④只有当
T的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处,
T内的路程才等于一个振幅。
3.振幅与周期的关系
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关,振幅越大,振动过程中的最大位移越大,但周期为定值。
要点笔记
振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。
[典例剖析]
例题1一个做简谐运动的质点,它的振幅是4
cm,频率是2.5
Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5
s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4
cm,10
cm
B.4
cm,100
cm
C.0,24
cm
D.0,100
cm
答案
B
要点笔记
计算位移时一定注意,不管从哪个地方开始振动,位移为0的位置是平衡位置;路程是运动轨迹的长度,随着时间的增加,路程在不断增大。
变式训练1(2021河北承德第一中学高二月考)有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1
B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4
D.1∶2 1∶2
解析
弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而对同一振动系统,其周期与振幅无关,振动周期由振动系统的性质决定,则周期之比为1∶1,B项正确。
答案
B
问题二
对简谐运动表达式的理解
[情境探究]
有两个简谐运动:
,它们的振幅之比是多少?频率各是多少?
要点提示
它们的振幅分别为3a和9a,振幅之比为1∶3;频率分别为2b和4b。
[知识归纳]
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式为
1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移;t表示振动的时间。
2.式中(ωt+φ0)表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
3.式中φ0表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相。
4.相位差:即某一时刻两个振动的相位之差。
(1)两个具有相同ω的简谐运动,设其初相位分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
(2)①当Δφ=0时,两质点振动步调一致;
②当Δφ=π时,两质点振动步调完全相反;
③当Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π时,质点2相位比质点1超前Δφ,或质点1的相位比质点2落后Δφ。
[典例剖析]
A.振幅是矢量,A的振幅是6
m,B的振幅是10
m
B.周期是标量,A、B周期相等,都为100
s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位
答案
CD
规律方法
简谐运动的表达式
(1)简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成
,同一振动用不同函数表示时相位不同,而且相位是随时间变化的一个变量。
(2)比较相位或计算相位差时,要用同种函数来表示振动方程,否则就会出错。
变式训练2(2020辽宁本溪高二月考)一质点沿水平方向的振动方程为x=10sin(5πt+π)cm,取水平向右为位移的正方向,则在t=0.25
s时下列说法正确的是( )
A.质点在平衡位置的右方,水平向左运动
B.质点在平衡位置的右方,水平向右运动
C.质点在平衡位置的左方,水平向右运动
D.质点在平衡位置的左方,水平向左运动
解析
由振动方程可知,t=0.25
s时x=10sin(5π×0.25+π)cm=5
cm,则质点在平衡位置的右方,周期为
,则此时质点向右运动,故选B。
答案
B
问题三
简谐运动的图像与简谐运动的表达式
[情境探究]
如图所示为一做简谐运动质点的振动图像,则:
(1)通过图像可以得到哪些物理量?
(2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系?
要点提示
(1)根据图像可以直接得出振幅、周期、
振动物体在各个时刻的位移等。
(2)能。可以得到表达式为
[知识归纳]
简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像,即x-t图像是表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x=Asin(ωt+φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。
[典例剖析]
例题3A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出:
(1)A的振幅是
cm,周期
是
s;B的振幅是
cm,周期是
s。?
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
(3)求在t=0.05
s时两质点的位移。
变式训练3某质点的振动方程为x=5sin(2.5πt+
)cm,画出该质点的振动图像。
解析
由题意知,振幅A=5
cm,周期
=0.8
s。当t=0时,x=5
cm,由此可作出图像如图所示。
答案
见解析
当堂检测
1.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在B、C间振动,则( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O为一次全振动
解析
从全振动中路程与振幅间的固定关系上解决本题。A项对应的路程是振幅的2倍,B项所述路程为振幅的3倍,C项所述路程为振幅的4倍,D项对应的路程大于3倍振幅而小于4倍振幅。
答案
C
2.在1
min内甲振动30次,乙振动75次,则( )
A.甲的周期为0.5
s,乙的周期为1.25
s
B.甲的周期为0.8
s,乙的周期为2
s
C.甲的频率为0.5
Hz,乙的频率为1.25
Hz
D.甲的频率为0.5
Hz,乙的频率为0.8
Hz
答案
C
3.(2020浙江高二月考)如图所示,一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,其平衡位置在x轴坐标原点O处。从某时刻开始计时,经过四分之一的周期,振子具有沿x轴正方向的最大速度,图中能正确反映该弹簧振子的位移x与时间t关系的图像是( )
解析
振子具有沿x轴正方向的最大速度,一定运动到平衡位置,向x轴正方向运动,因此在0时刻,该振子一定位于负的最大位移处,故选B。
答案
B
4.一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8
cm,频率为0.5
Hz,在t=0时位移是4
cm,且向x轴负向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程。(共50张PPT)
3 简谐运动的回复力和能量
第二章
2021
学习目标
思维导图
1.理解回复力的概念、简谐运动的能量(物理观念)
2.会用动力学方法,分析简谐运动的变化规律(科学思维)
3.能通过探究说明弹簧振子系统的机械能守恒(科学探究)
课前篇
自主预习
[自主阅读]
一、简谐运动的回复力
1.回复力
振动物体受到一个总能使其回到平衡位置的力,在这个力的作用下,物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力。
2.回复力的效果
能使物体回到平衡位置。
3.简谐运动回复力表达式
F=-kx
4.简谐运动的动力学特征
物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置。
二、简谐运动的能量
1.振动系统的能量
(1)振动的能量一般指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。在最大位移处,动能为0,势能最大;在平衡位置处,动能最大,势能最小。
(2)简谐运动是一种理想化模型,振动系统的机械能守恒。
2.决定振动系统的机械能大小的因素
对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统,振幅越大,机械能就越大。
[自我检测]
1.正误判断
(1)回复力是按性质命名的力。( )
解析
回复力是按效果命名的力。
答案
×
(2)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。( )
答案
√
(3)简谐运动过程中没有机械能损耗。( )
答案
√
(4)回复力是一个单独的力,是一种新的性质力。( )
答案
×
(5)回复力的方向总是与位移的方向相反。( )
答案
√
2.(多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是( )
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C.振子由A向O运动过程中,回复力增大
D.振子由O向B运动过程中,动能减小、势能增大
解析
回复力是根据效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A项正确,B项错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力逐渐减小,C项错误;振子由O向B运动过程中,位移增大,势能增大;速度减小,动能减小,D项正确。
答案
AD
3.(2021河北承德实验中学)关于简谐运动,下列说法正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.简谐运动的回复力总是指向平衡位置
C.简谐运动的回复力可以是恒力
D.水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此机械能一定为零
解析
简谐运动中加速度不断变化,是非匀变速运动,选项A错误;简谐运动的回复力总是与位移反向,即指向平衡位置,选项B正确;简谐运动的回复力满足F=-kx,则一定是变力,选项C错误;水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,但是速度最大,动能不为零,选项D错误。
答案
B
课堂篇
探究学习
问题一
对回复力和加速度的理解
[情境探究]
右图为水平弹簧振子的模型,则:
(1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点?
(2)振子所受的合力产生了什么效果?
要点提示
(1)振子所受的合力总是指向平衡位置。
(2)合力的效果是总把振子拉回平衡位置。
[知识归纳]
1.回复力是根据力的效果命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供。例如,如图甲所示,水平方向上弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向上弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,A随B一起振动,A的回复力是静摩擦力。
2.回复力的大小、方向
(1)回复力F=-kx反映出了回复力F与位移之间的正比关系,位移增大为原来的几倍,回复力也增大为原来的几倍。
(2)方向:“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。
(3)因x=Asin(ωt+φ0),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ0),可见回复力随时间按正弦规律变化。
[典例剖析]
例题1(2021浙江湖州月考)如图所示,物体A、B叠放在光滑水平面上,轻质弹簧的一端固定在墙面上,另一端与A相连,弹簧的轴线与水平面平行。开始时弹簧处于伸长状态,释放后物体A、B
一起运动,第一次向右通过平衡位置时开始计时,取向右为正方向,则物体A受的摩擦力Ff与时间t的关系图像正确的是( )
解析
物体A、B与弹簧组成的系统所做的运动是简谐振动,A、B作为一个整体,其位移与时间成正弦函数关系,其所受的合外力即是回复力,与位移成正比,所以回复力与时间也成正弦函数的关系;将物体B单独隔离出来分析,物体B也做简谐振动,其回复力就是A对它的摩擦力,这个摩擦力也与时间成正弦函数关系,故选A。
答案
A
要点笔记
分析物体做简谐运动的回复力,首先是要明确回复力是效果力,千万不要认为回复力是物体又受到的一种新的性质力。
变式训练1(2020浙江诸暨中学高二期中)卡车在水平路面上行驶,货物随车厢底板上下振动而不脱离底板,设货物做简谐运动,则货物对车厢底板压力最小的时刻是( )
A.货物通过平衡位置向上运动时
B.货物通过平衡位置向下运动时
C.货物向上达到最大位移时
D.货物向下达到最大位移时
解析
当货物在平衡位置下方时,处于超重状态,压力大于重力;当货物处于平衡位置上方时,货物处于失重状态,压力小于重力,所以货物在平衡位置上方时,压力较小;当货物处于平衡位置上方且偏离平衡位置最大时,压力最小,故A、B、D错误,C正确。
答案
C
问题二
简谐运动的判断
[情境探究]
如图所示,劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板的P点,下端挂一质量为m的物块,物块静止后,再向下拉长弹簧,然后放手,弹簧上下振动,试说明物块的运动是简谐运动。
要点提示
设振子的平衡位置为O点,向下为正方向,静止时弹簧
的形变量为x0,则有kx0=mg,
当弹簧向下发生位移x时,弹簧弹力F=k(x+x0),
而回复力F回=mg-F=mg-k(x+x0)=-kx,
即回复力满足F回=-kx的条件,故物块做简谐运动。
[知识归纳]
1.运动学方法
找出质点的位移与时间的关系,若遵循正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,就可以判定此振动为简谐运动。
2.动力学方法
[典例剖析]
例题2一质量为m,底面积为S的正方体木块,放在水面上静止(平衡),如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动。
解析
以木块为研究对象,设水密度为ρ,竖直向下为正方向,静止时木块浸入水中Δx深,当木块被压入水中x后所受力如图所示,
则F回=mg-F浮①
又F浮=ρgS(Δx+x)②
由①②两式,得F回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
因为mg=ρgSΔx,所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS)
所以木块的振动为简谐运动。
答案
见解析
规律方法
判断物体的振动是否为简谐运动的具体步骤
(1)找出振动的平衡位置。
(2)让质点沿振动方向偏离平衡位置的位移为x。
(3)对物体进行受力分析。
(4)规定正方向,求出指向平衡位置的合力,判断是否符合F=-kx的关系。
变式训练2如图所示,在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球,开始时,两弹簧均处于原长,然后使小球向左偏离x后放手,可以看到小球在水平面上做往复运动,问:小球是否做简谐运动?
解析
以小球为研究对象进行受力分析,小球在竖直方向处于受力平衡状态,水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置左方某处时,偏离平衡位置的位移为x。左方弹簧受压,对小球的弹力大小为F1=k1x,方向向右。右方弹簧被拉,对小球的弹力大小为F2=k2x,方向向右。小球所受的回复力等于两个弹力的合力,其大小为F=F1+F2=(k1+k2)x,方向向右。令k=k1+k2,上式可写成:F=kx。由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反,考虑方向后,上式可表示为F=-kx。所以小球将在两根弹簧的作用下,在水平面内做简谐运动。
答案
是
问题三
简谐运动中各个物理量的变化规律
[情境探究]
如图所示,O点为振子的平衡位置,A'、A分别是振子运动的最左端和最右端。
(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小?
(2)振子在振动过程中由A'→A点时加速度如何变化?
要点提示
(1)振子在平衡位置速度最大。
(2)加速度先减小后增大。
[知识归纳]
根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系
振子的运动
A→O
O→A'
A'→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
通过上表不难看出:
(1)位移、回复力、加速度三者同步变化,与速度的变化相反。
(2)两个转折点:
①平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点;
②最大位移处的A点和A'点是速度方向变化的转折点。
(3)两个过程:①向平衡位置O靠近的过程(A→O及A'→O)速度、动能变大;②远离O点时位移、加速度、回复力和势能变大。
[典例剖析]
例题3把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,振子振动的机械能不断增加
解析
小球在平衡位置O时,弹簧处于原长,弹性势能为零,动能最大,位移为零,加速度为零,A项正确;在最大位移A、B处,动能为零,加速度最大,B项错误;由A→O回复力做正功,由O→B,回复力做负功,C项错误;由B→O动能增加,弹性势能减小,总机械能不变,D项错误。
答案
A
规律方法
判断简谐运动中各个物理量变化情况的思路
变式训练3如图所示,由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板,当物块处于静止状态时,取它的重力势能为零,现将物块向下拉一小段距离后放手,此后振子在平衡位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则( )
A.振子速度最大时,振动系统的势能为零
B.振子速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.振子经平衡位置时,振动系统的势能最小
D.振子在振动过程中,振动系统的机械能不守恒
解析
当振子在平衡位置时的速度最大,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系统的势能不为零,选项A错误;在平衡位置时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等,选项B错误;因为只有重力和弹簧弹力做功,则振子的动能、重力势能及弹性势能守恒,故在平衡位置动能最大时,振动系统的势能最小,选项C正确,D错误。
答案
C
问题四
简谐运动的对称性、周期性
[情境探究]
如图所示,物体在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,C、D两点关于O点对称,周期为T。
(1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点?
(2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点?
(3)物体经C点开始,再过T、2T时间,物体的位置、速度有何变化?
要点提示
(1)C、D两点的位移大小相等、方向相反。
(2)经过C、D两点时速度大小相等,加速度大小相等、方向相反。
(3)回到C点,速度不变。
[知识归纳]
1.做简谐运动的物体运动过程中的对称性
(1)瞬时量的对称性:各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例,振子通过关于平衡位置对称的两点,位移、速度、加速度大小相等,动能、势能、机械能相等。
(2)过程量的对称性:振动质点来回通过相同的两点间的时间相等,如tBC=tCB;质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,如tBC=tB'C',如图所示。
2.做简谐运动的物体运动过程中的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性运动,按其周期性可进行以下判断:
(1)若t2-t1=nT(n为整数),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+
T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+
T或t2-t1=nT+
T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处。
[典例剖析]
例题4(2020山东潍坊高二月考)如图所示,一个轻质弹簧一端悬于电梯上,另一端挂着用轻绳连接在一起的两物体A和B,弹簧劲度系数为k,mA=mB=m,电梯以加速度a向上加速运动突然电梯停止,在电梯停止瞬间轻绳断裂,之后物体A做简谐运动,运动过程中弹簧未超过弹性限度,已知从绳子断裂到物体A首次运动到最高点所用时间是t0。
(1)从绳子断裂到物体A运动到最高点过程中,弹簧长度改变了多少;
(2)取物体A做简谐运动的平衡位置为坐标原点,向下为正方向,建立x坐标轴,从绳子断裂开始计时,写出物体A做简谐运动的位移与时间的函数表达式。
解析
(1)绳子未断开时,对物体A和物体B整体分析,F1-2mg=2ma
得F1=2mg+2ma
由F1=kx1
得弹簧伸长了
绳子断开瞬间物体A在最低点,对物体A分析,F合1=F1-mg=mg+2ma
物体A运动到最高点时,F合2=mg+F2
根据简谐运动回复力的对称性有F合2=F合1
得F2=2ma
由F2=kx2
要点笔记
应用简谐运动的对称性、周期性特征求解问题:首先要确定对称点,认识到在对称点时速度大小相等、加速度大小相等、回复力大小相等,最后根据题目要求来确定所要求的物理量;同时要注意物体做简谐运动的周期性,避免漏解。
变式训练4(多选)(2021湖北金口中学高二月考)一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置向右运动开始计时,经0.13
s质点第一次通过M点,再经0.1
s第二次通过M点,则质点振动周期的可能值为( )
A.0.72
s
B.0.24
s
C.0.36
s
D.0.12
s
解析
质点的振动周期共存在两种可能性。如图甲所示,由O→M→A历时0.13
s+0.05
s=0.18
s,则周期为T1=4×0.18
s=0.72
s;
如图乙所示,由O→A→M历时t1=0.13
s,由M→A'→M历时t2=0.1
s,设由O→M历时为t,则0.13
s-t=2t+0.1
s,故t=0.01
s,所以周期为T=t1+t2+t=0.13
s+0.1
s+0.01
s=0.24
s;故选AB。
答案
AB
甲
乙
当堂检测
1.(2021辽宁锦州高二月考)一弹簧振子沿水平方向的x轴做简谐运动,原点O为其平衡位置,在运动中某一时刻有可能出现的情况是( )
A.位移与速度、加速度均为负值
B.位移为负值,而速度、加速度均为正值
C.位移与加速度均为正值,而速度为负值
D.位移与速度、加速度均为正值
解析
振子的位移方向由平衡位置指向末位置,回复力的方向指向平衡位置,加速度的方向指向平衡位置,位移的方向与加速度的方向一定相反,而速度的方向与加速度或位移的方向可能相同,可能相反,故选B。
答案
B
2.如图所示,质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O,质点由A经O向B运动,质点经过A点和B点时速度相同,且tAB=0.2
s;质点由B点再次回到A点用的最短时间tBA=0.4
s。则该质点做简谐运动的频率为( )
A.1
Hz
B.1.25
Hz
C.2
Hz
D.2.5
Hz
答案
B
3.(2021河北承德实验中学)做简谐运动的弹簧振子质量为0.2
kg,当它运动到平衡位置左侧20
cm时受到的回复力是4
N;当它运动到平衡位置右侧40
cm时,它的加速度为( )
A.20
m/s2,向右
B.20
m/s2,向左
C.40
m/s2,向右
D.40
m/s2,向左
解析
当振子运动到平衡位置左侧20
cm时受到的回复力是4
N,根据F=-kx可知它运动到平衡位置右侧40
cm时回复力F=8
N,方向向左,根据牛顿第二定律可知加速度
=40
m/s2,方向向左,故选D。
答案
D
4.一弹簧振子做简谐运动,周期为T。则下列说法正确的是( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于
的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
C.若Δt=
,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
D.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的速度一定相等
根据以上分析,选项A、C错误。若t和t+Δt两时刻,振子的位移、速度等均相同,则Δt=nT(n=1,2,3,…),但仅仅根据两时刻振子的位移相同,不能得出Δt=nT,所以选项B错误。若Δt=nT,在t和t+Δt两时刻,振子的位移、速度等均大小相等、方向相同,选项D正确。
答案
D(共33张PPT)
4 单摆
第二章
2021
学习目标
思维导图
1.知道什么是单摆,单摆的构造,单摆回复力的来源(物理观念)
2.掌握单摆振动的特点,理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动(科学思维)
3.探究单摆的周期与摆长的关系(科学探究)
课前篇
自主预习
一、单摆及单摆的回复力
1.单摆
将一小球用细线悬挂起来,如果细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比可以忽略,这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2.单摆回复力
(1)来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力充当回复力。
(2)大小:若摆球质量为m、摆长为l、偏离平衡位置的位移为x,当摆角很小时,单摆的回复力为
二、单摆的运动规律
单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
三、单摆的周期
1.影响周期的因素(摆角很小,单摆做简谐运动):
(1)周期与摆球的质量无关。
(2)周期与振幅无关。
(3)摆长越长,周期越大。
2.周期公式
单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比,与重力加速度g的
二次方根成反比,即
[自我检测]
1.正误判断
(1)单摆模型中对细线的要求是其伸缩可忽略,质量可忽略。( )
答案
√
(2)单摆的摆角大小对单摆的周期没有影响。( )
解析
实验表明,单摆振动的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关。
答案
×
(3)摆球受到的回复力是它的合力。( )
解析
单摆的回复力不是它的合力,而是重力沿圆弧切线方向的分力。
答案
×
(4)单摆回复力的方向总是指向悬挂固定点。( )
答案
×?
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。( )
答案
√
2.(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( )
A.摆球受重力、摆线的拉力和回复力作用
B.摆球的回复力最大时,向心力为零
C.摆球的回复力为零时,向心力最大
D.摆球的回复力最大时,摆线中的张力大小比摆球的重力大
解析
单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力,重力的分力充当回复力,故A错;重力垂直于摆线的分力提供回复力,当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则摆线拉力小于重力,在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力最大,故D错,B、C对。
答案
BC
3.(多选)如图所示是一个单摆(摆角θ<5°),其周期为T,则下列说法正确的是( )
A.把摆球的质量增加一倍,其周期不变
B.此摆由O→B运动的时间为
C.摆球由B→O时,动能向势能转化
D.摆球由O→C时,动能向势能转化
解析
单摆的周期与摆球的质量无关,A正确;此摆由O→B运动的时间为
,B正确;摆球由B→O时,势能转化为动能,由O→C时动能转化为势能,C错误,D正确。
答案
ABD
课堂篇
探究学习
问题一
对单摆的回复力及运动特征的理解
[情境探究]
判断以下摆动模型是不是单摆,为什么?
要点提示
模型①不是单摆,因为橡皮筋伸长不可忽略。模型②不是单摆,因为绳子质量不可忽略。模型③不是单摆,因为绳长不是远大于球的直径。模型④不是单摆,因为悬点不固定,摆长会发生变化。模型⑤是单摆,因为符合单摆的概念。
[知识归纳]
1.运动规律
摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,也是以平衡位置为中心的往复运动。
2.受力规律
(1)在运动过程中只要v≠0,沿半径方向的力的合力不为0,提供向心力。
(2)在运动过程中只要不在平衡位置,小球一定受回复力,即重力沿圆弧切线方向的分力。
(3)在平衡位置,回复力为零,小球的合力并不为零,合力提供圆周运动的向心力。
3.单摆做简谐运动的条件
如图所示,在摆角很小时,摆球对O点的位移x的大小与θ角所对的弧长、θ角所对的弦都近似相等,因此sin
θ≈
,所以单摆的回复力大小F=G1=mgsin
θ≈
x=kx,其中k=
为一常数。考虑力F的方向与位移x的方向相反,所以有
F=-kx。
因此,在摆角θ很小时,单摆做简谐运动。
要点笔记
单摆的摆动不一定都是简谐运动,只有单摆做小角度摆动时才认为是简谐运动。
[典例剖析]
例题1(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( )
A.摆球受重力、摆线的拉力作用
B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用
C.摆球的回复力为零时,向心力最大
D.摆球的回复力最大时,摆线中的拉力大小比摆球的重力大
解析
单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力,重力沿圆弧切线的分力提供回复力,故A对、B错;在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力
F向=
最大,选项C正确;当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则拉力等于重力沿半径方向的分力,即拉力小于重力,选项D错误。
答案
AC
规律方法
对单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置,是指摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力平衡的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin
θ提供的,不可误认为回复力是重力G与摆线拉力FT的合力。
变式训练1下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的是( )
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
解析
单摆运动是在一段圆弧上运动,因此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力,即单摆的合外力提供向心力,故选项A错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,而不是摆线拉力的分力,故选项B正确,D错误;单摆经过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合外力不为零,所以选项C错误。
答案
B
问题二
对单摆周期公式的理解及应用
[情境探究]
假设将一个摆钟(如图所示)带到空间站内,则钟摆的摆动周期如何变化?
要点提示
在空间站内钟摆完全失重,回复力为零,等效值g'=0,钟摆不摆动了。
[知识归纳]
1.周期公式的成立条件
当单摆做偏角很小的振动时,才有
,与单摆的振幅及摆球的质量无关,只与摆长l及单摆所在处的重力加速度g有关。
要点笔记
实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l=l0+
,l0为摆线长,D为摆球直径。
2.对摆长的理解
对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆动物体重心的长度。图(a)中,摆球半径为r,甲、乙两摆在垂直纸面方向摆起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为lsin
α+r。图(b)中,乙在垂直纸面方向小角度摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙摆等效。
3.重力加速度g的变化
(1)公式中的g由单摆所在空间位置决定
由
=g知,g在地球表面不同位置、不同高度是不同的,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8
m/s2。
(2)g还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内,设加速度为a,此时摆球处于超重状态,沿圆弧切线方向的回复力变大,摆球质量不变,则重力加速度的等效值g'=g+a。
(3)g还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中,回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力,所以也需要等效出g'。
[典例剖析]
例题2如图所示,将摆长为L的单摆放在一升降机中,升降机以加速度a向上匀加速运动,求单摆的摆动周期。
解析
单摆的平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止,则摆球受重力mg和绳拉力F,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,此时摆球的视重
规律方法
单摆模型及问题的分析、解答
(1)单摆模型指符合单摆规律的运动模型。满足条件:
①圆弧运动。②小角度摆动。③回复力F=-kx。
(2)首先确认符合单摆模型的条件,然后寻找等效摆长l及等效重力加速度g,最后利用公式
或简谐运动规律分析、解答。
变式训练2如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使∠AOB=90°,∠BAO=30°,已知OC线长是l,下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)。
让小球在纸面内摆动,周期T= 。让小球在垂直纸面内摆动,周期T= 。?
当堂检测
1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( )
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析
单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,选项A、B、C正确。但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动,选项D错误。
答案
ABC
2.下列关于单摆的说法正确的是( )
A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-A
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C.单摆摆球的回复力等于摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
解析
简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零。摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,线的拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供向心力,摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以合外力不为零;摆球到最高点时,向心力为零,回复力最大,合外力也不为零。
答案
C
3.将秒摆(周期为2
s的单摆)的周期变为4
s,下面哪些措施是正确的( )
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
答案
C
4.(2021辽宁葫芦岛高二月考)半径为R的光滑球面,已知圆弧AB?R,且A、B等高,其中B点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连,现有三个小球,A球从A点由静止释放沿圆弧下滑,B球从B点由静止释放沿斜面下滑,C球从圆心O点由静止释放,若三个小球同时释放,则下列说法正确的是( )
A.A球最先运动到圆弧最低点
B.B球最先运动到圆弧最低点
C.C球最先运动到圆弧最低点
D.三个小球同时到达圆弧最低点
答案
C(共26张PPT)
5 实验用单摆测量重力加速度
第二章
2021
学习目标
思维导图
1.知道单摆做简谐运动的条件及相应控制方法(物理观念)
2.会测量实际单摆的摆长、会测量单摆振动时间,用平均值法求周期(科学探究)
3.会用平均值法、图像法(T2-l图像)求重力加速度(科学探究)
课前篇
自主预习
[自主阅读]
一、实验思路
根据单摆的周期公式可得
,只要测得摆长l和单摆的周期T,便可测定重力加速度g的值。
二、实验装置
1.制作:在细线的一端打一个比小孔上的孔径稍大些的结,将细线穿过球上的小孔,并把细线上端固定在铁架台上,就制成一个单摆。
2.安装:将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,使铁夹伸出桌面之外,使摆球自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
三、物理量的测量
1.摆长的测量:用刻度尺量出悬线长l'(准确到
mm),用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm),然后计算出悬点到球心的距离l=l'+
,即为摆长。
2.周期的测量:把此单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(这个角度不大于5°),再释放小球。当摆球摆动稳定以后,经过最低位置时,用停表开始计时,测量单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次全振动的时间,即单摆的振动周期。
四、数据分析
1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值。
设计如下所示实验表格
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s-2
)
重力加速度g的平均值/(m·s-2
)
1
?
?
?
?
2
?
?
?
3
?
?
?
五、注意事项
1.构成单摆的条件:摆线应选择细且不易伸长的线(长度1
m左右),小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过2
cm),摆角要小,不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
2.固定悬点:单摆悬线的上端不可随意卷在杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑,摆长改变。
3.摆动方法:要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
4.测摆长:摆长应是悬点到球心的距离,等于摆线长加上小球半径。
5.测周期:
(1)要从摆球经过平衡位置时开始计时。
(2)要测多次全振动的时间来计算周期,如在摆球过平衡位置时,开始计时并数零,以后摆球每过一次平衡位置数一个数,最后总计时为t,总数为n,则周期
六、误差分析
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定;是单摆还是复摆;球、线是否符合要求;振动是圆锥摆还是同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此要注意测准时间(周期),要从摆球通过平衡位置开始计时,不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差,应进行多次测量后取平均值。
要点笔记
提高实验精度从两个方面入手:(1)尽可能准确地测量出摆长和周期;(2)多次改变摆长,重做实验得到多组数据,并用图像法处理数据。
课堂篇
探究学习
问题一
实验原理、操作和数据处理的考查
例题1(2021北京延庆高二期末)某实验小组的同学们用如图所示的装置做用单摆测量重力加速度的实验。
(1)实验时除用到秒表、刻度尺外,还应该用到下列器材中的 (选填选项前的字母,多选)。?
A.长度为1
m左右的细线
B.长度为30
cm左右的细线
C.直径为1.8
cm的塑料球
D.直径为1.8
cm的钢球
(2)选择好器材,将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上,应采用图 (选填“甲”或“乙”)中所示的固定方式。?
(3)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是 (选填选项前的字母,多选)。?
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(4)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t,则重力加速度g= (用l、n、t表示)。?
(5)某同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T,他根据测量数据画出了如图所示的图像,但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是 (选填“l2”“l”或“
”)。?
如果该图线的斜率为k,则重力加速度g的表达式g= (用k表示)。
(6)某同学测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是 (选填选项前的字母,多选)。?
A.开始摆动时振幅较小
B.开始计时时,过早按下秒表
C.测量周期时,误将摆球29次全振动的时间记为30次全振动的时间
D.在测量完摆长之后悬挂点细线松动
解析
(1)实验过程中摆线不能太短,应选择长约1
m的细线作为摆线,故A正确,B错误;为减小实验误差,应选择密度大而体积小的球作为摆球,故应选择直径为1.8
cm的钢球作为摆球,不要选用直径为1.8
cm的塑料球,故C错误,D正确。
(2)在该实验的过程中,悬点要固定,应采用图乙中所示的固定方式。
(3)摆线长度与摆球半径之和是单摆的摆长,故A错误;单摆在小角度下的运动为简谐运动,把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动,故B正确;为减小测量误差,在摆球经过平衡位置时开始计时,故C正确;为减小测量误差,应测出n个周期的总时间t,然后求出周期为T=
,用单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期实验误差较大,故D错误。
(6)由
,g与振幅大小无关,故A错误;开始计时时,过早按下秒表,周期偏大,则g偏小,即测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,故B正确;测量周期时,误将摆球29次全振动的时间记为30次全振动的时间,则周期偏小,则g偏大,即测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,故C错误;单摆的悬挂点细线松动,而摆长已测量完毕,则g偏小,即测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,故D正确。
问题二
创新方案的设计
例题2(2020上海嘉定第二次质量调研)
某同学想在家做用单摆测量重力加速度的实验,但没有合适的摆球,他找来一块体积约为3
cm3、外形不规则的金属块代替摆球,用细线将金属块系好并悬挂于O点,金属块与细线结点为M,如图所示。
(1)拉开金属块,由静止释放,从它摆到 (选填“最高点”或“最低点”)开始计时,若金属块完成n次全振动所用的时间为t,则摆动周期T= ;?
(2)该同学用OM的长度l作为摆长,多次改变摆长记录多组l、T值。若用公式法计算出各组的重力加速度,再取平均值,那么得到的重力加速度与真实值相比 (选填“偏大”或“偏小”);?
(3)为此该同学想改用图像法,以T2为纵坐标,l为横坐标,作出T2-l图像。如果其他操作都无误,则他作出的图像可能是图中的 (选填“a”“b”或“c”);然后根据图像的斜率k,就可测出该地的重力加速度g= 。?
当堂检测
1.(2021福建武平第一中学高二月考)在用单摆测量重力加速度的实验中,某实验小组在测量单摆的周期时,从单摆运动到最低点开始计时,且记为第1次经过最低点,到第n次经过最低点所用的时间为t;在测量单摆的摆长时,先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为l,再用游标卡尺测得摆球的直径为d,该单摆的摆长为 ;求重力加速度的表达式g= (用上述物理量的符号表示)。?
2.下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据:
(1)利用上述数据,作出l-T2图像。
(2)利用图像,取T2=4.2
s2时,l=
m,重力加速度g=
m/s2。?
摆长l/m
0.5
0.6
0.8
1.2
周期的二次方T2/s2
2.0
2.4
3.2
4.8
解析
(1)l-T2图像如图
中直线所示。
答案
(1)见解析图
(2)1.05 9.86(共30张PPT)
6 受迫振动 共振
第二章
2021
学习目标
1.知道什么是阻尼振动,什么叫驱动力,什么叫受迫振动(物理观念)
2.能举出受迫振动的实例,知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定(科学思维)
3.知道什么是共振并探究发生共振的条件(科学探究)
思维导图
课前篇
自主预习
[自主阅读]
一、固有振动和阻尼振动
1.固有振动:弹簧振子与单摆在没有外力干预的情况下做简谐运动,周期或频率与振幅无关,仅由系统自身的性质决定,我们把这种振动称为固有振动。
2.固有频率:物体固有振动时的频率仅由系统自身的性质决定,称为固有频率。
3.阻尼振动:振幅随时间逐渐减小的振动。
二、受迫振动和共振
1.受迫振动:振动系统在驱动力(周期性的外力)作用下的振动。
2.受迫振动的频率
物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。
3.共振:当驱动力的频率等于固有频率时,物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
4.产生共振的条件
驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
[自我检测]
1.正误判断
(1)阻尼振动是机械能不断减小的振动,它一定不是简谐运动。( )
答案
√
(2)单摆的振幅越来越小,是因为其能量在不断消失。( )
解析
单摆总能量是守恒的,只是机械能不断减小。
答案
×
(3)在外力作用下的振动就是受迫振动。( )
解析
只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动。
答案
×
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。( )
答案
×
(5)驱动力频率越大,振幅越大。( )
答案
×
2.(多选)一单摆做阻尼振动,则在振动过程中( )
A.振幅越来越小,周期也越来越小
B.振幅越来越小,周期不变
C.机械能越来越小
D.机械能不守恒,周期不变
解析
单摆做阻尼振动时,振幅会减小,机械能减小,振动周期不变,故选项B、C、D对,A错。
答案
BCD
3.(多选)下列振动中,不属于受迫振动的是( )
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后,钟的振动
B.打点计时器接通电源后,振针的振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上,小孩随着吊床一起摆动
D.弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
解析
受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动,故A、C、D都是自由振动,B是受迫振动。
答案
ACD
课堂篇
探究学习
问题一
比较简谐运动、阻尼振动和受迫振动
[情境探究]
“余音绕梁,三日不绝。”形容歌声或音乐的优美,耐人寻味。但在日常生活中,当弹奏结束后,乐声会越来越弱,并最终消失,这是为什么呢?
要点提示
由于乐声受到空气的阻尼作用,振幅越来越小,因此乐声也就越来越弱了。
[知识归纳]
比较项
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概 述
振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频 率
固有频率
固有频率
驱动力频率
振 幅
不变
减小
大小不确定
比较项
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
振动
图像
?
?
形状不确定
振动
能量
振动物体的机械能不变
机械能逐渐减小
驱动力对振动系统做功,补偿系统的能量损耗
实 例
弹簧振子振动,单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
要点笔记
阻尼振动中振幅虽逐渐减小,但振动频率不会变化,此频率称为固有频率,由振动系统决定。
[典例剖析]
例题1(多选)一单摆在空气中振动,振幅逐渐减小,下列说法正确的是( )
A.单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B.单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.单摆振幅减小,频率也随着减小
D.单摆振幅虽然减小,但其频率不变
解析
单摆做阻尼振动,因不断克服空气阻力做功而使机械能转化为其他形式的能,但是在振动过程中,动能和势能仍不断相互转化,故选项A正确,选项B错误;做阻尼振动的物体,频率由系统的特征决定,与振幅无关,所以其频率不变,选项C错误,选项D正确。
答案
AD
规律方法
理解阻尼振动的两个方面
一是振动的能量方面,由于阻力做负功,振动物体的机械能逐渐减小,振幅逐渐变小,但由于振动中动能与势能相互转化,不能说下一时刻的动能(或势能)变小;
二是振动的周期与频率方面,周期与频率由振动系统本身决定,阻尼振动中周期与频率不变。
变式训练1(多选)单摆做阻尼振动的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B.摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C.摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D.摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
解析
在单摆振动过程中,因不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能,故选项C错误,选项D正确;虽然单摆总的机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能和重力势能仍在不断地相互转化,由于A、B两时刻,单摆的位移相等,所以重力势能相等,但动能不相等,故选项A错误,选项B正确。
答案
BD
问题二
对共振和共振曲线的理解
[情境探究]
我国汉代有一种被称为“鱼洗”的铜盆,盆的边缘有两个耳环,盆底有浮雕的鱼等。盆内注入适量清水,当用潮湿的双手有节奏地来回摩擦两个耳环时,伴随着鱼洗发出的铮铮声,盆中喷出泉涌般的水柱,令人惊叹不已!这是什么原理呢?
要点提示
发生了共振。
[知识归纳]
1.发生共振的条件及理解
(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解
①从受力角度看:当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时,驱动力对它起加速作用,使它的振幅增大,当驱动力的频率等于物体的固有频率时,它的每一次作用都使物体的振幅增加,从而振幅达到最大。
②从功能关系看:当驱动力的频率等于物体的固有频率时,驱动力始终对物体做正功,使振动能量不断增加,振幅不断增大,直到达到最大值。
2.共振曲线及理解
如图所示,共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。
(1)当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时,受迫振动的振幅较小。
(2)当驱动力的频率f等于固有频率f0时,受迫振动的振幅最大。
[典例剖析]
例题2如图所示,在曲柄A上悬挂一个弹簧振子,如果转动摇把C可带动曲轴BAD,用手往下拉振子,再放手使弹簧振子上下振动,测得振子在10
s内完成20次全振动,然后匀速转动摇把,当转速为 r/min,弹簧振子振动最剧烈,稳定后的振动周期为 s。?
解析
振子在10
s内完成20次全振动,故固有频率为f=2
Hz;
当受迫振动的频率接近于振子的固有频率时,会发生共振,即弹簧振子振动最剧烈,故摇把转速为n=f=2
r/s=120
r/min;稳定后的振动周期为
答案
120 0.5
规律方法
受迫振动与共振的关系
受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率,但驱动力的频率越接近物体的固有频率,振动的振幅越大,相等时振幅最大。在处理实际问题时要分清振动的类别,注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率。
变式训练2(多选)(2021浙江1月选考)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率,工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置,如图甲、乙所示。则( )
A.针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加,树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后,树干的振动频率相同
D.稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
解析
根据共振的条件,当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振,此时落果效果最好,而不同的树木的固有频率不同,针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同,选项A正确;当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振,此时树干的振幅最大,则随着振动器频率的增加,树干振动的幅度不一定增大,选项B错误;打击结束后,树干做阻尼振动,阻尼振动的频率为树干的固有频率,所以粗细不同的树干频率不同,选项C错误;树干在振动器的振动下做受迫振动,则稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同,选项D正确。
答案
AD
当堂检测
1.(多选)单摆在空气中做阻尼振动,下列说法正确的是( )
A.振动的机械能逐渐转化为其他形式的能量
B.后一时刻摆球的动能一定比前一时刻小
C.后一时刻摆球的势能一定比前一时刻小
D.后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小
解析
由于单摆在空气中做阻尼振动,克服空气、摩擦阻力做功,使机械能不断减少而转化为内能。后一时刻的动能和势能不一定比前一时刻小,但后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小。
答案
AD
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.实际的自由振动一定是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后的频率与振动系统自身物理条件无关
解析
实际的自由振动,必须不断克服外界阻力做功而消耗能量,振幅会逐渐减小,所以必然是阻尼振动,故选项A、C正确;只有在周期性外力(驱动力)作用下的物体所做的振动才是受迫振动,故选项B错误;受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定,与自身物理条件无关,故选项D正确。
答案
ACD
3.表中记录了某振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系,若该振动系统的固有频率为f固,则( )
A.f固=60
Hz
B.60
HzHz
C.50
HzHz
D.40
HzHz
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
振动系统振幅/cm
10.2
16.8
27.2
27.1
16.5
8.3
解析
如图所示为振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系,可判断出f与f固相差越大,受迫振动的振幅越小,f与f固越接近,受迫振动的振幅越大,并从中看出f越接近f固,振幅的变化越慢,比较各组数据知f在50~60
Hz范围内时振幅变化最小,因此50
HzHz,故选C。
答案
C
4.(2020山东青岛高二月考)洗衣机脱水缸正常工作时,转速为2
800
r/min,脱水后从切断电源到电动机停止转动的时间为16
s。发现在切断电源后的13
s左右时,洗衣机振动最为剧烈,若切断电源后,脱水缸转速是随时间均匀减小的,则洗衣机振动的固有频率大约是( )
A.16
Hz
B.9.5
Hz
C.8.75
Hz
D.10.45
Hz
解析
切断电源后,洗衣机脱水缸转速随时间均匀减小,到13
s时的转速
,故洗衣机的固有频率约为8.75
Hz,应选C。
答案
C(共19张PPT)
本章整合
第二章
2021
知识网络
体系构建
本章知识可分为三部分:第一是简谐运动,主要是简谐运动的特征和基本物理量的描述;第二是两个理想化模型,即弹簧振子和单摆;第三是外力作用下的振动,包括阻尼振动和受迫振动。
1.通过下图思考关于简谐运动的受力和运动特征及其相关物理量的内容。
2.通过下图思考关于弹簧振子和单摆这两个理想化模型的相关内容。
3.通过下图思考阻尼振动和受迫振动的相关内容。
重点题型
归纳整合
一、
简谐运动与图像问题的综合
例题1(2021湖北武汉高二期末)某质点的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.1
s和3
s时刻,质点的速度相同
B.1
s到2
s时间内,速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为y=2sin(1.5πt+0.5π)cm
D.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+0.5π)cm
解析
y-t图像上某点的切线的斜率表示速度,1
s和3
s时刻,质点的速度大小相等,方向相反,故A错误;1
s到2
s时间内,质点做减速运动,故加速度与速度反向,故B错误;振幅为2
cm,周期为4
s,角速度为ω=
=0.5π
rad/s,故简谐运动的表达式为y=Asin(ωt+φ)=2sin(0.5πt+0.5π)cm,故C错误,D正确。
答案
D
规律方法
简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律。从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律,具体分析如下:
项目
内容
说明
横、纵轴表示的物理量
横轴表示时间,纵轴表示质点的位移
①振动的图像不是振动质点的运动轨迹
②计时起点一旦确定,已经形成的图像形状不变,以后的图像随时间向后延伸
③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关
意义
表示振动质点的位移随时间变化的规律
项目
内容
说明
形状
?
?
应用
①直接从图像上读出周期和振幅
②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移
③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向
④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况
变式训练1(2021上海高二期末)甲、乙两单摆的振动图像如图所示,由图像可知( )
A.甲、乙两单摆的周期之比是3∶2
B.甲、乙两单摆的摆长之比是2∶3
C.tb时刻甲、乙两摆球的速度相同
D.ta时刻甲、乙两单摆的摆角不等
解析
由题图可知,甲、乙两单摆的周期之比是2∶3,选项A错误;根据
,则甲、乙两单摆的摆长之比是4∶9,选项B错误;乙摆摆长大,振幅小,故在最高点时离开平衡位置的高度小,则到达最低点时的速度较小,即tb时刻甲、乙两摆球的速度不相同,故C错误;ta时刻甲、乙两单摆的位移相等,但是两摆的摆长不等,故摆角不等,选项D正确。
答案
D
例题2物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,经过1
s后物体第一次以相同速度v通过B点,再经过1
s物体紧接着又通过B点,已知物体在2
s内所走过的总路程为12
cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大?
二、
简谐运动的周期性和对称性
解析
物体通过A点和B点时的速度大小相等,A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示。在图甲中,物体从A向右运动到B,即图中从1运动到2,时间为1
s,从2运动到3,又经过1
s,从1到3共经历了0.5T,即0.5T=2
s,T=4
s,2A=12
cm,A=6
cm。
在图乙中,物体从A先向左运动,当物体第一次以相同的速度通过B点时,即图中从1运动到2时,时间为1
s,从2运动到3,又经过1
s,同样A、B两点关于O点对称,从图中可以看出从1运动到3共经历了1.5T,即1.5T=2
s,
T=
s,1.5×4A=12
cm,A=2
cm。
答案
T=4
s,A=6
cm或T=
s,A=2
cm
规律方法
1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回复到原来的状态。
2.对称性
(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
(2)加速度和回复力的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
(3)时间的对称性:系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过此两点的时间相等。
变式训练2(多选)一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时,经过3
s质点第一次经过M点(如图所示)。再继续运动,又经过2
s它第二次经过M点。则该质点第三次经过M点还需要的时间是( )
答案
CD
