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3.1
勾股定理
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出圆的半径为，再用两点间的距离等于右边点的坐标减掉左边点的坐标得到答案．
【详解】
解：由图可知，直角三角形的两边长分别为2和1，有勾股定理可得，斜边长为:
，
∴为圆的半径，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数在数轴上的表示方法，关键在于应用勾股定理求出圆的半径，再根据两点间的距离计算结果．
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
【答案】D
【分析】
根据勾股定理，计算出斜边长为13．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边长＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长．
3．在中，，，所对的边分别是，若，，，则的长度是（
）
A．10
B．
C．2
D．14
【答案】B
【分析】
利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵∠B=90°，BC=a=6，AC=b=8，
∴c=AB==，
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
【答案】A
【分析】
根据图示，可得：点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵=，
∴点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，且在-1左侧，
∴a=-1-，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：点A是以（-1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点．
5．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点，若，则的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用勾股定理即可求出BE，然后根据垂直平分线的性质即可求出结论．
【详解】
解：在Rt△BCE中，，
∴BE=
∵ED垂直平分AB
∴AE=BE=5
故选C．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解决此题的关键．
6．下列四组数中是勾股数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A.
52+122=169=132，能构成勾股数，故该选项正确；
B.
22+32=13≠52，不能构成勾股数，故该选项错误；
C.
42+52=41≠62，不能构成勾股数，故该选项错误；
D.
322+422=2788≠522，不能构成勾股数，故该选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足a2+b2=c2，称为勾股数．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝10，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100
B．120
C．140
D．160
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求出AC?＋BC?，再根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC?＋BC?＝AB?＝100，
则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC?＋BC?＝100，
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c，那么．
8．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（
）
A．1
B．
C．5
D．1或
【答案】D
【分析】
分2是斜边长、2是直角边长两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：当2是斜边长时，由勾股定理得，另一条直角边=，
当2是直角边时，由勾股定理得，斜边长=，
∴该直角三角形第三边的长为1或，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9．在Rt△ABC中，，则AB的长是（
）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】
根据在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，利用勾股定理，可以求得AB的长．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．7
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【详解】
解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
∵
×AC×BC=
×CD×AB，
∴
×3×4=×5×CD，
解得：CD=．
故选．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
11．已知三角形三边的长分别为3、4、6，则该三角形的形状是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出以3、4为直角边的三角形的斜边长，由此即可得．
【详解】
以3、4为直角边的三角形的斜边长为5
以3、4、6为三边构成的三角形是钝角三角形
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（ ）
A．26
B．18
C．25
D．21
【答案】C
【分析】
根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，
∴c2＝a2+b2
∴c＝25．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知利用勾股定理的定义．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．25
C．6
D．
【答案】A
【分析】
利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形，掌握公式正确计算是解题关键．
14．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．等边三角形三个角相等
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
【答案】A
【分析】
分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．
【详解】
A、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为：如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意．21·世纪
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故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
15．如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
过作于，根据角平分线的性质定理可得，再证得，即可得，在中，由勾股定理求得，即可求得．
【详解】
如图所示，过作于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，平分，
，，
，
，
中，，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及勾股定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键．
16．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（ ）21·cn·jy·com
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A．2
B．2
C．2
D．3
【答案】B
【分析】
由作图痕迹可知AD⊥BC，根据勾股定理即可求出AD的值，利用∠B＝45°确定△ABD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB长即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由作法得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和，等腰直角三角形，发现AD⊥BC是解题的关键．
17．RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D为斜边AB的中点，则CD的长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10，
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=5cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
18．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（
）
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A．1
B．2
C．3
D．
【答案】D
【分析】
先根据等腰三角形的性质求解的大小，再利用含的直角三角形的性质求解，再利用勾股定理求解，即可得到答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：
，，
，，
故选：
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．21
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19．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13
B．4，5，6
C．2，3，4
D．1，，
【答案】A
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
20．如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2米
B．4米
C．6米
D．8米
【答案】B
【分析】
由勾股定理解得AC的长，再比较AC与从的大小．
【详解】
解：在长方形中，
从A到C走比直接走多走4米，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．如图，中，于点D，若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据勾股定理计算即可得解．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=3，
∴BC==，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
22．如图，在中，，D是线段上的动点（不含端点B、C）若线段长为正整数，则点D的个数共有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
首先过A作AE⊥BC，当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∵线段AD长为正整数，
∴AD=3或4，
而使AD=3的有一条，使AD=4的有2条,
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
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【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．
23．如图，在中，，，，角平分线交于点，则点到的距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】
作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ACB中，，
∵CD是角平分线，
∴DE=DF，
∴，即，
解得DE=．
故点D到AC的距离是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，角平分线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
24．如图，在中，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．4
D．12
【答案】A
【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD⊥B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，根据勾股定理求出AD的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，故可得出S阴影=S△ABD，由此即可得出结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是BC边上的中线，
∴BD=BC=4，AD⊥BC，
∴AD==3，
∵同底等高的三角形面积相等，
∴S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，
∴S阴影=S△ABD=BD?AD=×4×3=6．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．
25．如图，中，，过点作交于点．若，则下列命题正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据AD⊥AC，结合∠ADC=2∠B和等腰三角形的性质，求出∠B和∠C的度数，从而设AD=x，则CD=2x，AC=AD=x，根据外角的性质得到∠BAD，从而判断B、D；推出AD=BD，从而判断出AC、CD和BD的关系，即可判断A、C．
【详解】
解：∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=2∠B，AB=AC，
∴∠B=∠C=∠ADC，
又∵∠ADC+∠C=90°，
∴∠C=30°=∠B，∠ADC=60°，
设AD=x，则CD=2x，AC=AD=x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，
∴∠BAD=30°=∠B，则B、D错误；
∴BD=AD=x，
∴CD=2BD，故A错误；
AC=AD=BD，故C正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质，理解其边角关系．
26．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再求出BH即可得出结论．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=MN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=，∠BAC=45°，
∴BH=，
∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
27．如图，长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则拉升后橡皮筋伸长了（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理，可求出、的长，则即为拉长后橡皮筋的长，从而减去原来的长度即可得到答案．
【详解】
解：Rt△ACD中，，；
根据勾股定理，得：；
；
；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．关键是根据勾股定理，可求出、的长．
28．如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．
【详解】
解：BC＝BA＝，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴a＝
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
29．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.1
B．1.4
C．3.2
D．2.4
【答案】B
【分析】
设CD=x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理列式表示出AC2，然后解方程即可．
【详解】
解：设CD=x，则BC=5+x，
在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-（5+x）2，
所以，25-x2=64-（5+x）2，
解得x=1.4，
即CD=1.4．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟记定理并在两个三角形列出等式表示出AC2，然后列出方程是解题的关键．
30．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意可求出，即推出AD=BD=1．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出CD长．
【详解】
∵，，
∴．
∵AB=AC，，
∴，
∴，
∴AD=BD=1，
在中，，，BD=1．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
31．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
连接，根据的垂直平分线交于点得到，再根据勾股定理求出结果．
【详解】
解：如图，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为的垂直平分线，
，
在中，，，，
由勾股定理得，
设的长为，则，在中，
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理，关键在于熟练运用线段垂直平分线的性质，做出辅助线利用勾股定理进行求解．
32．平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）和点B（1，2），则线段AB的长为______．
【答案】
【分析】
根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长，本题得以解决．
【详解】
解：点A（-1，3）和点B（1，2），
如图，过A作AC⊥轴，过B作BC⊥轴，AC与BC相交于C，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AC=3-2=1，BC=1-(-1)=2，
在Rt△ABC中，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标内两点间的距离，勾股定理，解题的关键是明确平面直角坐标内两点间距离的计算方法．
33．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
根据勾股定理得出AC2+CD2=AD2，进而得出两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和=Rt△ACD的面积，再求解即可．
【详解】
解：∵△ACD是等腰直角三角形，AD=4，
∴AC=CD，AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=，S半圆AEC=，S半圆CFD=，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）
=Rt△ACD的面积
=××
=4；
故答案为：4．
【点睛】
此题考查勾股定理，关键是根据图中阴影部分=△ACD的面积解答．
34．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为__________．21
cnjy
com
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【答案】4.8
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF=CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【详解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF=CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BM，
∴BM=，
即CF+EF的最小值是4.8，
故答案为：4.8．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．21教育网
35．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点与点重合，则的长是________．
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【答案】
【分析】
先通过勾股数得到，再根据折叠的性质得到，，，设，则，，在中利用勾股定理可计算出，然后在中利用勾股定理即可计算得到的长．
【详解】
解：直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，
，
又根据折叠的性质，
，，，
设，则，，
在中，，即，解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了勾股定理．
三、解答题
36．如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．【来源：21cnj
y.co
m】
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（1）求证：BF=AC；
（2）求证：BE是AC的中垂线；
（3）若AD=1，求CF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；
（2）只要证明BC=BA即可解决问题；
（3）连接AF，根据△BDF≌△CDA得到AD=DF，求出AF，再根据垂直平分线的性质可得CF=AF．
【详解】
解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
∵BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BE⊥AC，
∴CE=EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）连接AF．
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∵△BDF≌△CDA，
∴AD=DF=1，，
∵BE垂直平分AC，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【出处：21教育名师】
37．如图是一个长方形的大门，小强拿
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
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【答案】尺
【分析】
根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．
【详解】
解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，
根据勾股定理可得：
x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，
解得：x＝7.5，
∴门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．
故答案为尺．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键．
38．如图，在的网格中，、均在格点上，请只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写做法）
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（1）在图1中画格点．使得为等腰三角形（请画出两个不同的点）；
（2）在图2中作出的角平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，构造边长为5的线段即可找出点C；
（2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，点C即为所作；
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（2）如图，AE即为所作．
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【点睛】
本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．如图，在四边形中，．求
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（1）的度数；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）90°；（2）
【分析】
（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边AC的长度，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD为直角三角形．
（2）根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AC=2BC=2，
又CD=2，AD=，
∴AC2+CD2=8，AD2=8，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°．
（2）∵AC=2，BC=1，
∴AB==，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD==．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求解是本题的突破点，也是难点．同时勾股定理逆定理也是本题的考查点之一．
40．如图，在中，边的垂直平分线交于点，且．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【详解】
解：（1）证明：连接CE，如图，
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∵DE垂直平分BC，
∴CE=BE，
∵BE2-EA2=AC2，
∴CE2-EA2=AC2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）∵AB=4，BC=5，
∴AC==3，
设AE=x，
在Rt△AEC中，32+x2=（4-x）2，
∴x=，
∴AE的长为．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
41．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上．
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（1）线段的长度是______，线段的长度是______．
（2）若的长为，那么以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【答案】（1），；（2）能，理由见解析
【分析】
（1）根据勾股定理，可以求得和的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以、、三条线段为边能否构成直角三角形．
【详解】
解：（1）由图可得，
，，
故答案为：，；
（2）以、、三条线段为边能构成直角三角形，
理由：，，，
，
以、、三条线段为边能构成直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．
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【答案】（1）DE⊥DP，理由见解析；（2）
【分析】
（1）综合等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质进行分析得出∠PDE＝90°，从而得出结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7－x，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）DE⊥DP，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°－90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7－x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2，
∴32＋（7－x）2＝22＋x2，
解得：x＝，
则DE＝．
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【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理等，理解基本的性质并熟练运用勾股定理是解题关键．【版权所有：21教育】
43．如图，在四边形中，，求的长．
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【答案】．
【分析】
延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可．
【详解】
解：延长相交于点，
中，
中，
设
在中，由勾股定理得，
．
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【点睛】
本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AB为一边的ABC，点C在小正方形顶点上，且ABC的面积为12．
（2）在图2中画出以AB为一腰的等腰直角三角形ABD，点D在小正方形顶点上．
（3）在（2）的条件下，请直接写出ABD的面积
．
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【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）10
【分析】
（1）直接利用三角形面积求法得出答案；
（2）直接利用等腰直角三角形的性质得出D点位置；
（3）直接利用等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：△ABC的面积为12；
（2）如图所示：△ABD即为所求；
（3）△ABD的面积为：，
故答案为：10．
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【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握等腰直角三角形的性质是解题关键．
45．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（-4，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标 ；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并直接写出B2点的坐标 ；
（3）在（1）（2）的条件下，若点P在x轴上，当A1P+B2P的值最小时，直接写出A1P+B2P的最小值为 ．
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【答案】（1）图见解析，（-2，-4）；（2）图见解析，（4，2）；（3）
【分析】
（1）分别找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可，然后根据关于x轴的两点坐标关系即可求出结论；
（2）分别找出点A、B、C关于y轴的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接即可，然后根据关于y轴的两点坐标关系即可求出结论；
（3）连接A1
B2，交x轴于点P，根据两点之间线段最短可得，A1B2即为A1P+B2P的最小值，利用勾股定理求出结论即可．
【详解】
解：（1）分别找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，如图所示，△A1B1C1即为所求，
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∵A（﹣2，4），
∴A1点的坐标为（-2，-4）
故答案为：（-2，-4）；
（2）分别找出点A、B、C关于y轴的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接，如图所示，△A2B2C2即为所求，
∵B（﹣4，2），
∴B2点的坐标为（4，2）
故答案为：（4，2）；
（3）连接A1
B2，交x轴于点P，根据两点之间线段最短可得，A1B2即为A1P+B2P的最小值
由网格和勾股定理可得A1B2=
即A1P+B2P的最小值为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是坐标与图形，掌握已知图形关于坐标轴对称图形的画法、关于坐标轴对称的两点坐标关系、两点之间线段最短和勾股定理是解题关键．2·1·c·n·j·y
46．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，且．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，找一格点，使得≌；
（2）在图2中，作出中边上的高．
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【答案】（1）如图，点即为所求；见解析；（2）如图，线段即为所求；见解析
【分析】
（1）由图1易得AB=BC=5，然后根据勾股定理及三角形全等的判定可求解；
（2）由勾股定理及等腰三角形的性质可先作出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC边上的垂线，与BC所在的高线交于一点，然后连接此点与点C，并延长，交AB于点E，则问题可求解．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求；
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（2）如图，线段即为所求．
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【点睛】
本题主要考查勾股定理、全
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等三角形的判定、等腰三角形的性质及三角形的高线，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质及三角形的高线是解题的关键．
47．已知：如图是等腰三角形，，三角形的面积．
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（1）求作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求线段的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）以为圆心，大于点到的距离为半径画弧，得到弧与的延长线的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得相交两弧的一个交点，过相交两弧的这个交点与点作直线，交直线于
则可得线段即为上的高；
（2）利用三角形的面积求解
再利用勾股定理求解
从而可得答案．
【详解】
解：（1）作图如下所示：
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∴线段就是所求的边上的高．
（2）由题意得：，
∴，
∴
在中，
∴，
∴，（负根舍去）
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是作三角形的高，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
48．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，E、F分别是垂足．
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（1）试说明：DE=DF；
（2）若AB=AC=13，BC=10，求DE．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图，连接
利用等腰三角形的性质证明
再证明再利用全等三角形的对应高相等可得答案；
（2）由全等三角形的性质证明再利用勾股定理求解
利用面积公式列方程，再解方程即可得到答案．
【详解】
证明：（1）如图，连接
为的中点，
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（2）
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，利用等面积法求解三角形的高，掌握以上知识是解题的关键．
49．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴AC=2DC=8，
AD==4
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
50．如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．
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（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）直接写出△A'B'C'的面积等于
；
（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为
．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）5
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得出△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A'B'C'的面积；
（3）连接
A'C，与直线l的交点即为点P，依据勾股定理即可得到A'C
的长度等于5即为PA＋PC的长度最小值．
【详解】
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
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（2）△A'B'C'的面积＝3×4﹣﹣﹣＝12﹣2﹣2﹣3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示，点P即为所求，PA+PC的长度最小值等于A'C的长，
由勾股定理得，A'C＝＝5，
∴PA+PC的长度最小值等于5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)变换作图以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
51．已知：是四边形的对角线，，，，，．
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（1）求的值．
（2）求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）过点D作DE⊥BC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，即可求出∠ABD=45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
（1）过点作于点，
∵在中，，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）过点作于点，
在中，，，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴中，
．
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【点睛】
本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形．
52．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知．
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（1）的长等于______；的面积是______；
（2）将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是______．
（3）作出与关于轴对称的．
【答案】（1）；；（2）图见解析；（1,2）；（3）图见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出AC，然后利用正方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求出的面积；
（2）将向右平移2个单位得到即可，然后根据平面直角坐标系即可求出点的坐标；
（3）找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
【详解】
解：（1）由勾股定理可得：
=
=
故答案为：；；
（2）将向右平移2个单位得到，如图所示，即为所求；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由平面直角坐标系可知：点的对应点的坐标是（1,2）
故答案为：（1,2）；
（3）找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示，即为所求．
【点睛】
此题考查的是轴对称变化作图，利用平移变换作图，勾股定理与网格问题，掌握网格结构，准确找出对应点是解题关键．
53．如图，在中，
，为边上一点，且，．
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（1）求的长；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）45．
【分析】
（1）设，则，根据，，利用勾股定理可求出；
（2）利用勾股定理可求出，可得，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）设，则，
在中，，，
则，
解得（负值舍去），
．
（2），
，
，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
54．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）若CE＝1，求EF的长．
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【答案】（1）30°；（2）．
【分析】
（1）由等边三角形可得：，利用平行线的性质证明：
再由直角三角形的两锐角互余可得答案；
（2）先证明△是等边三角形，再证明：
再利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵DE//AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ECD＝∠EDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝1，
∵∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠ECD﹣∠F＝30°，
∴CE＝CF＝1，
∴DF＝2；
∴在Rt△DEF中，
EF．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
55．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，你能求出的长吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
根据勾股定理先求解出AB的长，根据折叠的性质可求得AE，从而求得BE，再在中利用勾股定理求解即可．
【详解】
在三角形ABC中，由勾股定理可知：
．
由折叠的性质可知：
，，．
∴，．
设，则．
在中，由勾股定理得：
，即．
解得：．
∴．
【点睛】
本题考查勾股定理相关的折叠问题，理解折叠后图形的性质，准确在直角三角形中运用勾股定理计算是解题关键．
56．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）若CF＝2，求EF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）30°；（2）2．
【分析】
根据平行线性质，得到∠EDC＝∠B＝60°，再用三角形内角和定理即可求解.
△EDC是等边三角形，△ECF为等腰三角形，再根据直角三角形性质结合勾股定理即可求解.
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB=∠F+∠CEF＝60°，∠F＝30°，
∴∠CEF=30?=∠F，
∴EC=CF=2，
∵∠EDC＝60°=∠ACB，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝EC=2，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4，
在Rt△DEF中由勾股定理，
∴EF=＝DE＝2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
本题考查等边三角形性质，直角三角形性质，等腰三角形性质以及勾股定理，熟悉30的直角边是斜边的一半，掌握等边三角形性质，直角三角形性质，等腰三角形性质以及勾股定理是解题关键．
57．如图，四边形ABCD中，CD=7，AB=2，∠BAD=90°，∠ACD=120°，∠D=30°，求BC的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明AC=CD=7，利用直角三角形的性质得到AE，利用勾股定理求出CE，再求出BC．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
∵∠D=30°，∠ACD=120°，
∴∠CAD=30°，
∴AC=CD=7，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CE，
∴∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=AC=，
∴CE2=AC2-AE2=，
∴BC==．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
58．已知：如图，，，连结交于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，求边的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）根据题意易得BD=CD，进而可证△ABD≌△ACD，然后根据全等三角形的性质可证；
（2）由（1）得AD⊥BC，则有AB=2BE，AD=2BD，进而可求AE的长，然后根据线段的和差关系可求．
【详解】
（1）证明：∵，
∴BD=CD，
∵，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴；
（2）由（1）得：Rt△ABD≌Rt△ACD，，
∴AD⊥BC，
∵，，
∴，AD=2BD，
∴，
在Rt△ABD中，，
∴BD=2，
∴AD=4，
∴DE=AD-AE=1．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定及含30
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形全等的判定及含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．www.21-cn-jy.com
59．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形．
(1)
根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
(2)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c；
(3)
如图，△ABC、△ABD都是以A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）真命理，理由见解析；（2）a：b：c=1：
：：或a：b：c=：
1：；（3）见解析21cnjy.com
【分析】
（1）根据“双勾股三角形”的定义即可得出结论；
（2）由勾股定理可得a2＋b2＝c2，然后根据三边的大小关系分类讨论，分别根据“双勾股三角形”的定义列出方程即可分别求出结论；
（3）根据勾股定理可得AC2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC2=AB2，AD2＋BD2=AB2,从而得出AC2＋BC2
=AD2＋BD2，再结合已知条件和等量代换即可证出AC2＋CE2=2AE2，从而证出结论．
【详解】
解：（1）真命题，理由如下：
设等边三角形的三边为a、b、c，则a=b=c
∴a2＋b2＝2c2
∴等边三角形一定是双勾股三角形．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2＋b2＝c2,
当c＞b＞a＞0时，
∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2,
∴若△ABC是双勾股三角形，一定有2b2=a2＋c2,
∴2b2=a2＋（a2＋b2
），
∴b2=2a2，
∴b=a,
∵c2=b2＋a2=3a2，
∴c=a
∴a:
b:
c＝1:
:
；
当c＞a＞b＞0时，
同理若△ABC是双勾股三角形，一定有2a2=b2＋c2，
∴2a2=b2＋（a2＋b2
），
∴a2=2b2，
∴a=b,
∵c2=b2＋a2=3b2，
∴c=b
∴a:
b:
c＝
:1:
综上：a：b：c=1：
：：或a：b：c=：
1：；．
（3）在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2
在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2,
∴AC2＋BC2
=AD2＋BD2
∵DA=DB，AE=AD，CB=CE
∴AC2＋CE2
=2AD2
∴AC2＋CE2=2AE2
∴△ACE是双勾股三角形
【点睛】
此题考查的是勾股定理和新定义类问题，掌握勾股定理和“双勾股三角形”的定义是解题关键．
60．如图，在和中，AB为斜边，AC＝BD，BC、AD相交于点E
(1)请说明AE＝BE的理由；
(2)若∠AEC＝45°，AC＝1，求CB的长．
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【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】
(1)先证明可得再利用等角对等边可得结论；
(2)
先证明
再利用勾股定理求解结合(1)中的结论：
从而可得答案．
【详解】
证明：(1)在与中，
，
(2)
由(1)得：
【点睛】
本题考查的是线段的和差，直角三角形的两锐角互余，直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
61．在等腰中，，点为平面内一点，连、、．
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（1）如图1，若点是内一点，且，求证：；
（2）如图2，若点是外一点，且，，求证：；
（3）如图3，若点在的延长线上，过点作交于点，若，，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）如图1，延长AD交BC于点G，由等腰三角形三线合一性质、等边对等角性质解题即可；
（2）如图2，延长CD至点H，使DH=BD,连接AH，由等角的补角相等，解得，进而证明，再由全等三角形对应边相等的性质，得到，根据等量代换、结合等边三角形的判定，可证明，据此解题；
（3）如图3，延长EA至点F，使AF=AE,连接CF,由等边对等角的性质与等角的补角相等性质，可证明，再由全等三角形对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理解题即可．
【详解】
（1）证明：如图1，延长AD交BC于点G，
AB=AC，
（2）证明：如图2，延长CD至点H，使DH=BD,连接AH，
在和中
为等边三角形
又
(3)证明：如图3，延长EA至点F，使AF=AE,连接CF，
，
在和中
在中，
即
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【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，其中涉及等腰三角形的性质、等角的补角相等、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，作出准确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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3.1
勾股定理
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（
）
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A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
3．在中，，，所对的边分别是，若，，，则的长度是（
）
A．10
B．
C．2
D．14
4．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（
）
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A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
5．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点，若，则的长是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．下列四组数中是勾股数的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝10，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（
）
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A．100
B．120
C．140
D．160
8．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（
）
A．1
B．
C．5
D．1或
9．在Rt△ABC中，，则AB的长是（
）
A．
B．2
C．1
D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是(
)
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A．5
B．7
C．
D．
11．已知三角形三边的长分别为3、4、6，则该三角形的形状是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（ ）
A．26
B．18
C．25
D．21
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（
）
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A．5
B．25
C．6
D．
14．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．等边三角形三个角相等
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
15．如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（ ）
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A．
B．
C．2
D．
16．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．2
B．2
C．2
D．3
17．RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D为斜边AB的中点，则CD的长是（
）
A．
B．
C．
D．
18．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（
）
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A．1
B．2
C．3
D．
19．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13
B．4，5，6
C．2，3，4
D．1，，
20．如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（
）2-1-c-n-j-y
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A．2米
B．4米
C．6米
D．8米
21．如图，中，于点D，若，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
22．如图，在中，，D是线段上的动点（不含端点B、C）若线段长为正整数，则点D的个数共有（
）【出处：21教育名师】
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A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
23．如图，在中，，，，角平分线交于点，则点到的距离是（
）
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A．
B．2
C．
D．3
24．如图，在中，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是（
）21·cn·jy·com
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A．6
B．8
C．4
D．12
25．如图，中，，过点作交于点．若，则下列命题正确的是（
）
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A．
B．
C．
D．
26．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．2
C．
D．
27．如图，长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则拉升后橡皮筋伸长了（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是（
）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝（
）
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A．2.1
B．1.4
C．3.2
D．2.4
30．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（
）
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于____．
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32．平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）和点B（1，2），则线段AB的长为______．
33．古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰Rt的边，，为直径画半圆，若斜边，则图中两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和为______．www.21-cn-jy.com
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34．如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为__________．【来源：21·世纪·教育·网】
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35．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点与点重合，则的长是________．21
cnjy
com
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三、解答题
36．如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．【版权所有：21教育】
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（1）求证：BF=AC；
（2）求证：BE是AC的中垂线；
（3）若AD=1，求CF的长度．
37．如图是一个长方形的大门，小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．
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38．如图，在的网格中，、均在格点上，请只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写做法）
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（1）在图1中画格点．使得为等腰三角形（请画出两个不同的点）；
（2）在图2中作出的角平分线．
39．如图，在四边形中，．求
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（1）的度数；
（2）四边形的面积．
40．如图，在中，边的垂直平分线交于点，且．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
41．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上．
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（1）线段的长度是______，线段的长度是______．
（2）若的长为，那么以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．21教育名师原创作品
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．
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43．如图，在四边形中，，求的长．
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44．如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AB为一边的ABC，点C在小正方形顶点上，且ABC的面积为12．
（2）在图2中画出以AB为一腰的等腰直角三角形ABD，点D在小正方形顶点上．
（3）在（2）的条件下，请直接写出ABD的面积
．
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45．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（-4，2），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标 ；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并直接写出B2点的坐标 ；
（3）在（1）（2）的条件下，若点P在x轴上，当A1P+B2P的值最小时，直接写出A1P+B2P的最小值为 ．
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46．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，且．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，找一格点，使得≌；
（2）在图2中，作出中边上的高．
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47．已知：如图是等腰三角形，，三角形的面积．
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（1）求作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求线段的长．
48．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，E、F分别是垂足．
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（1）试说明：DE=DF；
（2）若AB=AC=13，BC=10，求DE．
49．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．
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50．如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处．
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（1）画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'；
（2）直接写出△A'B'C'的面积等于
；
（3）在直线l上求作一点P，使PA+PC的长度最小，并写出这个最小值为
．
51．已知：是四边形的对角线，，，，，．
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（1）求的值．
（2）求的长．
52．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知．
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（1）的长等于______；的面积是______；
（2）将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是______．
（3）作出与关于轴对称的．
53．如图，在中，
，为边上一点，且，．
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（1）求的长；
（2）若，求的面积．
54．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．21cnjy.com
（1）求∠F的度数．
（2）若CE＝1，求EF的长．
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55．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，你能求出的长吗？2·1·c·n·j·y
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56．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．21·世纪
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（1）求∠F的度数．
（2）若CF＝2，求EF的长．
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57．如图，四边形ABCD中，CD=7，AB=2，∠BAD=90°，∠ACD=120°，∠D=30°，求BC的长．
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58．已知：如图，，，连结交于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求边的长．
59．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形．
(1)
根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；【来源：21cnj
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m】
(2)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c；
(3)
如图，△ABC、△ABD都是以AB
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60．如图，在和中，AB为斜边，AC＝BD，BC、AD相交于点E
(1)请说明AE＝BE的理由；
(2)若∠AEC＝45°，AC＝1，求CB的长．
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61．在等腰中，，点为平面内一点，连、、．
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（1）如图1，若点是内一点，且，求证：；
（2）如图2，若点是外一点，且，，求证：；
（3）如图3，若点在的延长线上，过点作交于点，若，，求证：．
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精品试卷·第
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