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3.1
勾股定理
【提升训练】
一、单选题
1．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则EBD的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
3．勾股定理是人类早期发现并证明的重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
4．若等边三角形ABC的边长为10，那么它的面积为（ ）
A．25
B．25
C．
D．
5．如图，桌面上的长方体长为4，宽为3，高为2，．一只蚂蚁（看作一点）从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．
C．
D．
6．下列四组数据，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5
B．5，6，7
C．6，8，10
D．9，40，41
7．如图，在中，，以斜边为边向外作等腰直角三角形，连接，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．17
D．18
8．如图，中，，角平分线交于点交于F，下列结论：①；②：③若，则．其中正确结论的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
9．一次数学课上，老师请同学们在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一张长为9厘米，宽为8厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（
）平方厘米．21·世纪
教育网
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A．
B．或10
C．或或4
D．或10或
10．一次数学课上，老师
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个根长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，先剪下的等腰三角形的面积为（ ）21
cnjy
com
A．50
B．50或40
C．50或40或30
D．50或30或20
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，点E的坐标是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．
C．
D．
12．如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的点，，与交于点F，于点G，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．2
13．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
14．已知中，，若，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．6
D．8
17．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，己知米，米，，这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮需要（
）元．www-2-1-cnjy-com
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A．
B．
C．
D．
18．如图，在中，有一点P在直线上移动，若，则的最小值为（
）
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A．
B．5
C．4.8
D．4
19．如图，P
是等边三角形
ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
内的一点，且
PA＝3，PB＝4，PC＝5，以
BC
为边在△ABC
外作△BQC≌△BPA，连接
PQ，则以下结论中正确有（
）【出处：21教育名师】
①△BPQ
是等边三角形
；
②△PCQ
是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．设AB长是，下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③是13的平方根；④．其中所有正确说法的序号是（）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
21．如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
22．如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36
B．27
C．18
D．9
23．如图，在中，，
．分别是上的任意一点，求的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.5
B．2
C．
D．
24．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
25．如图，在中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，点D在AB上，连结CD，将沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（
）www.21-cn-jy.com
①当BF=BC时，EF=2-2；②当BF=BC时，为直角三角形；③当为直角三角形，EF=2-2；④当DE平行的边时，∠BCE=30°
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A．1
B．2
C．3
D．4
26．如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．6
C．
D．
27．如图，四个全等的直角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．S1﹣S2
B．S1+S2
C．2S1﹣S2
D．S1+2S2
28．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
29．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点Р是对角线BD上一动点（不与D，B重合），于点F，于点E，连接AP，EF．则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．，且
C．四边形的周长是8
D．
30．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转至，过点作，垂足为，若，，则的长为__．
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32．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为______．
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33．等腰中，腰上的高，，则线段的长为______．
34．如图，在数轴上找到
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)表示－3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．
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35．如图，点A（0，4），点B（3，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是____．
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三、解答题
36．如图所示，在四边形中，∠B＝＝，＝，＝，＝．求：
（1），的度数；
（2），的长度；
（3）四边形的面积．
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37．在四边形中，，，，，求和．
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38．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对，两地间的公路进行改建．如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需途径地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，．
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（1）开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米？
（结果保留根号）
39．如图，在中，．求：
（1）的长；
（2）的面积．
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40．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
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（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
41．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？21教育名师原创作品
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42．如图，是等边三角形，，连接，，，求出的长．
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43．定义：如图，等腰中，点E，F分别在腰上，连结，若，则称为该等腰三角形的逆等线．
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（1）如图1，是等腰的逆等线，若，，，求逆等线的长；
（2）如图2，若等腰直角的直角顶点D恰好为等腰直角底边上的中点，且点E，F分别在上，求证：为等腰的逆等线．21·cn·jy·com
44．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．
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（1）求证：；
（2）请判断的形状，并给予证明；
（3）请用等式表示线段的数量关系，不必说明理由．
45．如图，在中，平分交于点F，垂足是E，与交于点A．
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（1）求证：；
（2）求证：是的中垂线；
（3）若，求的长度．
46．如图，是上的一点，．
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（1）判断的形状，并说明理由
（2）若，求出的长．
47．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
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（1）求的长．
（2）求的长．
48．如图，在中，于点D，求的长．
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49．如图，在中，，于点，，分别交，于点、．
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（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，若，，求证：；
（3）在（2）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系．
50．如图，，，是上的一点，且，．
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（1）与全等吗？请说明理由；
（2）若，，请求出的面积．
51．如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
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52．在中，，，．
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（1）如图1，求点到边的距离；
（2）点是上一动点．
①如图2．过点作交于点，当时，求的长；
②如图3，连接，当为何值时，为等腰三角形？
53．如图，在中，，，，．
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（1）求线段的长；
（2）求的长．
54．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，
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（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）若，，求的长．
55．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标为A（﹣4，0），B（0，3），点C，D分别是点A，B关于y轴，x轴对称的点．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ）请写出点C，D的坐标；
（Ⅱ）画出四边形ABCD，求四边形ABCD的周长．
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56．如图，中，，，点D在边上．
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（1）如图1，若且，求的长；
（2）如图2，过B作，且．连接并延长交于点F，过点C作于点G，连接．求证：．
57．如图所示，在中，，，，D是BC上一点，把折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．21教育网
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58．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；21cnjy.com
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．21
cnjy
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59．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
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（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
60．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
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（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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3.1
勾股定理
【提升训练】
一、单选题
1．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
作于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形面积公式求中AC边上的高即可．
【详解】
解：作于D，如图所示，
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∵小正方形的边长都为1，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理在网格中的应用以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于矩形的面积减去三个小三角形的面积是解题的关键．21·世纪
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2．如图ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则EBD的面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据AB＝AC，BAC＝120°可得∠B和∠C的度数，根据D是BC的中点可以求得BD的长，根据直角三角形中所对直角边是斜边的一半，确定DE长，根据勾股定理即可求出BE，然后利用三角形面积公式，本题得以解决．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质、直角三角形中角性质、勾股定理及三角形面积公式，难点在于直角三角形中角性质及勾股定理运算及理解．
3．勾股定理是人类早期发现并证明的重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
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C．
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D．
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【答案】D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+
b2+
a2+
ab=（a+b）2，
∴a2+
2ab
+b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
4．若等边三角形ABC的边长为10，那么它的面积为（ ）
A．25
B．25
C．
D．
【答案】A
【分析】
作AD⊥BC于点D，先求出三角形的高，即可求解结果．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于点D，
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∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AD平分∠BAC．
∴∠CAD=∠BAC=30°．
∴CD＝AC＝5，
∴AD＝
∴S△ABC＝BC?AD＝25．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形与直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形与直角三角形的性质．
5．如图，桌面上的长方体长为4，宽为3，高为2，．一只蚂蚁（看作一点）从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（
）
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A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意画出长方形的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
解：如图1所示，则，
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如图2所示，则，
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如图3所示，则，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上：AB的最短距离为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是平面展开
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
6．下列四组数据，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5
B．5，6，7
C．6，8，10
D．9，40，41
【答案】B
【分析】
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】
解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；
B、因为52+62≠72，不属于勾股数；
C、因为62+82＝102，属于勾股数；
D、因为92+402＝412，属于勾股数；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．www.21-cn-jy.com
7．如图，在中，，以斜边为边向外作等腰直角三角形，连接，则的长为（
）
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A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】C
【分析】
过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，借助等腰直角三角形的性质，证明△ADE≌△BAC，得到CE和DE的长，再利用勾股定理计算出CD．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥CA，交CA的延长线于点E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∴∠DAE=∠CBA，
∵DE⊥AE，
∴∠DEA=90°，
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（AAS），
∴BC=AE=7，AC=DE=8，
∴CE=AE+AC=7+8=15，
在△CED中，
CD==17,
故选C．
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【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
8．如图，中，，角平分线交于点交于F，下列结论：①；②：③若，则．其中正确结论的个数为（
）
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A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】
如图延长交于，作于，于．利用角平分线的性质定理，全等三角形的性质一一判断即可；
【详解】
解：如图延长交于，作于，于．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，角平分线、交于点，
，
，
，
，
，故①正确，
，，，
，
，，，
，
，
，故②正确，
，，平分，
，
，
，
，
，
，
，故③错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．一次数学课上，老师请同学们
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在一张长为9厘米，宽为8厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（
）平方厘米．
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A．
B．或10
C．或或4
D．或10或
【答案】D
【分析】
（1）在、上分别截取cm；（2）在上截取cm，以为圆心，5cm长为半径作弧，交于；（3）在上截取cm，以为圆心5cm为半径作弧，交于．
【详解】
解：如图1所示：
cm2，
如图2所示：
cm，则cm，
cm，
cm，
cm2，
如图3所示：
cm，则cm，
cm，
cm，
cm2．
综上所述：该等腰三角形的面积为：cm2或cm2或cm2．
故选：D．
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【点睛】
此题主要考查了长方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
10．一次数学课上，老师请同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个根长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，先剪下的等腰三角形的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
A．50
B．50或40
C．50或40或30
D．50或30或20
【答案】C
【分析】
本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．
【详解】
解：如图四边形是矩形，cm，cm；
本题可分三种情况：
①如图（1）：中，cm；
cm2；
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②如图（2）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有：cm；
cm2；
③如图（3）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有cm；
cm2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，点E的坐标是（
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A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由等边三角形的性质可得AO=OB=AB=2，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD=∠BOC=60°，可求∠EAO=60°，即可求OE=，可求点E坐标．
【详解】
解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO=OB=AB=2，BC=BD=CD，∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBC=∠ABD，且OB=AB，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∴∠EAO=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
在Rt△AOE中，AO=2，∠EAO=60°，
∴AE=4，OE==，
∴点E坐标（0，），
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
12．如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的点，，与交于点F，于点G，则的值为（
）
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A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
根据等边三角形性质得出AC=AB，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAC=∠B=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠BAE=∠ACD求出∠AFD=∠BAC=60°求出∠FAG=30°，得到AF=2FG，得到AG，即可求出答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠B=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD?（SAS），
∴∠BAE=∠ACD，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG，
∴AG==FG，
∴=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
13．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，BD=CD=BC=1，
由勾股定理得：AD=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．
14．已知中，，若，，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据a2﹣ab﹣2b2＝0，即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和b的关系，求出a：b：c化简即可．21教育网
【详解】
∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
如图，设正方形A、B、C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f，根据勾股定理得出正方形之间的关系，再将所有正方形的面积相加即可得出答案．
【详解】
解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f
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所有的三角形都是直角三角形
由勾股定理可得，，
S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64
S正方形A+S正方形B+
S正方形C+S正方形D+
S正方形E+S正方形F+82
=2（S正方形E+S正方形F）+64
=264+64
=192（cm2）
所有的正方形的面积和是192cm2
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，求得所有正方形的面积是关键，注意不要漏掉．
16．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（
）
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A．
B．
C．6
D．8
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5，
∴CD＝3，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝AD＝5，
∴BC＝BD+CD＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．21
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17．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，己知米，米，，这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮需要（
）元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
作BA边的高CD，设与AB的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)延长线交于点D，则∠DBC＝60°，由BC＝15米，即可求出BD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】
解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
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∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝60°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴∠DCB＝30°，BD＝7.5米，
，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，含3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
18．如图，在中，有一点P在直线上移动，若，则的最小值为（
）
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A．
B．5
C．4.8
D．4
【答案】C
【分析】
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝=＝4，
又∵S△ABC＝BC?AD＝BP?AC，
∴BP＝
＝＝4.8．
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．如图，P
是等边三角形
A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC
内的一点，且
PA＝3，PB＝4，PC＝5，以
BC
为边在△ABC
外作△BQC≌△BPA，连接
PQ，则以下结论中正确有（
）
①△BPQ
是等边三角形
；
②△PCQ
是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
【分析】
①根据△ABC是等边三角形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．
【详解】
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
④∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．设AB长是，下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③是13的平方根；④．其中所有正确说法的序号是（）
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A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
【答案】C
【分析】
用勾股定理求出，逐个判断即可．
【详解】
解：∠ACB=90°，AC=2，BC=3，
AB=，
故①②③正确，
∵，
3＜＜4，故④错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理和无理数的性质，解题关键是熟练运用勾股定理求出数值，准确运用无理数的性质进行判断．
21．如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，
∴AC?BC＝AB?CE，
∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，
∴DF＝EF﹣ED＝
∴B′F＝．
选：A．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
22．如图，在中，，，，若两阴影部分都是正方形，、、在一条直线上，且它们的面积之比为，则较大的正方形的面积是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．36
B．27
C．18
D．9
【答案】B
【分析】
设两个正方形的面积分别为a和3a，先根据勾股定理求出BC，再选用勾股定理得，由正方形的面积公式可得，即可求得结果．
【详解】
解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵，，，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴．
则较大的正方形的面积是27．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键
23．如图，在中，，
．分别是上的任意一点，求的最小值为（
）
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A．1.5
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
作关于的对称点，作于点，交于于点，则此时有最小值，且，利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：作关于的对称点，作于点，交于于点，
则此时有最小值，且，
，，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为1.5．
故选：A．
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【点睛】
此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及轴对称的性质．注意准确找到，的位置是解此题的关键．
24．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．
【详解】
解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，
∴△AEF≌△DEF，
∴AE=DE，
∵点为边的中点，
∴CD=，
设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，
即，
解得．
故选择：C．
【点睛】
本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
25．如图，在中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，点D在AB上，连结CD，将沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（
）
①当BF=BC时，EF=2-2；②当BF=BC时，为直角三角形；③当为直角三角形，EF=2-2；④当DE平行的边时，∠BCE=30°
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
由勾股定理可求AC的长，利用折叠的性质和等腰
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；
【详解】
解：
①∵BF=BC，且∠ABC=60°，
∴为等边三角形，BF=CF=BC=2，AC=2，AB=4，
∵沿CD折叠，
∴CE=AC=2，EF=CE-CF=2-2，故①正确；
②当BF=BC时，∠EFD=∠BFC=60°，
∴∠DEF=∠A=30°，∠EDF=90°，
∴为直角三角形，故②正确；
③当为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF=90°时，
∵∠DEF=∠A=30°，
∴∠EFD=60°=∠BFC，EF=EC-CF=2-2，
当∠EFD=90°时，∵∠ABC=60°，∠BCF=30°，
∴FC=，EF=EC-FC=，综上所述，EF=2-2或，故③错误；
④当DE平行于的边时，∵DE∥BC，∴∠EDF=∠ABC=60°，
∵∠DEC=30°，∴∠BCF=∠DEC=30°，故④正确，
故选C
【点睛】
本题考查了翻折变换，等腰三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA，学会运用分类讨论是解题的关键．
26．如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（
）
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A．5
B．6
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据，得到方程求解即可．
【详解】
解：连接OA,OB,OC,
由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD==4，
∴
∴12=10x+10x?3x，
∴x=
∴AO=4+=.
故选：D．
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【点睛】
本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
27．如图，四个全等的直角三角形和中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
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A．S1﹣S2
B．S1+S2
C．2S1﹣S2
D．S1+2S2
【答案】C
【分析】
根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．
【详解】
解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
28．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
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A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】
①证明∠A=∠DCB，AD=CD，∠ADE=∠CDF，根据ASA证明△得ED=FD，从而可判断①；②运用SAS证明△，得到，再由即可判断②；③当时，最短，从而可得，整理后代换即可判断③．21
cnjy
com
【详解】
解：①∵，
∴△是等腰直角三角形
∴∠
∵点D是AB的中点，
∴，∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△和△中
∴△
∴
∴△是等腰直角三角形
∴∠，故①正确；
②∵∠
∴∠
∴∠
在△与△中
∴△
∴
∵
∴，故②正确；
③∵△是等腰直角三角形，
∴
∵当时，最短，
∴
∴
即，故③错误；
∴综上，正确的是①②，
故选：A．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
29．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点Р是对角线BD上一动点（不与D，B重合），于点F，于点E，连接AP，EF．则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．，且
C．四边形的周长是8
D．
【答案】A
【分析】
由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形是矩形，得到，再结合正方形的性质，解得，由此判断A；
过点作垂足为，过作交于点，连接，由角平分线的性质得到，继而结合勾股定理证明、证明四边形是平行四边形，即可得到，设，结合勾股定理证明，即可判断B；
根据等腰直角三角形的性质计算四边形的周长即可判断C；
设，由勾股定理解得的长，再结合，解得与的数量关系即可判断D．
【详解】
解：A.
四边形是矩形
正方形中
故A错误；
B.过点作垂足为，过作交于点，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
平分，，
且
四边形是平行四边形
设，则，
故B正确；
C.
为等腰直角三角形
故四边形的周长为，
故C正确；
D.设
故D正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
30．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.
【详解】
如图，根据题意，得
BC=20，CD=BD=10=EM，
∴EG=GM=5，
∴EF=FG=5，
∴，
故选B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.
二、填空题
31．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转至，过点作，垂足为，若，，则的长为__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
过作，为垂足，通过已知条件可以求得，，从而求得，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：过作，为垂足，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
又，
，
又，
，
在与中，
，
，
，
∴，
在中，，设，则
由勾股定理可得
即
解得
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的证明方法和直角三角形的有关性质，利用已知条件合理构造直角三角形是解决本题的关键．
32．如图，已知在Rt△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，设AE＝BE＝x，，则CE=12-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得BE的长．
【详解】
解：连接AE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，
∵AC＝9，BC＝12，
∴CE＝BC-BE=12﹣x，
∵∠ACE＝90°，
在△ACE中，
由勾股定理AC2+CE2＝AE2，
即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为．
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
33．等腰中，腰上的高，，则线段的长为______．
【答案】或
【分析】
利用等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形结合直角三角形和勾股定理得出即可．
【详解】
解：如图，若△ABC为锐角三角形时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是上的高，，
∴∠
∴
∴
∵AB=AC，
∴
∴；
若△ABC为钝角三角形时，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
同理可求出AD=3，AB=AC=
∴
故答案为：或
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
34．如图，在数轴上找到表示－3的点B，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先根据数轴的定义可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后根据数轴的定义即可得．
【详解】
解：设点在数轴上表示的数是，则，
由题意得：，
，
，
由作图可知，，即，
解得，
由数轴的定义得：，
，
即点在数轴上表示的数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．
35．如图，点A（0，4）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（4，2）或（，2）
【分析】
分、两种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理列式计算即可．
【详解】
解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），
∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，
①当时，
在中，，
∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，
∴PN＝AB＝2.5，
则PM＝PN＋MN＝4，
∴点P的坐标是（4，2）；
②当时，过P作轴于E，连接AP，
设BE＝x，则PM＝OE＝x＋3，
由勾股定理得，，
在中，，
则，
解得，，
∴，
∴，
故答案是：（4，2）或（，2）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形过程，解题的关键是：进行分类讨论，然后利用勾股定理解直角三角形．
三、解答题
36．如图所示，在四边形中，∠B＝＝，＝，＝，＝．求：
（1），的度数；
（2），的长度；
（3）四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）＝，＝；（2）；（3）
【分析】
（1）由四边形内角和为及＝＝，得出＝，又＝，即可求出、的度数；
（2）延长与，两延长线交于点，由＝＝，得到三角形与三角形都为直角三角形，由＝，得到＝，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半，根据的长求出CE的长，同理在直角三角形中，由的长求出的长，用求出的长，用求出的长即可；【出处：21教育名师】
（3）根据＝，即可求解．
【详解】
（1）在四边形中，
∵＝＝，＝，
∴＝，
又＝，
∴＝，＝；
（2）延长与，两延长线交于点，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵＝，＝，
∴＝，
∵在中，＝，
∴＝＝，
根据勾股定理得：，
在中，＝，
∴＝＝，
根据勾股定理得：，
则＝＝，＝＝；
（3）由题（2）可知：＝
＝
．
【点睛】
本题考查勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，四边形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
37．在四边形中，，，，，求和．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
延长与，两延长线交于点，由，得到三角形与三角形都为直角三角形，由，得到，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半，根据的长求出的长，同理在直角三角形中，由的长求出的长，用求出的长，用求出的长即可．
【详解】
解：延长与，两延长线交于点，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
则，．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
38．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对，两地间的公路进行改建．如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需途径地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，．【版权所有：21教育】
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（1）开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走多少千米？
（结果保留根号）
【答案】（1）千米；（2）千米
【分析】
（1）过点作的垂线，垂足为，在直角中，利用30°角的直角三角形性质可求出，进而在直角中由勾股定理即可求得AC，进而可求得结果；
（2）在直角中，由勾股定理可求出，再由，进而求出汽车从地到地比原来少走多少路程．
【详解】
（1）过点作的垂线，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴（千米）．
又∵，
且，
则是等腰直角三角形，，
∴（千米），
∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米．
（2）由（1）知，（千米），
∴由勾股定理得：（千米）．
又（千米），
∴（千米），
∴汽车从地到地比原来少走的路程为：千米．
【点睛】
本题是三角形在实际中的应用，它考查了等腰
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直角三角形的判定，30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，关键是作出高CD这一辅助线，把非直角三角形问题转化为特殊的直角三角形问题来解决，因而也体现了转化思想的运用．
39．如图，在中，．求：
（1）的长；
（2）的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）过点作，得，，求出CD的长，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）计算出AB的长，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）过点作，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）在Rt△BCD中，BC=12，∠BCD=30°
∴BD=
∴，
又，
∴的面积为．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
40．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】
（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．21·cn·jy·com
41．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10千米
【分析】
设，则，利用勾股定理列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：设，则，
∵、两村到站的距离相等，
∴．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
站应建在距点A10千米处．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．
42．如图，是等边三角形，，连接，，，求出的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．
【详解】
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为等边三角形，
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，
于是DE==4，
∴CD=DE=4．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．
43．定义：如图，等腰中，点E，F分别在腰上，连结，若，则称为该等腰三角形的逆等线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，是等腰的逆等线，若，，，求逆等线的长；
（2）如图2，若等腰直角的直角顶点D恰好为等腰直角底边上的中点，且点E，F分别在上，求证：为等腰的逆等线．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的逆等线的定义得到CF=AE，根据勾股定理计算；
（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BC=CD，AD⊥BC，证明△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，根据等腰三角形的逆等线的定义证明．
【详解】
解：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF=AE=3，
∴AF=AC-CF=7-3=4，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴EF==；
（2）连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC上的中点，
∴AD=BC=CD=BD，AD⊥BC，
∴∠EAD=45°=∠C
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，即EF为等腰△ABC的逆等线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，全
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等三角形的判定和性质，等腰三角形的逆等线的定义，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
44．已知与都是等腰直角三角形，与均为斜边．如图，B，D，F在同一直线上，过F作于点F，取，连接交于点H，连接．
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（1）求证：；
（2）请判断的形状，并给予证明；
（3）请用等式表示线段的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）AM2=BD2+DF2
【分析】
（1）根据AAS即可证明△AHB≌△MHF；
（2）先根据SAS证明△GAD≌△GMF，得AG=GM，再证明∠AGD+∠DGM=90°，可得△GAM是等腰直角三角形；
（3）先根据等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，及勾股定理得：AM2=2MG2，Rt△GMF中，有MG2=AB2+FG2，代入可得：AM2=2MG2=BD2+DF2．
【详解】
解：（1）证明：如图1，∵MF⊥GF，
∴∠GFM=90°，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴∠DFG=∠ABD=45°，
∴∠HFM=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠HFM，
∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，
∴△AHB≌△MHF；
（2）如图1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，DG=FG，
∠ADB=∠GDF=45°，
∴∠ADG=∠GFM=90°，
∵AB=FM，
∴AD=FM，
∴△GAD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，
∴∠AGD+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，
∴△GAM是等腰直角三角形；
（3）如图1，AM2=BD2+DF2，理由是：
∵△AGM是等腰直角三角形，
∴AM2=2MG2，
Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，
∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，
∴AB2=，FG2=，
∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，本题运用了类比的思想解决问题，证明三角形全等是关键．
45．如图，在中，平分交于点F，垂足是E，与交于点A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求证：是的中垂线；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）欲证明BF=AC，只要证明△BDF≌△CDA（ASA）即可；
（2）只要证明BC=BA即可解决问题；
（3）连接AF，根据△BDF≌△CDA得到AD=DF，求出AF，再根据垂直平分线的性质可得CF=AF．
【详解】
解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
∵BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF=AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠BCA+∠CBE=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BE⊥AC，
∴CE=EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）连接AF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△BDF≌△CDA，
∴AD=DF=1，AF=，
∵BE垂直平分AC，
∴CF=AF=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
46．如图，是上的一点，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）判断的形状，并说明理由
（2）若，求出的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】
（1）证明△ABC≌△DEB，得到BC=BE，∠ACB=∠EBD，再证明∠CBE=90°，可得结论；
（2）利用勾股定理求出BC，可得BE，再利用勾股定理求出CE即可．
【详解】
解：（1）∵AC∥ED，∠A=90°，
∴∠A=∠D=90°，
∴在△ABC与△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（AAS），
∴BC=BE，∠ACB=∠EBD，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠EBD，
∴∠1+∠EBD=90°，
∴∠CBE=90°，
∴△CBE为等腰直角三角形；
（2）∵AC=BD=2，AD=6，
∴AB=AD-BD=4，
∴在△ABC中，
BC==，
由（1）可知，△CBE为等腰直角三角形，
∴BC=BE=，
∴CE==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明△ABC≌△DEB．
47．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长．
（2）求的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD；
（2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．
根据勾股定理得：AB=＝10，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝AB＝5；
（2）连接BE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
设EC＝x，则AE＝BE＝8?x，
∴在Rt中，
62＋x2＝（8?x）2，
解得：x＝，
∴AE＝8?＝，
在Rt中，DE＝．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
48．如图，在中，于点D，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由S△ABC＝3，，可求出AC的长度．应用勾股定理可求出AB的长度．根据×AB×CD也表示三角形ABC的面积，从而可求出CD的长度．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴三角形ABC的面积为：×AC×BC＝3，
∴AC＝，
∵AB2＝AC2＋BC2
∴AB＝，
∴CD＝2×3÷=．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积和勾股
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理的应用，直角三角形的面积等于两直角边积的一半，同时也等于斜边与斜边上高的积的一半．掌握面积法，是解题的关键．
49．如图，在中，，于点，，分别交，于点、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，若，，求证：；
（3）在（2）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）7；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据三线合一得到BD=CD=5，利用勾股定理求出AD，证明△BDF为等腰直角三角形，得到BD=DF=5，从而可得AF；
（2）连接CF，证明△CHB≌△AEF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到AE=CH，∠AEF=∠BHC，利用补角推出∠CEF=∠CHE，得到CE=CH，即可证明AE=CE；
（3）求出∠EFC=90°，得到，结合AE=CE，CF=BF，即可证明结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=BC=5，
又∵AB=13，
∴在Rt△ABD中，AD==12，
∵∠CBE=45°，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴BD=DF=5，
∴AF=AD-DF=12-5=7；
（2）连接CF，
∵△BDF为等腰直角三角形，
∴∠CBH=∠DFB=∠AFE=45°，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，
∴∠CEF=∠CHE，
∴CE=CH，
∴CE=AE；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）∵∠FBC=45°，BD=CD，AD⊥BC，
∴BF=CF，∠CFD=∠DFB=45°，
又∵∠AFE=∠DFB=45°，
∴∠EFC=180°-∠AFE-∠CFD=90°，
∴在Rt△CEF中，，
又∵AE=CE，CF=BF，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据已知条件证明△CHB≌△AEF．www-2-1-cnjy-com
50．如图，，，是上的一点，且，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）若，，请求出的面积．
【答案】（1）全等，理由见解析；（2）
【分析】
（1）首先根据等角对等边证明，证明是直角三角形，然后利用定理证明与全等．
（2）首先根据勾股定理求出、的长度，再证明是直角三角形，然后求面积．
【详解】
解：（1）．
，
．
，
．
又，
．
与是直角三角形．
在与中，
．
（2），
，．
，，
．
．
又，
∴∠AED+∠BEC=90°，
．
的面积为：．
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【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理、直角三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算公式等知识．
51．如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理分别求出三条边的长，进而可求出周长；
（2）利用面积法求解即可；
【详解】
解：（1）由勾股定理得，，
，
，
所以△ABC的周长为；
（2）设BC边上的高是h，
S△ABC＝＝4.
∴，
∴h＝．
∴BC边上的高是．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的面积公式，，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
52．在中，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，求点到边的距离；
（2）点是上一动点．
①如图2．过点作交于点，当时，求的长；
②如图3，连接，当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）；（2）①；②，或．
【分析】
（1）如下图1，过点作于点，先运用勾股定理求得AB长，再运用面积公式列出关于CD的方程即可求得点到边的距离CD；
（2）①如下图2连接BN，用HL证得△BCN≌△BMN，得到BM=BC=6，最后由AB-BM即求得AM的值；
②分三种情况讨论：第一种情况，当时，为等腰三角形，通过角的关系可证得AM=CM，最后得AM=，求得AM的值；第二种情况，当时为等腰三角形，由AB=10，AM=AB-BM求得AM的值；第三种情况，当时，为等腰三角形，如图3，过点作于点，由（1）知，，再由勾股定理求得BD的值，由BD=DM可得DM的值，最后求得AM的值．
【详解】
解：（1）如下图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点作于点，
在中，由勾股定理得，，
即，解得．
，，
，
点到边的距离为；
（2）①连接，如下图2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，，
在与中，
∴△BCN≌△BMN，
，，，
的长为；
②分三种情况计论：
当时，为等腰三角形，
，．，，，
，，，；
当时，为等腰三角形，；
当时，为等腰三角形，如下图3，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过点作于点，
由（1）知，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，，
．
综上所述，当为，或时，为等腰三角形．
【点睛】
此题考查用勾股定理计算长度和等腰三角形的性质判定，掌握相关基本技能是关键．此题第（2）小题最后一问要注意分情况讨论
．
53．如图，在中，，，，．
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（1）求线段的长；
（2）求的长．
【答案】（1）6；（2）．
【分析】
（1）由AD⊥BC可得出∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）由AD⊥BC、∠ACD＝45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD，利用勾股定理即可求出AC的长度．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，
∴AD＝．
（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝6，
∴AC＝．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用等腰三角形的性质及勾股定理求线段的长度．
54．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）54°；（3）
【分析】
（1）根据翻折变换的性质，结合长方形的性质证明∠BEF=∠BFE即可解决问题．
（2）根据长方形的性质及等腰三角形的性质即可解决问题．
（3）根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意得：∠BEF=∠DEF；
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∵四边形ABCD为长方形，
∴DE∥BF，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF；
（2）∵四边形ABCD为长方形，
∴∠ABF=90°；而∠ABE=18°，
∴∠EBF=90°-18°=72°；
又∵BE=BF，
∴∠BFE的度数=
，
（3）由题意知：BE=DE；
设AE=x，则BE=DE=8-x，
由勾股定理得：
（8-x）2=62+x2，
解得：，
即AE的长为．
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质、等腰三角形的判定、勾股定理．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
55．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标为A（﹣4，0），B（0，3），点C，D分别是点A，B关于y轴，x轴对称的点．
（Ⅰ）请写出点C，D的坐标；
（Ⅱ）画出四边形ABCD，求四边形ABCD的周长．
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【答案】（Ⅰ）C（4，0），D（0，﹣3）；（Ⅱ）见解析，
ABCD
的周长＝20
【分析】
（Ⅰ）根据轴对称的性质即可写出点C，D的坐标；
（Ⅱ）结合（1）即可画出四边形ABCD，进而可得四边形ABCD的周长．
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可得：C（4，0），D（0，﹣3）；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（Ⅱ）根据（1）得到的坐标可以画出点C和点D，然后分别连结AB、BC、CD、DA，即可得到如图所求的四边形ABCD，
∴根据勾股定理可以得到AB＝BC=CD=DA=，
∴四边形
ABCD
的周长＝4AB＝20．
【点睛】
本题考查点坐标的应用，熟练掌握轴对称点的坐标变换特征及利用点坐标求两点间的距离是解题关键．
56．如图，中，，，点D在边上．
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（1）如图1，若且，求的长；
（2）如图2，过B作，且．连接并延长交于点F，过点C作于点G，连接．求证：．
【答案】（1），（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据且，求出AC、BC即可；
（2）过点B作BH⊥BG，交DE于点H，证△BGC≌△BHE即可．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴CD=，
，
，
；
（2）过点B作BH⊥BG，交DE于点H，
∵∠GBH=∠CBE=90°，
∴∠GBC=∠HBE，
∵，
∴∠GFC+∠FCG=90°，
∵∠FCG+∠GCD=90°，
∴∠GFC=∠GCD，
∵∠FDC=∠EDB，
∴∠GFC=∠E，
∴∠GCD=∠E，
∵BC=BE，
∴△BGC≌△BHE，
∴GC=EH，BG=BH，
∵∠GBH=90°，
∴，
EG=GH+EH=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理，30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形．21cnjy.com
57．如图所示，在中，，，，D是BC上一点，把折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
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【答案】36
【分析】
利用勾股定理求出CD=6，所以阴影部分面积为，求出即可．
【详解】
解：∵在中，，，，
∴，
设CD=x，
∵把折叠，使AB落在直线AC上，
∴,
∴在中，，
∴x2+82=（16-x）2，
解得：x=6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：=．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．
58．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析
【分析】
（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
【详解】
（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
59．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
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（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC?GM+CD?FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．
60．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
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（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）由三角形内角和定理和平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】
解：（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴∠ECA=∠DCB，
，，
；
（2），
理由如下：
连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在和中，
，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（3）如图2，过点作于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，，，
，
，
点是的中点，
，
都是等腰直角三角形，，，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
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精品试卷·第
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