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3.2
勾股定理的逆定理
【基础训练】
一、单选题
1．下列四组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．6，8，10
D．2，3，4
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（
）
A．3，4，6
B．1，1，
C．6，8，11
D．5，12，23
3．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（
）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6
B．
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10
D．AC＝1，BC＝2，
4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=1，c=
B．a=2，b=3，c=4
C．a=1，b=，c=2
D．a=3，b=4，c=
5．下列长度的线段中，不能构成直角三角形的是（
）
A．9，12，15
B．14，48，50
C．，，
D．1，2，
6．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（
）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形，且
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角三角形
7．已知三角形的三边分别为3，4，5，则该三角形为（
）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
8．满足下列条件的不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
9．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5
B．，2，
C．5，6，7
D．3，，4
10．已知的三边长分别为，，2，则的面积为（
）
A．
B．
C．3
D．
11．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（
）
A．，，
B．，
C．
D．，，
12．中，，，的对边分别为，，，满足下列条件的，不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．下列条件中，能判断是直角三角形的有（
）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
14．在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（
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A．
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B．
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C．
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D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
15．中，、、的对边分别为、、，若，则有（
）
A．
B．
C．
D．
16．下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．AB＝5，AC＝12，BC＝13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．∠A＝50°，∠B＝80°
17．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2
D．a：b：c＝7：24：25
18．在中，若，则（
）
A．是锐角三角形
B．是直角三角形
C．是钝角三角形
D．无法确定
19．下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
20．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（
）
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
22．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（
）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
23．由下列条件不能判定为直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
24．下列命题中是真命题的是（
）
A．内错角相等
B．三边长为，，的三角形是直角三角形
C．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
25．满足下列条件的，
不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（
）．
A．①③
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
27．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为（
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A．
B．
C．
D．
28．下列条件能判定为直角三角形的是(?
?
?
?
)
A．
B．
C．，，
D．，，
29．下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的一组是（
）
A．5，11，12
B．2，2，3
C．3，4，5
D．4，5，6
30．已知△ABC的三个边之比为3：4：5，则这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
二、填空题
31．如图，在中，，．若中线，则的面积为____．
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32．以△ABC的三条边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为6、8、14．则这个三角形是___三角形．
33．如图，在中，已知是的高线，则长为__________．
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34．如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________．
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35．如图，已知格点A的坐标为（1，－2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，格点B的坐标为（3，2），在4×4的正方形网格中（小正方形的边长为1）取一格点C，构建三边都为无理数的直角三角形ABC，则格点C的坐标可为_______．
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三、解答题
36．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为小正方形的顶点．求证：∠ABC=45°．
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37．如图，某住宅小区在施工过程中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？21·cn·jy·com
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38．如图，某中学有一块四边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？www.21-cn-jy.com
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39．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米，21cnjy.com
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（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
40．如图，在中，，是延长线上一点，连接．
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（1）若，，，判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
41．若a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足等式+｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a、b、c的值．
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
42．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．
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43．已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．
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试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
（2）∠BAD的度数．
44．如图，在四边形ABCD中，AB=7cm，AD=24cm，∠BAD=90°，BC=20m，CD=15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
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45．如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
46．在四边形中，已知，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数
47．如图，，，，，．求该图形的面积．
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48．如图，某公园有两个小喷泉A、B，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两个小喷泉之间的距离为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离．
49．如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
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50．如图，在方格纸中，点P，Q都在格点上，请按要求画出以PQ为边的格点三角形．
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（1）在图1中，画一个，使得为锐角；
（2）在图2中，画一个以PQ为底边的等腰三角形BPQ．
51．如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．
（1）请在图①中画出端点在格点的线段和，使，，并选择其中的一个说明理由
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（2）如图②，是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
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52．如图，，，，，正方形CDEF的面积是．
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（1）求AC的长度；
（2）判断的形状？并说明理由．
53．如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
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（1）试说明△AED是直角三角形；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
54．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
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求证：；
若，，求的长．
55．如图，在四边形中，，，，且，试说明为直角三角形．
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56．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
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57．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．
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58．如图，在四边形中，，．若，，，求三角形的面积．
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59．如图，在四边形中，，，，，．
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（1）求证：直角三角形．
（2）求四边形的面积．
60．如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
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（1）求图中格点四边形ABCD的面积；
（2）求四边形ABCD的周长；
（3）求∠ADC的度数．
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精品试卷·第
2
页
（共
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3.2
勾股定理的逆定理
【基础训练】
一、单选题
1．下列四组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．6，8，10
D．2，3，4
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理判断三边关系是否满足两边平方和是否等于第三边平方．
【详解】
A、B、D不满足勾股定理的逆定理，C项62+82=102，满足勾股定理的逆定理，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，熟练使用该定理是解决问题的关键．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（
）
A．3，4，6
B．1，1，
C．6，8，11
D．5，12，23
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】
A、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
B、，能构成直角三角形，此项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，此项不符题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（
）
A．∠A：∠B：∠C＝2：4：6
B．
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10
D．AC＝1，BC＝2，
【答案】B
【分析】
利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】
解：A、设∠A=2x°，∠B=4x°，∠C=6x°，
2x+4x+6x=180，解得：x=15，
则∠C=6×15°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、62+82=102，△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+22=（）2，则△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．21教育网
4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=1，c=
B．a=2，b=3，c=4
C．a=1，b=，c=2
D．a=3，b=4，c=
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】
解：由12＋12=，所以a=1，b=1，c=能构成直角三角形，故A选项不符合题意；
由22＋32≠42，所以a=2，b=3，c=4不能构成直角三角形，故B选项符合题意；
由12＋=22，所以a=1，b=，c=2能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
由32＋=42，所以a=3，b=4，c=能构成直角三角形，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5．下列长度的线段中，不能构成直角三角形的是（
）
A．9，12，15
B．14，48，50
C．，，
D．1，2，
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：A.
92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
B.
142+482=502，故是直角三角形，不符合题意；
C.
，故不是直角三角形，符合题意；
D.
，故是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．21
cnjy
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6．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（
）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形，且
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角三角形
【答案】B
【分析】
直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．
【详解】
A选项：根据三角形内角和定理，可求出为度，故A正确；
B选项：解得应为度，故B错误；
C选项：设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：
度，度，度，则是直角三角形，故C正确；
D选项：化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故D正确；
故选B．
【点睛】
考查了直角三角形的判定的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．
7．已知三角形的三边分别为3，4，5，则该三角形为（
）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
因为，所以这个三角形一定是直角三角形．
故选A．
【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理的应用．
8．满足下列条件的不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、42+32=52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、
，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、122+52=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、
，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【出处：21教育名师】
9．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5
B．，2，
C．5，6，7
D．3，，4
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．∵22+42≠52，
∴以2，4，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵（）2+22＝（）2，
∴以，2，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+62≠72，
∴以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32+（）2≠42，
∴以3，，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．已知的三边长分别为，，2，则的面积为（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】
由勾股定理的逆定理和三角形三边长度可知是一个直角三角形，且长为的边是斜边，再结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：设三角形三边分别为，且，，
为最长边
是以为斜边的直角三角形
故答案是：D．
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理的运用，难度不大．解题的关键在于用勾股定理逆定理判定三角形形状．
11．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（
）
A．，，
B．，
C．
D．，，
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、52+122=132，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、12+22≠52，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，即不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
12．中，，，的对边分别为，，，满足下列条件的，不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、设a=5k，b=12k，c=13k，
∵（5k）2+（12k）2=（13k）2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵a2-c2=b2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠C=∠A-∠B，
∴∠B+∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
13．下列条件中，能判断是直角三角形的有（
）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】A
【分析】
利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．
【详解】
解：①，
∴，
∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形；
②，
∴，
∴，
∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形；
③，
∴=，即△ABC为直角三角形；
④，
∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k，
∴6k+3k+2k=180°，
∴k=，
∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形；
⑤，
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形；
⑥，
设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
14．在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】B
【分析】
判断剪掉的三角形三边是否符合勾股定理，根据勾股定理的逆定理解题．
【详解】
解：A.，
，
故A不符合题意；
B.
，
故B符合题意；
C.
，
故C不符合题意；
D.
，
故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．中，、、的对边分别为、、，若，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
，
∴是直角三角形，且，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键．
16．下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．AB＝5，AC＝12，BC＝13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．∠A＝50°，∠B＝80°
【答案】D
【分析】
根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【详解】
解：A、当∠A＝30°，∠B＝60°时，∠C＝90°，△ABC不是等腰三角形，故本选项不合题意；
B、当AB＝5，AC＝12，BC＝13时，52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，不是等腰三角形，故本选项不合题意；
C、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是等腰三角形，故本选项不合题意；
D、当A＝50°，∠B＝80°，∠C＝50°，△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理以及等角对等边．
17．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2
D．a：b：c＝7：24：25
【答案】A
【分析】
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】
解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
18．在中，若，则（
）
A．是锐角三角形
B．是直角三角形
C．是钝角三角形
D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据三边长度验证是否满足勾股定理，如果满足，则是直角三角形．
【详解】
，
，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形形状的判断，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
19．下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【分析】
由勾股定理的逆定理逐项分析即可解题．
【详解】
解：A.
能构成直角三角形，故A不符合题意；
B.
不能构成直角三角形，故B符合题意；
C.
能构成直角三角形，故C不符合题意；
D.
能构成直角三角形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】
解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
21．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（
）
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【答案】D
【分析】
根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
解：∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，
∴2∠C=180°，即∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形，故A正确，不符合题意；
∵c2=b2-a2，
∴ΔABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；
∵∠A:∠B
:
∠C=1
:
2
:
3，
∴∠C=180°×=90°，故C正确，不符合题意；
∵a2+b2c2，
∴ΔABC不是直角三角形，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，是解题的关键．
22．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（
）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．
【详解】
解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，则3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．21·cn·jy·com
23．由下列条件不能判定为直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和以及勾股定理的逆定理分别判断，进而得出结论．
【详解】
解：A、52+122=132，故△ABC是直角三角形，不符合题意．
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×=75°，故不是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故是直角三角形，不符合题意；
D、12+22=（）2，故是直角三角形，不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
24．下列命题中是真命题的是（
）
A．内错角相等
B．三边长为，，的三角形是直角三角形
C．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质可直接排除选项．
【详解】
A、由两直线平行，内错角相等可知是假命题，不符合题意；
B、由可知三边长为，，的三角形不是直角三角形，是假命题，故不符合题意；
C、由等腰三角形底边上的中线、高线及顶角的角平分线互相重合可知是假命题，故不符合题意；
D、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)逆定理、等腰三角形的性质、命题及垂直平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的性质、命题及垂直平分线的性质是解题的关键．
25．满足下列条件的，
不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和、勾股定理逆定理可直接进行排除选项．
【详解】
A、由可得，故不是直角三角形，符合题意；
B、由可得，是直角三角形，故不符合题意；
C、由及三角形内角和可得，是直角三角形，故不符合题意；
D、由可得符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的判定及勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定及勾股定理逆定理是解题的关键．www.21-cn-jy.com
26．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（
）．
A．①③
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】
利用勾股定理逆定理即可知①能确定是直角三角形，再根据三角形内角和为，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．2·1·c·n·j·y
【详解】
①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．
②．∵，即，
∴．
∴是直角三角形，故②能确定．
③．∵，，
∴，即．
∴是直角三角形，故③能确定．
④．，设，则，，
∵，即，
解得，
∴，
∴是直角三角形，故④能确定．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和利用三角形内角和等于来求出其中一个角为即判定该三角形为直角三角形是解答本题的关键．【版权所有：21教育】
27．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为（
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先，根据勾股定理求得各边的长度；然后，根据勾股定理逆定理推知是直角三角形；最后，根据面积法来求中边上的高．
【详解】
解：设中边上的高为．
，，，
，
，
，即．
解得，．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
28．下列条件能判定为直角三角形的是(?
?
?
?
)
A．
B．
C．，，
D．，，
【答案】A
【分析】
利用三角形内角和，勾股定理进行判断即可．
【详解】
解：、∵，，
∴
，为直角三角形，故正确；
、设，，，
∴，解得?，则，
∴不是直角三角形，故错误；
、由于，∴不是直角三角形，故错误；
、，∴不是直角三角形，故错误．
故选．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
29．下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的一组是（
）
A．5，11，12
B．2，2，3
C．3，4，5
D．4，5，6
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可解题．
【详解】
A.
5，11，12不能构成直角三角形，故A错误；
B.
2，2，3不能构成直角三角形，故B错误；
C.
3，4，5能构成直角三角形，故C正确；
D.
4，5，6不能构成直角三角形，故D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．已知△ABC的三个边之比为3：4：5，则这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
根据题意可设三角形三边长分别是3a，4a，5a，根据勾股定理逆定理即可得出答案.
【详解】
解：依题可设三角形三边长分别是3a，4a，5a，
∴（3a）2+（4a）2=（5a）2，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：B.
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理并准确判断一个三角形是否是直角三角形是解题关键．
二、填空题
31．如图，在中，，．若中线，则的面积为____．
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【答案】6
【分析】
延长AD，使得DE=AD，连接EB，由题意易证，则有，，然后可得是直角三角形，进而问题可求解．21·世纪
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【详解】
解：延长AD，使得DE=AD，连接EB，如图所示：
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∵点D是BC的中点，
∴，
∵，
∴（SAS），
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及倍长中线法是解题的关键．
32．以△ABC的三条边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为6、8、14．则这个三角形是___三角形．
【答案】直角
【分析】
画出符合题意的图形，利用正方形的面积公式及勾股定理逆定理解题．
【详解】
解：如图，由题意得
△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
33．如图，在中，已知是的高线，则长为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先证明△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=，
则，
∴CD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的面积的计算方法及面积公式应用，关键是根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
34．如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________．
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【答案】76
【分析】
先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积减去Rt△ABE的面积即可求解．
【详解】
在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，
∴△ABE是直角三角形，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE
=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
故答案为：76．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，理解并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键．
35．如图，已知格点A的坐标为（1，－
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2），格点B的坐标为（3，2），在4×4的正方形网格中（小正方形的边长为1）取一格点C，构建三边都为无理数的直角三角形ABC，则格点C的坐标可为_______．
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【答案】（0，-1），（0，1）
【分析】
根据为直角三角形和三边长都为无理数即可推出C点的位置上，即可知道C点坐标．
【详解】
根据A点坐标和B点坐标可建立直角坐标系．
∵为直角三角形，
∴C点不能在AB右侧．
又∵三边长都为无理数，
∴点C位置如图，①．故；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②．故．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：、．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理．了解勾股定理和勾股定理逆定理的性质是解答本题的关键．
三、解答题
36．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C为小正方形的顶点．求证：∠ABC=45°．
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【答案】见解析
【分析】
连接AC，先依据勾股定理求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得AB、AC、BC的长，然后依据勾股定理的逆定理可求得△ABC为直角三角形，然后依据AC=BC可得到三角形ABC为等腰直角三角形，故此可得到∠ABC=45°．21世纪教育网版权所有
【详解】
证明：连接AC，
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则由勾股定理可以得到：
AC==，BC==，AB==．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC．
∴∠ABC=45°．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定，证得△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
37．如图，某住宅小区在施工过程中留
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2880元
【分析】
连接AC，利用勾股定理求出AC，再
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据AD和CD得出∠ACD=90°，分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
【详解】
解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，
∴AC==5m，
又∵CD＝12m，DA＝13m，
满足，
∴∠ACD=90°，
∴，，
，
费用（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．21cnjy.com
38．如图，某中学有一块四边形的空地
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7200元
【分析】
连接，利用勾股定理解出，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，最后根据解得四边形的面积，再乘以200元，即可解题．
【详解】
解：连接，
∠B=90°，
在中，
为直角三角形
（元）
答：学校需要投入7200元买草皮．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
39．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）24平方米；（2）4800元
【分析】
（1）连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形的面积等于面积减的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】
解：（1）连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
．
（2）需费用（元），
答：总共需投入4800元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
40．如图，在中，，是延长线上一点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，，，判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）AB⊥BD，理由见解析；（2）62°
【分析】
（1）根据等边对等角得到AB=8，再利用勾股定理的逆定理证明AB⊥BD即可；
（2）根据三角形内角和求出∠C，再根据等边对等角得到∠ABC，最后利用外角的性质得到结果．
【详解】
解：（1）∵AB=AC=8，AD=17，BD=15，
满足，即，
∴∠ABD=90°，即AB⊥BD；
（2）∵∠D=28°，∠DBC=121°，
∴∠C=180°-∠D-∠DBC=31°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=31°，
∴∠DAB=∠C+∠ABC=62°．
【点睛】
本题考查了等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和，以及三角形外角的性质，涉及的知识点较多，但难度不大，熟练运用所学定理解决问题即可．
41．若a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足等式+｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a、b、c的值．
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【分析】
（1）根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性解题即可；
（2）由（1）中a、b、c的值，结合勾股定理逆定理解题．
【详解】
解：（1）
；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）8.
【分析】
（2）由线段垂直平分线的性质得到，再结合证明是直角三角形，据此解题；
（2）根据题意解出的长，再根据勾股定理解题即可
【详解】
（1）证明：连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
垂直平分
是直角三角形，
；
（2）解：
中，
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
43．已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
（2）∠BAD的度数．
【答案】（1）；（2）135°
【分析】
（1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据即可得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC，加上∠CAD即可．
【详解】
解：（1）连接，
，，
，
又，，
，
即，
，
．
（2），
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
44．如图，在四边形ABCD中，AB=7cm，AD=24cm，∠BAD=90°，BC=20m，CD=15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）25cm；（2）234cm2
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出△BCD为直角三角形，然后根据S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD和三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：（1）如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=7cm，AD=24cm，∠BAD=90°，
∴BD==25（cm）；
（2）在△BCD中，BC2＋CD2=625=BD2
∴△BCD为直角三角形，∠C=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD＋S△BCD
=AB·AD＋BC·CD
=×7×24＋×20×15
=234（cm2）．
【点睛】
此题考查的是勾股定理及逆定理，掌握利用勾股定理解直角三角形和利用勾股定理逆定理判定直角三角形是解题关键．21
cnjy
com
45．如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；
（2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，
∴AC==5，
∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°；
（2）S阴影=S△ABC-S△ACD
=
=
=24．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力．
46．在四边形中，已知，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数
【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）150°．
【分析】
（1）由，，可得是等边三角形；
（2）由是等边三角形可得
再利用勾股定理的逆定理证明
从而可得答案．
【详解】
解：（1）是等边三角形．理由如下：
连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴是等边三角形．
（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵在中，，．
，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理分逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
47．如图，，，，，．求该图形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
连接AC，利用勾股定理求AC的长，然后结合勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，从而结合三角形面积公式求解
【详解】
解：连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵在中，，，
∴．
在中，
∵，
∴为直角三角形．
∴该图形的面积为．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
48．如图，某公园有两个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离．
【答案】（1）供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m；（2）是到小路的最短距离，见解析．
【分析】
（1）在中，利用勾股定理解得的长，继而解得的长，在中，利用勾股定理解得的长，据此解题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再结合垂线段最短性质解题．
【详解】
解：（1）∵
∴
在中，
∴
∴
在中
∴
答：供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m．
（2）是到小路的最短距离，
∵，
∴是直角三角形
根据垂线段最短性质，得
是到小路的最短距离．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
49．如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）DC=13；（2）△BCD是直角三角形；理由见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理求出AD，然后即可得到CD的长；
（2）由DE是线段AB的垂直平分线，求出BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
50．如图，在方格纸中，点P，Q都在格点上，请按要求画出以PQ为边的格点三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图1中，画一个，使得为锐角；
（2）在图2中，画一个以PQ为底边的等腰三角形BPQ．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的定义、数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据等腰三角形的定义画出图形即可．
【详解】
（1）△APQ即为所求（答案不唯一）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）△BPQ即为所求（答案不唯一）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
51．如图所示，在图①和图②的网格中，小正方形的边长均为1．
（1）请在图①中画出端点在格点的线段和，使，，并选择其中的一个说明理由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图②，是一个格点三角形，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，见解析
【分析】
（1）结合方格的特征及勾股定理即可得出MN、EF的位置；
（2）先根据勾股定理分别求出、、，再根据勾股定理逆定理即可得出三角形为直角三角形．
【详解】
解：（1）如图MN、EF即为所求，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由：小正方形的边长均为1，
,
（2）是直角三角形，
理由：，，
是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理及网格、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
52．如图，，，，，正方形CDEF的面积是．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求AC的长度；
（2）判断的形状？并说明理由．
【答案】（1）5cm
（2）直角三角形，证明见解析
【分析】
（1）由正方形CDEF的面积为，开方求边长，由，在中，由勾股定理求；
（2）为直角三角形，，由勾股定理逆定理在中，，，，即可．
【详解】
解：（1）∵正方形CDEF的面积为，
∴，
又，
∴，
在中，，，
∴，
（2）为直角三角形，，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，．
【点睛】
本题考查正方形面积求边长，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握正方形面积求边长，勾股定理，勾股定理逆定理是解题关键．
53．如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）试说明△AED是直角三角形；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的性质可得AE=BD，然后根据勾股定理的逆定理即可证出结论；
（2）根据（1）的结论可得∠EA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＋∠CAB=90°，然后根据全等三角形的性质可得AC=BC，∠EAC=∠DBC，从而证出∠DBC＋∠CAB=90°，从而证出结论．
【详解】
证明：（1）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
∵AD2+DB2=DE2
∴AD2+
AE
2=DE2
∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下
∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
∴∠EAC＋∠CAB=90°
∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．
54．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：；
若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接CD，根据中垂线的性质可得CD=BD，从而结合题意运用勾股定理得逆定理即可证明；
（2）根据题意先求出AD，BD，再由（1）的结论在中运用勾股定理计算即可．
【详解】
证明：连结．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
的垂直平分线分别交，于点，，
．
，
，
，
是直角三角形，且．
解：，，
，，
，
．
【点睛】
本题考查中垂线的性质，勾股定理及其逆定理，理解勾股定理的逆定理和中垂线的性质是解题关键．
55．如图，在四边形中，，，，且，试说明为直角三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
利用勾股定理求出AC长度，在利用勾股定理逆定理推断出为直角三角形．
【详解】
根据题意，为等腰直角三角形，
∴
又∵，即
根据勾股定理逆定理所以为直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的应用．求出AC长是证明该题的关键．
56．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1+．
【分析】
先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
如图，连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2．
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD，
＝×1×2+××2，
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理．利用勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形是解答本题的关键．
57．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】96平方米
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可得到结论．
【详解】
解：∵，，，
∴．
∵，
∴△ABC为直角三角形．
∴需要绿化部分的面积＝．
所以，需要绿化部分的面积为96平方米．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
58．如图，在四边形中，，．若，，，求三角形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理判断△BDC的形状，利用三角形的面积公式即可得出三角形的面积．
【详解】
解：在中，，
由勾股定理，
在中，，，
，，
因为：，
所以：为直角三角形，
则：．
【点睛】
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，会用勾股定理求三角形的一边，会用勾股定理的逆定理解决直角三角形问题是关键．
59．如图，在四边形中，，，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：直角三角形．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理即可证得△ABD是直角三角形；
（2）根据四边形内角和定理可证得是直角三角形，再根据勾股定理即可BC，再分别求△ABD与△BCD的面积即可．
【详解】
（1），，，
在中，，，
，
是直角三角形．
（2）在四边形中，
，
∴，
由（1）得，
，
在中，，
由勾股定理，
，
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理和面积问题，掌握四边形内角和定理，勾股定理的内容及其逆定理，会勾股定理及其逆定理的灵活应用是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
60．如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求图中格点四边形ABCD的面积；
（2）求四边形ABCD的周长；
（3）求∠ADC的度数．
【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°
【分析】
（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；
（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；
（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：
四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；
（2）由勾股定理得：
AD=，AB=，
BC=，CD=，
∴四边形ABCD的周长==；
（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
21世纪教育网
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精品试卷·第
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（共
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