2021-2022学年湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数达标测试（word版含答案）

第4章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．2cos
60°的值是(　　)
A．1
B.
C.
D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sin
A的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则tan∠ABC的值为(　　)
A.
B.
C.
D．1
　
4．已知α为锐角，且sin(90°－α)＝，则α的度数为(　　)
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
5．如图，长4
m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)
A．2
m
B．2
m
C．(2
－2)m
D．(2
－2)m
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
7．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100
m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(　　)
A．100
m
B．50
m
C．50
m
D.
m
8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan
C的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
　
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)
A．30°
B．50°
C．60°或120°
D．30°或150°
10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1?0.75，坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(　　)(参考数据：sin
24°≈0.41，cos
24°≈0.91，tan
24°≈0.45)
A．21.7米
B．22.4米
C．27.4米
D．28.8米
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cos
B＝________．
12．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan
α＝，则t的值是________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是直角边BC上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB的值为________．
　　　
14．已知锐角A的正弦sin
A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin
A＝________．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.
16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.
17．一次函数的图象经过点(tan
45°，tan
60°)和(－cos
60°，－6tan
30°)，则此一次函数的表达式为________________．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有相距2
km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.
三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)
19．计算：
(1)(2cos
45°－sin
60°)＋；
(2)sin
60°·cos
60°－tan
30°·tan
60°＋sin245°＋cos245°.
20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)已知c＝8
，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3
，∠A＝45°，求∠B，b，c.
21．如图，已知?ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB＝13，DF＝14，tan
A＝，求CF的长．
22．如图，甲建筑物AD和乙建筑物BC的水平距离AB为90
m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°.求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)
23．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i＝1∶1.875，同时他测得自己的影长NH＝336厘米，而他的身高MN为168厘米，求铁塔的高度．
24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，海岸线MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离(结果保留根号)．
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)
答案
一、1.A　2.A　3.B　4.A
5．B　点拨：在Rt△ABD中，AD＝AB·sin
60°＝4×＝2
(m)，在Rt△ACD中，AC＝＝＝2
(m)，故选B.
6．D　7.A
8．B　点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.
∴tan
C＝＝.
9．D　点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin
A＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，
sin
(180°－∠BAC)＝，
∴180°－∠BAC＝30°.
∴∠BAC＝150°.
10．A　点拨：如图，过点C作CN⊥DE，交ED的延长线于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE，则MN＝BC＝20米．
∵斜坡CD的坡比i＝1：0.75，∴令CN＝x米，则DN＝0.75x米．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，
解得x＝8(负值已舍去)，
则CN＝8米，DN＝6米．
∵DE＝40米，∴ME＝MN＋DN＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．
在Rt△AME中，tan
E＝，
即tan
24°＝，从而0.45≈，解得AB≈21.7米．
二、11.
12.　点拨：如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A(3，t)在第一象限，
∴AB＝t，OB＝3，
∴tan
α＝＝＝，
∴t＝.
　
13.　14.
15.　点拨：由题意知BD′＝BD＝2
.在Rt△ABD′中，tan
∠BAD′＝＝＝.
16.　点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，
则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.
所以tan∠A′BC′＝＝＝.
17．y＝2
x－
点拨：tan
45°＝1，tan
60°＝，－cos
60°＝－，－6tan
30°＝－2
.设函数y＝kx＋b的图象经过点(1，)，(－，－2
)，则用待定系数法可求出k＝2
，b＝－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
18.　点拨：如图，过点C作CH⊥l，垂足为点H.
由题意得∠ACH＝60°，∠BCH＝30°.
设CH＝x
km，
在Rt△ACH中，AH＝CH·tan∠ACH＝x·tan
60°＝x
km.
在Rt△BCH中，BH＝CH·tan∠BCH＝x·tan
30°＝x
km.
因为AH－BH＝AB，
所以x－x＝2，解得x＝，
即船C到海岸线l的距离是
km.
三、19.解：(1)原式＝×(2×－)＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4
.
(2)∠B＝45°，b＝3
，c＝6
.
21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.
又∵∠AFC＝∠DEC，
∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.
又∵tan
A＝＝tan
∠DCH＝，
∴DH＝12，CH＝5.
∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.
∴DE＝＝15.
∴CF＝DE＝15.
22．解：设AD＝x
m，则BC＝6x
m.
在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，
∴AE＝＝＝x(m)，
DE＝2AD＝2x
m.
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，
∴BE＝＝＝2
x(m)，
EC＝2BE＝4
x
m.
∵AE＋BE＝AB，
∴x＋2
x＝90，解得x＝10
.
∴DE＝20
m，EC＝120
m.
在△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得CD＝＝20
(m)．
答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为20
m.
23．解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，延长AC，交BD的延长线于点F，
在Rt△CDE中，i＝1∶1.875，
∴＝＝，
设CE＝8x米，DE＝15x米，
则DC＝17x米，
∵DC＝3.4米，
∴CE＝1.6米，DE＝3米，
在Rt△MNH中，tan∠MHN＝＝＝，
∴在Rt△CEF中，tan
F＝＝＝tan∠MHN＝，
∴EF＝3.2米，
即BF＝2＋3＋3.2＝8.2(米)，
∴在Rt△ABF中，tan
F＝＝，∴AB＝4.1米．
答：铁塔的高度是4.1米．
24．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E.
设AE＝a海里，则BE＝AB－AE＝100(＋1)－a(海里)．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠EAC＝60°，
∴AC＝＝＝2a(海里)，
CE＝AE·tan
60°＝a(海里)．
在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，
∴∠BCE＝90°－∠EBC＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB，BE＝CE.
∴100(＋1)－a＝a，
解得a＝100.
∴AC＝200海里．
在△ACD和△ABC中，∠ACB＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝，
即＝，
∴AD＝200(－1)海里．
答：A与C之间的距离为200海里，A与D之间的距离为200(－1)海里．
(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F.
在Rt△ADF中，∠DAF＝60°，
∴DF＝AD·sin
60°＝200(－1)×＝100(3－)≈127(海里)．
∵127＞100，
∴若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触礁危险．
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